In der Mathematik bezeichnen Limes superior bzw Limes inferior einer Folge reeller Zahlen den grossten bzw kleinsten Haufungspunkt der Folge Limes superior und Limes inferior sind ein partieller Ersatz fur den Grenzwert falls dieser nicht existiert Limes superior und Limes inferior einer Folge Die Folge xn wird mit blauen Punkten dargestellt Die beiden roten Kurven nahern sich dem Limes superior und Limes inferior der Folge an die als gestrichelte schwarze Linien dargestellt sind Inhaltsverzeichnis 1 Notation 2 Limes superior und Limes inferior fur Folgen 2 1 Folgen reeller Zahlen 2 1 1 Definition 2 1 2 Eigenschaften 2 2 Verallgemeinerung auf allgemeine Folgen 2 2 1 Limes superior und Limes inferior fur Folgen reeller Funktionen 2 2 2 Limes superior und Limes inferior von Mengenfolgen 3 Limes superior und Limes inferior von Funktionen 4 Verallgemeinerung von Limes superior und Limes inferior 4 1 Definition 4 2 Eigenschaften 4 3 Beispiele 5 Literatur 6 EinzelnachweiseNotation BearbeitenDer Limes inferior wird im Folgenden mit lim inf n displaystyle liminf n rightarrow infty nbsp bezeichnet der Limes superior mit lim sup n displaystyle limsup n rightarrow infty nbsp Ublich sind als Bezeichnung auch lim n displaystyle varliminf n rightarrow infty nbsp fur den Limes inferior bzw lim n displaystyle varlimsup n rightarrow infty nbsp fur den Limes superior Limes superior und Limes inferior fur Folgen BearbeitenFolgen reeller Zahlen Bearbeiten Definition Bearbeiten Sei x n n N displaystyle x n n in mathbb N nbsp eine Folge reeller Zahlen Dann ist der Limes inferior von x n n N displaystyle x n n in mathbb N nbsp definiert als lim inf n x n sup n N inf k n x k sup inf x k k n n N displaystyle liminf n rightarrow infty x n sup n in mathbb N inf k geq n x k sup inf x k k geq n n in mathbb N nbsp Analog ist der Limes superior von x n n N displaystyle x n n in mathbb N nbsp definiert als lim sup n x n inf n N sup k n x k inf sup x k k n n N displaystyle limsup n rightarrow infty x n inf n in mathbb N sup k geq n x k inf sup x k k geq n n in mathbb N nbsp Dabei stehen inf displaystyle inf nbsp und sup displaystyle sup nbsp fur Infimum und Supremum Eigenschaften Bearbeiten nbsp Bei beschrankten Folgen liegen fur jedes ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 nbsp fast alle Folgenglieder im offenen Intervall lim inf n x n ϵ lim sup n x n ϵ displaystyle liminf n rightarrow infty x n epsilon limsup n rightarrow infty x n epsilon nbsp Als Elemente der erweiterten reellen Zahlen R displaystyle mathbb R cup lbrace infty infty rbrace nbsp existieren Limes inferior und Limes superior fur jede Folge reeller Zahlen Der Limes inferior und der Limes superior sind genau dann beide reelle Zahlen wenn die Folge beschrankt ist In diesem Fall erhalt man aus der Existenz von Limes inferior und Limes superior den Satz von Bolzano Weierstrass Fur jedes ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 nbsp liegen jeweils unendlich viele Folgenglieder im offenen Intervall lim sup n x n ϵ lim sup n x n ϵ displaystyle limsup n rightarrow infty x n epsilon limsup n rightarrow infty x n epsilon nbsp bzw lim inf n x n ϵ lim inf n x n ϵ displaystyle liminf n rightarrow infty x n epsilon liminf n rightarrow infty x n epsilon nbsp Ausserdem erfullen fast alle Folgenglieder lim inf n x n ϵ lt x n lt lim sup n x n ϵ displaystyle liminf n rightarrow infty x n epsilon lt x n lt limsup n rightarrow infty x n epsilon nbsp Damit ist der Limes inferior der kleinste und der Limes superior der grosste Haufungspunkt einer Folge und somit gilt lim inf n x n lim sup n x n displaystyle liminf n rightarrow infty x n leq limsup n rightarrow infty x n nbsp Gleichheit liegt genau dann vor wenn die Folge in den erweiterten reellen Zahlen konvergiert In diesem Fall gilt lim n x n lim inf n x n lim sup n x n displaystyle lim n rightarrow infty x n liminf n rightarrow infty x n limsup n rightarrow infty x n nbsp Die Bezeichnung lim sup displaystyle limsup nbsp bzw lim inf displaystyle liminf nbsp ist dadurch motiviert dass lim inf n x n lim n inf k n x k displaystyle liminf n rightarrow infty x n lim n rightarrow infty left inf k geq n x k right nbsp bzw lim sup n x n lim n sup k n x k displaystyle limsup n rightarrow infty x n lim n rightarrow infty left sup k geq n x k right nbsp Die Grenzwerte existieren da monotone Folgen in den erweiterten reellen Zahlen konvergent sind Da Haufungspunkte gerade die Grenzwerte konvergenter Teilfolgen sind ist der Limes inferior die kleinste erweiterte reelle Zahl gegen die eine Teilfolge konvergiert bzw der Limes superior die grosste Verallgemeinerung auf allgemeine Folgen Bearbeiten Sei M displaystyle M nbsp eine partiell geordneten Menge und f N M displaystyle f colon mathbb N to M nbsp eine Folge Um lim inf n x n displaystyle liminf n rightarrow infty x n nbsp und lim sup n x n displaystyle limsup n rightarrow infty x n nbsp genauso wie im Fall von reellen Folgen definieren zu konnen mussen in M displaystyle M nbsp die entsprechenden Suprema und Infima existieren Dies ist zum Beispiel dann der Fall wenn M displaystyle M nbsp ein vollstandiger Verband ist so dass auch in diesem Fall jede Folge einen Limes inferior und einen Limes superior besitzt Limes superior und Limes inferior fur Folgen reeller Funktionen Bearbeiten Fur eine Folge reeller Funktionen f n n N displaystyle f n n in mathbb N nbsp also f n R R displaystyle f n colon mathbb R rightarrow mathbb R nbsp fur alle n N displaystyle n in mathbb N nbsp sind Limes inferior und Limes superior punktweise definiert also lim inf n f n x lim inf n f n x und lim sup n f n x lim sup n f n x displaystyle liminf n rightarrow infty f n x liminf n to infty f n x text und limsup n rightarrow infty f n x limsup n to infty f n x nbsp Eine bekannte mathematische Aussage die den Begriff des Limes inferior einer Funktionenfolge verwenden ist das Lemma von Fatou Limes superior und Limes inferior von Mengenfolgen Bearbeiten Hauptartikel Limes superior und Limes inferior von Mengenfolgen Fur eine beliebige Menge W displaystyle Omega nbsp bildet die Potenzmenge P W displaystyle P Omega nbsp einen vollstandigen Verband unter der durch die Teilmengenrelation definierten Ordnung Sei A n n N displaystyle A n n in mathbb N nbsp eine Folge von Teilmengen von W displaystyle Omega nbsp also A n W displaystyle A n subseteq Omega nbsp fur alle n N displaystyle n in mathbb N nbsp Dann gilt sup n N A n n N A n inf n N A n n N A n displaystyle sup n in mathbb N A n bigcup n in mathbb N A n inf n in mathbb N A n bigcap n in mathbb N A n nbsp Damit erhalt man fur Limes inferior und Limes superior lim inf n A n n 1 m n A m displaystyle liminf n rightarrow infty A n bigcup n 1 infty left bigcap m n infty A m right nbsp und lim sup n A n n 1 m n A m displaystyle limsup n rightarrow infty A n bigcap n 1 infty left bigcup m n infty A m right nbsp Der Limes inferior einer Folge A n n N displaystyle A n n in mathbb N nbsp kann als die Menge aller Elemente aus W displaystyle Omega nbsp beschrieben werden die in fast allen A n displaystyle A n nbsp liegen der Limes superior der Mengenfolge A n n N displaystyle A n n in mathbb N nbsp als die Menge aller Elemente aus W displaystyle Omega nbsp die in unendlich vielen A n displaystyle A n nbsp liegen Der Limes superior von Mengen wird beispielsweise im Borel Cantelli Lemma verwendet Ausserdem lassen sich mit dem Limes inferior und superior konvergente Mengenfolgen definieren Die Folge A n n N displaystyle A n n in mathbb N nbsp konvergiert gegen die Menge A displaystyle A nbsp falls der Limes inferior und der Limes superior der Folge gleich sind Eine Folge von Teilmengen einer Menge X displaystyle X nbsp konvergiert genau dann wenn es zu jedem x X displaystyle x in X nbsp einen Index N N displaystyle N in mathbb N nbsp gibt so dass entweder x A n displaystyle x in A n nbsp fur alle n N displaystyle n geq N nbsp oder x A n displaystyle x notin A n nbsp fur alle n N displaystyle n geq N nbsp gilt in Formeln lim n N A n A x X N N n N x A n n N x A n displaystyle lim n in mathbb N A n A iff forall x in X exists N in mathbb N forall n geq N x in A n lor forall n geq N x notin A n nbsp Limes superior und Limes inferior von Funktionen BearbeitenSei I R displaystyle I subseteq mathbb R nbsp ein Intervall 3 displaystyle xi nbsp ein innerer Punkt von I displaystyle I nbsp und f I R displaystyle f colon I to mathbb R nbsp eine reellwertige Funktion Dann sind Limes superior und Limes inferior jene Werte aus den erweiterten reellen Zahlen R displaystyle mathbb R cup infty infty nbsp die folgendermassen definiert sind 1 lim sup x 3 f x inf a gt 0 sup f 3 a 3 a 3 displaystyle limsup x to xi f x inf a gt 0 sup f xi a xi a backslash xi nbsp lim inf x 3 f x sup a gt 0 inf f 3 a 3 a 3 displaystyle liminf x to xi f x sup a gt 0 inf f xi a xi a backslash xi nbsp f 3 a 3 a displaystyle f xi a xi a nbsp bezeichnet dabei die Bildmenge des offenen Intervalls 3 a 3 a displaystyle xi a xi a nbsp wobei a displaystyle a nbsp so klein zu wahlen ist dass 3 a 3 a I displaystyle xi a xi a subseteq I nbsp Analog zu einseitigen Grenzwerten werden ein einseitiger Limes superior und ein einseitiger Limes inferior definiert lim sup x 3 f x inf a gt 0 sup f 3 3 a displaystyle limsup x to xi f x inf a gt 0 sup f xi xi a nbsp lim inf x 3 f x sup a gt 0 inf f 3 3 a displaystyle liminf x to xi f x sup a gt 0 inf f xi xi a nbsp lim sup x 3 f x inf a gt 0 sup f 3 a 3 displaystyle limsup x to xi f x inf a gt 0 sup f xi a xi nbsp lim inf x 3 f x sup a gt 0 inf f 3 a 3 displaystyle liminf x to xi f x sup a gt 0 inf f xi a xi nbsp Limes superior und Limes inferior von Funktionen werden beispielsweise bei der Definition der Halbstetigkeit verwendet Verallgemeinerung von Limes superior und Limes inferior BearbeitenDefinition Bearbeiten Sei T displaystyle T nbsp ein beliebiger topologischer Raum M displaystyle M nbsp eine partiell geordnete Menge in welcher zu jeder nichtleeren Teilmenge A M displaystyle A subseteq M nbsp sowohl inf A displaystyle inf A nbsp als auch sup A displaystyle sup A nbsp existiert M displaystyle M nbsp trage die von dieser Ordnung induzierte Topologie Sei weiter f V M displaystyle f V rightarrow M nbsp V T displaystyle V subseteq T nbsp und a T displaystyle a in T nbsp ein Haufungspunkt von V displaystyle V nbsp das heisst jede Umgebung von a displaystyle a nbsp enthalte ein von a displaystyle a nbsp verschiedenes Element aus V displaystyle V nbsp Die Menge der Umgebungen von a displaystyle a nbsp in V displaystyle V nbsp werde mit U a displaystyle mathfrak U a nbsp bezeichnet Definiere nun lim sup x a f x inf U U a sup x U a f x displaystyle limsup x to a f x inf U in mathfrak U a sup x in U backslash a f x nbsp lim inf x a f x sup U U a inf x U a f x displaystyle liminf x to a f x sup U in mathfrak U a inf x in U backslash a f x nbsp U a displaystyle mathfrak U a nbsp darf hierbei durch eine beliebige Umgebungsbasis von a displaystyle a nbsp ersetzt werden Eigenschaften Bearbeiten Es ist stets lim inf x a f x lim sup x a f x displaystyle liminf x to a f x leq limsup x to a f x nbsp Ausserdem folgt aus der Gleichheit des Limes superior mit dem Limes inferior lim inf x a f x lim sup x a f x displaystyle liminf x to a f x limsup x to a f x nbsp dass lim x a f x displaystyle lim x to a f x nbsp existiert und es gilt lim x a f x lim inf x a f x lim sup x a f x displaystyle lim x to a f x liminf x to a f x limsup x to a f x nbsp Beispiele Bearbeiten Fur T N displaystyle T mathbb N cup infty nbsp V N displaystyle V mathbb N nbsp M R displaystyle M mathbb R cup infty infty nbsp und a displaystyle a infty nbsp erhalt man die aus der Analysis bekannte Definition des Limes inferior und Limes superior einer Folge reeller Zahlen Fur T N displaystyle T mathbb N cup infty nbsp V N displaystyle V mathbb N nbsp M Pot W displaystyle M operatorname Pot Omega nbsp und a displaystyle a infty nbsp erhalt man die Definition des Limes inferior und Limes superior fur Mengenfolgen Literatur BearbeitenKonrad Konigsberger Analysis 1 6 Auflage Springer Berlin Heidelberg New York 2004 ISBN 3 540 41282 4 S 50 Heinz Bauer Mass und Integrationstheorie 2 Auflage De Gruyter Berlin 1992 ISBN 3 11 013626 0 Gebunden ISBN 3 11 013625 2 Broschiert S 93 zu Folgen von Mengen Einzelnachweise Bearbeiten Nelson Dunford and Jacob T Schwartz Linear Operators Part I General Theory John Wiles and Sons 1988 p 4 ISBN 0 471 60848 3 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Limes superior und Limes inferior amp oldid 225922136
