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Satz von Bolzano Weierstraß Der nach Bernard Bolzano und Karl Weierstraß ist ein Satz der Analysis über die Existenz kon

Satz von Bolzano-Weierstraß

Der Satz von Bolzano-Weierstraß (nach Bernard Bolzano und Karl Weierstraß) ist ein Satz der Analysis über die Existenz konvergenter Teilfolgen.

Formulierungen des Satzes von Bolzano-Weierstraß Bearbeiten

Für den Satz von Bolzano-Weierstraß gibt es folgende Formulierungen, die alle äquivalent zueinander sind:

Beweisskizze Bearbeiten

Der Beweis der allgemeinen Aussagen wird auf die eindimensionale reelle Aussage zurückgeführt. Diese kann man beweisen, indem man gleichzeitig eine Intervallschachtelung und eine Teilfolge konstruiert, so dass für jedes gilt . Diese zwei Folgen werden rekursiv konstruiert.

  1. Als Startpunkt dient das Intervall , wobei L eine Schranke der Folge ist, d. h. alle Folgeglieder sind im Intervall enthalten. Weiter kann als erstes Glied der zu bestimmenden Teilfolge gesetzt werden.
  2. Im Schritt von k zu k+1 enthält das Intervall unendlich viele Folgeglieder.
    1. Zuerst wird das Intervall halbiert in und mit dem Mittelpunkt .
    2. Es können nicht in beiden Teilintervallen nur endlich viele Folgeglieder liegen. Es kann also immer ein Teilintervall mit unendlich vielen Folgenglieder ausgewählt werden, diese Hälfte wird mit bezeichnet.
    3. Schließlich wird das nächste Glied der Teilfolge als das erste Element bestimmt, das in liegt und dessen Index größer ist als der des zuvor gewählten Elements, .
  3. Der Rekursionsschritt wird für alle durchgeführt. Das betrachtete Intervall wird dabei immer kleiner, , die Länge konvergiert gegen Null, wie es von einer Intervallschachtelung verlangt wird. Nach der Konstruktion ist der gemeinsame Punkt aller Intervalle , auch schon der Grenzwert der Teilfolge, , und damit ein Häufungspunkt der vorgegebenen beschränkten Folge.

Um den größten Häufungspunkt zu bestimmen, muss man, wann immer möglich, das obere Teilintervall wählen, für den kleinsten Häufungspunkt das untere Teilintervall.

Der Beweis beruht entscheidend auf dem Intervallschachtelungsprinzip, welches wiederum äquivalent ist zur Vollständigkeit der reellen Zahlen.

Visualisierung der Beweisskizze Bearbeiten

Verallgemeinerungen Bearbeiten

Endlichdimensionale Vektorräume Bearbeiten

Die komplexen Zahlen werden im Kontext dieses Satzes als zweidimensionaler reeller Vektorraum betrachtet. Für eine Folge von Spaltenvektoren mit n reellen Komponenten wählt man zuerst eine Teilfolge, die in der ersten Komponente konvergiert. Von dieser wählt man wieder eine Teilfolge, die auch in der zweiten Komponente konvergiert. Die Konvergenz in der ersten Komponente bleibt erhalten, da Teilfolgen konvergenter Folgen wieder konvergent mit demselben Grenzwert sind. Und so weiter, bis die n-te Teilfolge auch in der letzten Komponente konvergiert.

Unendlichdimensionale Vektorräume Bearbeiten

Der Satz von Bolzano-Weierstraß gilt nicht in unendlichdimensionalen normierten Vektorräumen. So ist z. B. die Folge der Einheitsvektoren (0,0,...,0,1,0,...,0,...) im Folgenraum beschränkt, hat aber keinen Häufungspunkt, da alle Folgenglieder einen Abstand von voneinander haben. Dieses Gegenbeispiel lässt sich auf beliebige unendlichdimensionale normierte Räume verallgemeinern, man kann darin immer eine unendliche Folge von Vektoren der Länge 1 konstruieren, die untereinander paarweise einen Abstand von wenigstens 1/2 besitzen.

Als Ersatz für den Satz von Bolzano-Weierstraß in unendlichdimensionalen Vektorräumen existiert in reflexiven Räumen folgende Aussage: Jede beschränkte Folge eines reflexiven Raumes besitzt eine schwach konvergente Teilfolge. Zusammen mit den sobolevschen Einbettungssätzen liefert die Existenz von schwach konvergenten Teilfolgen beschränkter Folgen häufig Lösungen von Variationsproblemen und damit partiellen Differentialgleichungen.

Folgerungen und Verallgemeinerungen Bearbeiten

Aus dem Satz von Bolzano-Weierstraß folgt, dass jede monotone und beschränkte Folge reeller Zahlen konvergiert (Monotoniekriterium) und dass eine stetige Funktion auf einem abgeschlossenen und beschränkten Intervall ein Maximum bzw. ein Minimum annimmt (Satz vom Minimum und Maximum).

Der Satz von Bolzano-Weierstraß ist eng verwandt mit dem Satz von Heine-Borel. Eine Verallgemeinerung beider Sätze auf topologische Räume ist folgender: Ein topologischer Raum ist genau dann ein kompakter Raum, wenn jedes Netz ein konvergentes Teilnetz hat.

Literatur Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Satz von Bolzano-Weierstraß – Lern- und Lehrmaterialien
Wikibooks: Mathematik in mehreren Bänden, Band 4, Analysis – Lern- und Lehrmaterialien
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Veröffentlichungsdatum:
Der Satz von Bolzano Weierstrass nach Bernard Bolzano und Karl Weierstrass ist ein Satz der Analysis uber die Existenz konvergenter Teilfolgen Inhaltsverzeichnis 1 Formulierungen des Satzes von Bolzano Weierstrass 2 Beweisskizze 3 Visualisierung der Beweisskizze 4 Verallgemeinerungen 4 1 Endlichdimensionale Vektorraume 4 2 Unendlichdimensionale Vektorraume 5 Folgerungen und Verallgemeinerungen 6 Literatur 7 WeblinksFormulierungen des Satzes von Bolzano Weierstrass BearbeitenFur den Satz von Bolzano Weierstrass gibt es folgende Formulierungen die alle aquivalent zueinander sind Jede beschrankte Folge komplexer Zahlen mit unendlich vielen Gliedern enthalt mindestens eine konvergente Teilfolge Jede beschrankte Folge komplexer Zahlen mit unendlich vielen Gliedern hat mindestens einen Haufungspunkt Jede beschrankte Folge reeller Zahlen hat mindestens einen Haufungspunkt Beweisskizze BearbeitenDer Beweis der allgemeinen Aussagen wird auf die eindimensionale reelle Aussage zuruckgefuhrt Diese kann man beweisen indem man gleichzeitig eine Intervallschachtelung I k u k v k k N displaystyle I k u k v k k in mathbb N nbsp und eine Teilfolge a n k k N displaystyle a n k k in mathbb N nbsp konstruiert so dass fur jedes k N displaystyle k in mathbb N nbsp gilt a n k I k displaystyle a n k in I k nbsp Diese zwei Folgen werden rekursiv konstruiert Als Startpunkt dient das Intervall I 1 u 1 v 1 L L displaystyle I 1 u 1 v 1 L L nbsp wobei L eine Schranke der Folge ist d h alle Folgeglieder sind im Intervall enthalten Weiter kann a n 1 a 1 displaystyle a n 1 a 1 nbsp als erstes Glied der zu bestimmenden Teilfolge gesetzt werden Im Schritt von k zu k 1 enthalt das Intervall I k u k v k displaystyle I k u k v k nbsp unendlich viele Folgeglieder Zuerst wird das Intervall I k u k v k displaystyle I k u k v k nbsp halbiert in u k t k displaystyle u k t k nbsp und t k v k displaystyle t k v k nbsp mit dem Mittelpunkt t k 1 2 u k v k displaystyle t k tfrac 1 2 u k v k nbsp Es konnen nicht in beiden Teilintervallen nur endlich viele Folgeglieder liegen Es kann also immer ein Teilintervall mit unendlich vielen Folgenglieder ausgewahlt werden diese Halfte wird mit I k 1 displaystyle I k 1 nbsp bezeichnet Schliesslich wird das nachste Glied a n k 1 displaystyle a n k 1 nbsp der Teilfolge als das erste Element a m displaystyle a m nbsp bestimmt das in I k 1 displaystyle I k 1 nbsp liegt und dessen Index grosser ist als der des zuvor gewahlten Elements m gt n k displaystyle m gt n k nbsp Der Rekursionsschritt wird fur alle k N displaystyle k in mathbb N nbsp durchgefuhrt Das betrachtete Intervall wird dabei immer kleiner I k 1 1 2 I k displaystyle I k 1 tfrac 1 2 I k nbsp die Lange konvergiert gegen Null wie es von einer Intervallschachtelung verlangt wird Nach der Konstruktion ist der gemeinsame Punkt aller Intervalle k N I k x displaystyle textstyle bigcap k in mathbb N I k x nbsp auch schon der Grenzwert der Teilfolge lim k a n k x displaystyle textstyle lim k to infty a n k x nbsp und damit ein Haufungspunkt der vorgegebenen beschrankten Folge Um den grossten Haufungspunkt zu bestimmen muss man wann immer moglich das obere Teilintervall wahlen fur den kleinsten Haufungspunkt das untere Teilintervall Der Beweis beruht entscheidend auf dem Intervallschachtelungsprinzip welches wiederum aquivalent ist zur Vollstandigkeit der reellen Zahlen Visualisierung der Beweisskizze Bearbeiten nbsp Gegeben sei eine beschrankte Folge x n n N displaystyle x n n in mathbb N nbsp Diese besitzt damit eine untere Schranke s displaystyle s nbsp und eine obere Schranke S displaystyle S nbsp nbsp Als erstes Intervall der Intervallschachtelung wahlt man I 1 s S displaystyle I 1 s S nbsp nbsp Das Intervall I 1 displaystyle I 1 nbsp wird in zwei gleich grosse Teilintervalle unterteilt nbsp Als zweites Intervall I 2 displaystyle I 2 nbsp der Intervallschachtelung wahlt man das Teilintervall welches unendlich viele Folgenglieder von x n n N displaystyle x n n in mathbb N nbsp besitzt Wenn beide Teilintervalle unendlich viele Glieder von x n n N displaystyle x n n in mathbb N nbsp besitzen wahlt man irgendeines der beiden Teilintervalle als I 2 displaystyle I 2 nbsp nbsp Das Intervall I 2 displaystyle I 2 nbsp wird wieder in zwei Teilintervalle zerlegt nbsp Auch hier wahlt man das Teilintervall als drittes Intervall I 3 displaystyle I 3 nbsp welches unendlich viele Folgeglieder von x n n N displaystyle x n n in mathbb N nbsp besitzt nbsp Diesen Prozess wiederholt man unendlich oft So erhalt man eine Intervallschachtelung I n n N displaystyle I n n in mathbb N nbsp Aus dem Intervallschachtelungsprinzip folgt dass es eine Zahl x displaystyle x nbsp gibt die in allen Intervallen I n displaystyle I n nbsp enthalten ist Diese Zahl ist dann auch Haufungspunkt der Folge x n n N displaystyle x n n in mathbb N nbsp Verallgemeinerungen BearbeitenEndlichdimensionale Vektorraume Bearbeiten Die komplexen Zahlen werden im Kontext dieses Satzes als zweidimensionaler reeller Vektorraum betrachtet Fur eine Folge a n n N R n displaystyle a n n in mathbb N subset mathbb R n nbsp von Spaltenvektoren mit n reellen Komponenten wahlt man zuerst eine Teilfolge die in der ersten Komponente konvergiert Von dieser wahlt man wieder eine Teilfolge die auch in der zweiten Komponente konvergiert Die Konvergenz in der ersten Komponente bleibt erhalten da Teilfolgen konvergenter Folgen wieder konvergent mit demselben Grenzwert sind Und so weiter bis die n te Teilfolge auch in der letzten Komponente konvergiert Unendlichdimensionale Vektorraume Bearbeiten Der Satz von Bolzano Weierstrass gilt nicht in unendlichdimensionalen normierten Vektorraumen So ist z B die Folge der Einheitsvektoren 0 0 0 1 0 0 im Folgenraum ℓ 2 R displaystyle ell 2 mathbb R nbsp beschrankt hat aber keinen Haufungspunkt da alle Folgenglieder einen Abstand von 2 displaystyle sqrt 2 nbsp voneinander haben Dieses Gegenbeispiel lasst sich auf beliebige unendlichdimensionale normierte Raume verallgemeinern man kann darin immer eine unendliche Folge von Vektoren der Lange 1 konstruieren die untereinander paarweise einen Abstand von wenigstens 1 2 besitzen Als Ersatz fur den Satz von Bolzano Weierstrass in unendlichdimensionalen Vektorraumen existiert in reflexiven Raumen folgende Aussage Jede beschrankte Folge eines reflexiven Raumes besitzt eine schwach konvergente Teilfolge Zusammen mit den sobolevschen Einbettungssatzen liefert die Existenz von schwach konvergenten Teilfolgen beschrankter Folgen haufig Losungen von Variationsproblemen und damit partiellen Differentialgleichungen Folgerungen und Verallgemeinerungen BearbeitenAus dem Satz von Bolzano Weierstrass folgt dass jede monotone und beschrankte Folge reeller Zahlen konvergiert Monotoniekriterium und dass eine stetige Funktion auf einem abgeschlossenen und beschrankten Intervall ein Maximum bzw ein Minimum annimmt Satz vom Minimum und Maximum Der Satz von Bolzano Weierstrass ist eng verwandt mit dem Satz von Heine Borel Eine Verallgemeinerung beider Satze auf topologische Raume ist folgender Ein topologischer Raum ist genau dann ein kompakter Raum wenn jedes Netz ein konvergentes Teilnetz hat Literatur BearbeitenKonrad Konigsberger Analysis 1 Springer Berlin 2004 ISBN 3 540 41282 4 Konrad Konigsberger Analysis 2 Springer Verlag Berlin Heidelberg 2000 ISBN 3 540 43580 8Weblinks Bearbeiten nbsp Wikibooks Mathe fur Nicht Freaks Satz von Bolzano Weierstrass Lern und Lehrmaterialien nbsp Wikibooks Mathematik in mehreren Banden Band 4 Analysis Lern und Lehrmaterialien Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Bolzano Weierstrass amp oldid 238918093