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Borel Cantelli Lemma Das manchmal auch Borel sches Null Eins Gesetz nach Émile Borel und Francesco Cantelli ist ein Satz

Borel-Cantelli-Lemma

Das Borel-Cantelli-Lemma, manchmal auch Borel’sches Null-Eins-Gesetz, (nach Émile Borel und Francesco Cantelli) ist ein Satz der Wahrscheinlichkeitstheorie. Es ist oftmals hilfreich bei der Untersuchung auf fast sichere Konvergenz von Zufallsvariablen und wird daher für den Beweis des starken Gesetzes der großen Zahlen verwendet. Eine weitere, veranschaulichende Anwendung des Lemmas ist das Infinite-Monkey-Theorem. Das Lemma besteht aus zwei Teilen, wobei der „klassische“ Satz von Borel-Cantelli nur den ersten Teil enthält. Der zweite ist eine Erweiterung und stammt von Paul Erdős und Alfréd Rényi.

Aussage des Lemmas Bearbeiten

Formulierung Bearbeiten

Das Borel-Cantelli-Lemma besagt Folgendes:

Es sei eine unendliche Folge von Ereignissen eines Wahrscheinlichkeitsraums .

Dann gilt:

  1. Ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der endlich, so ist die Wahrscheinlichkeit des Limes superior der gleich 0.
  2. Ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der unendlich und sind die Ereignisse paarweise unabhängig, so ist die Wahrscheinlichkeit des limes superior der gleich 1.

Da die Aussage von der Form ist, dass die Wahrscheinlichkeit einer Menge, hier des limes superior, entweder 0 oder 1 ist, zählt das Borel-Cantelli-Lemma zu den 0-1-Gesetzen.

Formale Aussage Bearbeiten

Symbolisch: Für

gilt:

  2. und die sind paarweise unabhängig

Zum Beweis Bearbeiten

Die klassische Aussage 1. kann so bewiesen werden: Die Wahrscheinlichkeit, dass irgendein Ereignis mit eintritt, ist nicht größer als und strebt wegen der vorausgesetzten Konvergenz der Summe gegen 0 für . Der Limes superior der ist das Ereignis, dass unendlich viele eintreten, und ist ein Teilereignis von jedem der im vorigen Satz erwähnten Ereignisse, und seine Wahrscheinlichkeit ist somit nicht größer als sämtliche Glieder einer Nullfolge, also 0, was zu beweisen war.

Bemerkungen Bearbeiten

Die Umkehrung von Aussage (1) ist nicht wahr. Betrachte hierzu den Wahrscheinlichkeitsraum und die Mengenfolge mit . Es gilt , daher ist , obwohl . Dies liefert auch gleich ein Beispiel dafür, dass die paarweise Unabhängigkeit in (2) unerlässlich ist.

Anwendung Bearbeiten

Aus dem Lemma von Borel-Cantelli ergibt sich folgendes nützliche Kriterium für die fast sichere Konvergenz von Zufallsvariablen:

Sei eine Zufallsvariable und eine Folge von Zufallsvariablen über einem gewissen Wahrscheinlichkeitsraum .

Wenn für jedes , dann gilt fast sicher.

Gegenstück zum Borel-Cantelli-Lemma Bearbeiten

Ein nützliches „Gegenstück“ zum Borel-Cantelli-Lemma ersetzt die paarweise Unabhängigkeit der , die in der zweiten Version vorausgesetzt wird, durch eine Monotoniehypothese für alle hinreichend großen Indizes k. Dieses Lemma besagt:

Sei eine Folge von Ereignissen, die für alle hinreichend großen k erfüllt, und sei das komplementäre Ereignis zu . Dann treten unendlich viele mit Wahrscheinlichkeit 1 ein dann und nur dann, wenn eine strikt monoton wachsende Folge existiert mit

Dieses Resultat ist hilfreich bei Problemen, die Eintrittswahrscheinlichkeiten betreffen, so z. B. die Frage, ob ein stochastischer Prozess mit Wahrscheinlichkeit 1 in eine gewisse Zustandsmenge eintritt. Die Zustandsmenge wird als absorbierend definiert, was die Monotonie impliziert, und eine geschickte Wahl der Folge liefert dann oft schnell die Antwort.

Literatur Bearbeiten

  • Heinz Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie (= De Gruyter Lehrbuch). 5., durchgesehene und verbesserte Auflage. de Gruyter, Berlin, New York 2002, ISBN 3-11-017236-4. MR1902050
  • A. Rényi: Wahrscheinlichkeitsrechnung. Mit einem Anhang über Informationstheorie (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 54). VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1971.
  • A. N. Širjaev: Wahrscheinlichkeit (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 91). VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1988, ISBN 3-326-00195-9.MR0967761
  • F. T. Bruss: A Counterpart of the Borel-Cantelli Lemma (= Journal of Applied Probability. Band 17). Applied Probability Trust, Sheffield 1980.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ Heinz Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2002, S. 73 ff
  2. A. Rényi: Wahrscheinlichkeitsrechnung. 1971, S. 252, 326 ff
  3. ↑ A. N. Širjaev: Wahrscheinlichkeit. 1988, S. 265 ff
  4. F. T. Bruss: Counterpart Borel-Cantelli Lemma 1980, S. 1094 ff
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Veröffentlichungsdatum:
Das Borel Cantelli Lemma manchmal auch Borel sches Null Eins Gesetz nach Emile Borel und Francesco Cantelli ist ein Satz der Wahrscheinlichkeitstheorie Es ist oftmals hilfreich bei der Untersuchung auf fast sichere Konvergenz von Zufallsvariablen und wird daher fur den Beweis des starken Gesetzes der grossen Zahlen verwendet Eine weitere veranschaulichende Anwendung des Lemmas ist das Infinite Monkey Theorem Das Lemma besteht aus zwei Teilen wobei der klassische Satz von Borel Cantelli nur den ersten Teil enthalt Der zweite ist eine Erweiterung und stammt von Paul Erdos und Alfred Renyi Inhaltsverzeichnis 1 Aussage des Lemmas 1 1 Formulierung 1 2 Formale Aussage 1 3 Zum Beweis 1 4 Bemerkungen 2 Anwendung 3 Gegenstuck zum Borel Cantelli Lemma 4 Literatur 5 EinzelnachweiseAussage des Lemmas BearbeitenFormulierung Bearbeiten Das Borel Cantelli Lemma besagt Folgendes 1 2 3 Es sei A n n N displaystyle A n n in mathbb N nbsp eine unendliche Folge von Ereignissen eines Wahrscheinlichkeitsraums W A P displaystyle Omega mathcal A operatorname P nbsp Dann gilt Ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der A n displaystyle A n nbsp endlich so ist die Wahrscheinlichkeit des Limes superior der A n displaystyle A n nbsp gleich 0 Ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der A n displaystyle A n nbsp unendlich und sind die Ereignisse A n displaystyle A n nbsp paarweise unabhangig so ist die Wahrscheinlichkeit des limes superior der A n displaystyle A n nbsp gleich 1 Da die Aussage von der Form ist dass die Wahrscheinlichkeit einer Menge hier des limes superior entweder 0 oder 1 ist zahlt das Borel Cantelli Lemma zu den 0 1 Gesetzen Formale Aussage Bearbeiten Symbolisch Fur A lim sup n A n n 1 i n A i A n u n e n d l i c h o f t displaystyle A limsup n rightarrow infty A n bigcap n 1 infty bigcup i n infty A i A n rm unendlich oft nbsp w W w A n f u r u n e n d l i c h v i e l e n N displaystyle omega in Omega omega in A n rm f ddot u r unendlich viele n in mathbb 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hierzu den Wahrscheinlichkeitsraum W A P 0 1 B 0 1 l 0 1 displaystyle Omega mathcal A P 0 1 mathcal B 0 1 lambda 0 1 nbsp und die Mengenfolge A n 0 1 n displaystyle A n left 0 frac 1 n right nbsp mit n N displaystyle n in mathbb N nbsp Es gilt A n A displaystyle A n downarrow A nbsp daher ist P lim sup n A n 0 displaystyle P limsup limits n to infty A n 0 nbsp obwohl n 1 P A n n 1 1 n displaystyle sum limits n 1 infty P A n sum limits n 1 infty frac 1 n infty nbsp Dies liefert auch gleich ein Beispiel dafur dass die paarweise Unabhangigkeit in 2 unerlasslich ist Anwendung BearbeitenAus dem Lemma von Borel Cantelli ergibt sich folgendes nutzliche Kriterium fur die fast sichere Konvergenz von Zufallsvariablen 1 3 Sei X displaystyle X nbsp eine Zufallsvariable und X n n N displaystyle X n n in mathbb N nbsp eine Folge von Zufallsvariablen uber einem gewissen Wahrscheinlichkeitsraum W F P displaystyle Omega mathcal F P nbsp Wenn n 1 P X n X gt e lt displaystyle sum n 1 infty P X n X gt varepsilon lt infty nbsp fur jedes e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp dann gilt X n X displaystyle X n rightarrow X nbsp fast sicher Gegenstuck zum Borel Cantelli Lemma BearbeitenEin nutzliches Gegenstuck zum Borel Cantelli Lemma ersetzt die paarweise Unabhangigkeit der A k displaystyle A k nbsp die in der zweiten Version vorausgesetzt wird durch eine Monotoniehypothese fur alle hinreichend grossen Indizes k Dieses Lemma besagt 4 Sei A k displaystyle A k nbsp eine Folge von Ereignissen die A k A k 1 displaystyle A k subseteq A k 1 nbsp fur alle hinreichend grossen k erfullt und sei A displaystyle bar A nbsp das komplementare Ereignis zu A displaystyle A nbsp Dann treten unendlich viele A k displaystyle A k nbsp mit Wahrscheinlichkeit 1 ein dann und nur dann wenn eine strikt monoton wachsende Folge t k k N displaystyle t k k in mathbb N nbsp existiert mit k N P A t k 1 A t k displaystyle sum k in mathbb N P A t k 1 vert bar A t k infty nbsp Dieses Resultat ist hilfreich bei Problemen die Eintrittswahrscheinlichkeiten betreffen so z B die Frage ob ein stochastischer Prozess mit Wahrscheinlichkeit 1 in eine gewisse Zustandsmenge eintritt Die Zustandsmenge wird als absorbierend definiert was die Monotonie impliziert und eine geschickte Wahl der Folge t k k N displaystyle t k k in mathbb N nbsp liefert dann oft schnell die Antwort Literatur BearbeitenHeinz Bauer Wahrscheinlichkeitstheorie De Gruyter Lehrbuch 5 durchgesehene und verbesserte Auflage de Gruyter Berlin New York 2002 ISBN 3 11 017236 4 MR1902050 A Renyi Wahrscheinlichkeitsrechnung Mit einem Anhang uber Informationstheorie Hochschulbucher fur Mathematik Band 54 VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften Berlin 1971 A N Sirjaev Wahrscheinlichkeit Hochschulbucher fur Mathematik Band 91 VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften Berlin 1988 ISBN 3 326 00195 9 MR0967761 F T Bruss A Counterpart of the Borel Cantelli Lemma Journal of Applied Probability Band 17 Applied Probability Trust Sheffield 1980 Einzelnachweise Bearbeiten a b Heinz Bauer Wahrscheinlichkeitstheorie 2002 S 73 ff A Renyi Wahrscheinlichkeitsrechnung 1971 S 252 326 ff a b A N Sirjaev Wahrscheinlichkeit 1988 S 265 ff F T Bruss Counterpart Borel Cantelli Lemma 1980 S 1094 ff Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Borel Cantelli Lemma amp oldid 238236570