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Teilfolge In der Mathematik ist eine einer Folge eine neue Folge die entsteht wenn Folgenglieder von der ursprünglichen

Teilfolge

In der Mathematik ist eine Teilfolge einer Folge eine neue Folge, die entsteht, wenn Folgenglieder von der ursprünglichen Folge weggelassen werden. Es können endlich viele Glieder (insbesondere auch gar keine) oder unendlich viele weggelassen werden. Sofern nicht ausdrücklich von einer endlichen Teilfolge gesprochen wird, ist bei einer unendlichen Folge üblicherweise wieder eine unendliche Teilfolge gemeint.

Eine Teilfolge kann aus der Folge gebildet werden, indem nur die Elemente berücksichtigt werden, wobei eine streng monoton wachsende unendliche Folge ist.

ist selbst auch eine Teilfolge von .

Beispiele Bearbeiten

  • Folge: . Teilfolge mit :
  • Folge: . Teilfolge mit :

Folgenkompakter Raum Bearbeiten

Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß besitzt jede beschränkte unendliche reelle Zahlenfolge mindestens eine konvergente Teilfolge. Allgemein heißt ein topologischer Raum folgenkompakt, wenn er die Eigenschaft hat, dass jede Folge mindestens eine konvergente Teilfolge hat.

Konvergenz Bearbeiten

Ist eine Folge konvergent gegen , so konvergiert auch jede Teilfolge gegen denselben Grenzwert . Umgekehrt gilt auch, wenn jede Teilfolge gegen denselben Grenzwert konvergiert, dass auch die Folge gegen konvergiert.

In jedem topologischen Raum gilt sogar der Satz, dass eine Folge genau dann gegen konvergiert, wenn jede Teilfolge eine Teilteilfolge enthält, die gegen konvergiert. Die Bedeutung dieses Satzes liegt erstens darin, dass er bei vielen Konvergenzbeweisen in folgenkompakten Räumen hilfreich ist. Zweitens liefert dieser Satz ein Kriterium, ob ein Konvergenzbegriff durch eine Topologie beschrieben werden kann; die punktweise Konvergenz fast überall einer Funktionenfolge erfüllt beispielsweise nicht diesen Satz und kann daher nicht durch eine Topologie beschrieben werden.

Weblinks Bearbeiten

Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Teilfolge – Lern- und Lehrmaterialien

Literatur Bearbeiten

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In der Mathematik ist eine Teilfolge einer Folge eine neue Folge die entsteht wenn Folgenglieder von der ursprunglichen Folge weggelassen werden Es konnen endlich viele Glieder insbesondere auch gar keine oder unendlich viele weggelassen werden Sofern nicht ausdrucklich von einer endlichen Teilfolge gesprochen wird ist bei einer unendlichen Folge ublicherweise wieder eine unendliche Teilfolge gemeint Eine Teilfolge kann aus der Folge a n displaystyle a n gebildet werden indem nur die Elemente a n k k N displaystyle a n k k in mathbb N berucksichtigt werden wobei n 1 lt n 2 lt n 3 lt displaystyle n 1 lt n 2 lt n 3 lt dotsb eine streng monoton wachsende unendliche Folge ist a n displaystyle a n ist selbst auch eine Teilfolge von a n displaystyle a n Inhaltsverzeichnis 1 Beispiele 2 Folgenkompakter Raum 3 Konvergenz 4 Weblinks 5 LiteraturBeispiele BearbeitenFolge a n 1 n displaystyle a n 1 n nbsp Teilfolge mit n k 2 k displaystyle n k 2k nbsp a n k 1 1 1 displaystyle a n k 1 1 1 dotsc nbsp Folge a n n displaystyle a n n nbsp Teilfolge mit n k k 2 displaystyle n k k 2 nbsp a n k 1 4 9 16 displaystyle a n k 1 4 9 16 dotsc nbsp Folgenkompakter Raum BearbeitenNach dem Satz von Bolzano Weierstrass besitzt jede beschrankte unendliche reelle Zahlenfolge mindestens eine konvergente Teilfolge Allgemein heisst ein topologischer Raum folgenkompakt wenn er die Eigenschaft hat dass jede Folge mindestens eine konvergente Teilfolge hat Konvergenz BearbeitenIst eine Folge a n n N displaystyle a n n in mathbb N nbsp konvergent gegen a displaystyle a nbsp so konvergiert auch jede Teilfolge a n k k N displaystyle a n k k in mathbb N nbsp gegen denselben Grenzwert a displaystyle a nbsp Umgekehrt gilt auch wenn jede Teilfolge a n k k N displaystyle a n k k in mathbb N nbsp gegen denselben Grenzwert a displaystyle a nbsp konvergiert dass auch die Folge a n n N displaystyle a n n in mathbb N nbsp gegen a displaystyle a nbsp konvergiert In jedem topologischen Raum gilt sogar der Satz dass eine Folge a n n N displaystyle a n n in mathbb N nbsp genau dann gegen a displaystyle a nbsp konvergiert wenn jede Teilfolge a n k k N displaystyle a n k k in mathbb N nbsp eine Teilteilfolge a n k l l N displaystyle a n k l l in mathbb N nbsp enthalt die gegen a displaystyle a nbsp konvergiert Die Bedeutung dieses Satzes liegt erstens darin dass er bei vielen Konvergenzbeweisen in folgenkompakten Raumen hilfreich ist Zweitens liefert dieser Satz ein Kriterium ob ein Konvergenzbegriff durch eine Topologie beschrieben werden kann die punktweise Konvergenz fast uberall einer Funktionenfolge erfullt beispielsweise nicht diesen Satz und kann daher nicht durch eine Topologie beschrieben werden Weblinks Bearbeiten nbsp Wikibooks Mathe fur Nicht Freaks Teilfolge Lern und LehrmaterialienLiteratur BearbeitenKonrad Konigsberger Analysis 1 Springer Berlin 2004 ISBN 3 540 41282 4 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Teilfolge amp oldid 205968770