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Satz vom Minimum und Maximum Der ist ein mathematischer Lehrsatz aus dem Gebiet der Analysis der dem deutschen Mathemati

Satz vom Minimum und Maximum

Der Satz vom Minimum und Maximum ist ein mathematischer Lehrsatz aus dem Gebiet der Analysis, der dem deutschen Mathematiker Karl Weierstraß zugerechnet wird. Der Satz besagt, dass jede auf einem kompakten reellen Intervall definierte, reellwertige und stetige Funktion beschränkt ist und im Definitionsbereich ihr Maximum sowie Minimum annimmt. Er ist einer der Hauptsätze der Analysis und stellt ein wichtiges Instrument zum Beweis der Existenz von Extremwerten solcher Funktionen dar.

Eine auf [a,b] definierte stetige Funktion, die ihr Maximum und Minimum annimmt

Satz vom Minimum und Maximum Bearbeiten

Der Satz lässt sich in mehreren Fassungen formulieren:

Oder ausführlich:

Oder kurz und unter Einbeziehung des Zwischenwertsatzes:

Beweis Bearbeiten

Voraussetzung: Sei eine stetige Funktion mit und .

sei die Menge aller Funktionswerte, die annimmt.

Die Folgen und mit jeweils heißen zugehörig, wenn für je ein Folgenglied gilt: .

bzw. sei eine durch geeignete Auswahl aus bzw. entstehende Teilfolge, wobei .

A. Behauptung: Jede Folge hat eine Teilfolge , die gegen ein konvergiert.

Beweis: Die zugehörige Folge ist wegen beschränkt. Mit dem Satz von Bolzano-Weierstraß lässt sich aus eine konvergente Teilfolge auswählen. Da kompakt ist, konvergiert gegen ein . Da in stetig ist, konvergiert die zugehörige Folge nach dem Folgenkriterium der Stetigkeit gegen .

B. Behauptung: ist in [a,b] nach oben beschränkt.

Der Beweis wird indirekt geführt. - Annahme: ist nicht nach oben beschränkt.

Dann gibt es eine streng monoton steigende und (bestimmt) divergente Folge . Jede Teilfolge von ist ebenfalls divergent. Das ist widersprüchlich, denn mit A. lässt sich aus eine konvergente Teilfolge auswählen.

Also ist nach oben beschränkt, und hat ein Supremum .

C. Behauptung: nimmt in [a,b] ein Maximum an.

Aus geeignet gewählten Elementen von lässt sich eine Folge erstellen, die gegen das Supremum von konvergiert. Jede Teilfolge von konvergiert ebenfalls gegen . Mit A. gibt es eine Teilfolge von , die gegen konvergiert. Wegen der Eindeutigkeit des Grenzwerts ist das Maximum der Behauptung.

D. Behauptung: ist in [a,b] nach unten beschränkt und nimmt dort ein Minimum an.

Zum Beweis ist in B. und C. „oben“ durch „unten“, „steigend“ durch „fallend“, „Supremum“ durch „Infimum“ und „Maximum“ durch „Minimum“ zu ersetzen.

Bemerkungen Bearbeiten

  • Der Satz ist ein reiner Existenzsatz. Er ist nicht konstruktiv. Das heißt: Er liefert kein Verfahren, die Extremalstellen tatsächlich zu bestimmen. Bei differenzierbaren Funktionen können die Methoden der Kurvendiskussion genutzt werden, um die Extrema einer Funktion zu bestimmen.
  • Der Satz vom Minimum und Maximum ist in bestimmtem Sinne charakteristisch für . Seine uneingeschränkte Gültigkeit ist gleichwertig mit dem Supremumsaxiom.

Verallgemeinerung Bearbeiten

Der gleiche Satz - gemäß den Fassungen (Ia) oder (Ib) - gilt auch noch, wenn anstelle eines kompakten reellen Intervalls ein beliebiger kompakter topologischer Raum zugrunde gelegt wird: Stetige Bilder von kompakten topologischen Räumen unter reellwertigen Funktionen sind innerhalb der reellen Zahlen stets abgeschlossen und beschränkt.

Tatsächlich kann diese Aussage noch weiter verallgemeinert werden: Das Bild eines kompakten topologischen Raums unter einer stetigen Funktion ist wieder kompakt. Da kompakte Teilmengen von metrischen Räumen (insbesondere also von ) immer abgeschlossen und beschränkt sind, folgt sofort die obige Aussage.

Da auch die Bilder zusammenhängender topologischer Räume unter stetigen Funktionen wieder zusammenhängend sind und die zusammenhängenden Teilmengen von gerade die Intervalle sind, stellt sich auch die Fassung (II) als Spezialfall eines allgemeinen topologischen Sachverhalts dar.

Quellen und Hintergrundliteratur Bearbeiten

  • Otto Forster: Analysis 2 (= Grundkurs Mathematik). 8., aktualisierte Auflage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-9541-7.
  • Horst Schubert: Topologie. Eine Einführung (= Mathematische Leitfäden). 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6. MR0423277

Weblinks Bearbeiten

Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Satz vom Minimum und Maximum – Lern- und Lehrmaterialien

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Ein Beispiel ist die rekursiv definierte Folge : beliebig, beliebig.
  2. Ein Beispiel ist die rekursiv definierte Folge : beliebig, .
  3. Im Beweis der Existenz des Minimums sind Beispiele für rekursiv definierte Folgen des Beweisgangs: in B. : beliebig, beliebig, bzw. in C. : beliebig, beliebig.
  4. Horst Schubert: Topologie. 1975, S. 62
  5. Der Satz vom Minimum und Maximum lässt sich sogar auf den Fall der halbstetigen Funktionen ausdehnen. Siehe Beweisarchiv.
  6. Es gibt eine weitere Verallgemeinerung, der auch den Fall der folgenkompakten Räume einbezieht.
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Veröffentlichungsdatum:
Der Satz vom Minimum und Maximum ist ein mathematischer Lehrsatz aus dem Gebiet der Analysis der dem deutschen Mathematiker Karl Weierstrass zugerechnet wird Der Satz besagt dass jede auf einem kompakten reellen Intervall definierte reellwertige und stetige Funktion beschrankt ist und im Definitionsbereich ihr Maximum sowie Minimum annimmt Er ist einer der Hauptsatze der Analysis und stellt ein wichtiges Instrument zum Beweis der Existenz von Extremwerten solcher Funktionen dar Eine auf a b definierte stetige Funktion die ihr Maximum und Minimum annimmt Inhaltsverzeichnis 1 Satz vom Minimum und Maximum 2 Beweis 3 Bemerkungen 4 Verallgemeinerung 5 Quellen und Hintergrundliteratur 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseSatz vom Minimum und Maximum BearbeitenDer Satz lasst sich in mehreren Fassungen formulieren Ia Jede auf einem kompakten Intervall a b R a b displaystyle a b subset mathbb R a leq b nbsp definierte stetige Funktion ist dort beschrankt und nimmt dort ein Maximum und ein Minimum an Oder ausfuhrlich Ib Ist f a b R displaystyle f colon a b to mathbb R nbsp eine stetige Funktion so gibt es stets Argumente x x a b displaystyle tilde x hat x in a b nbsp derart dass fur jedes andere Argument x a b displaystyle x in a b nbsp die Ungleichung f x f x f x displaystyle f hat x leq f x leq f tilde x nbsp erfullt ist Oder kurz und unter Einbeziehung des Zwischenwertsatzes II Fur jede stetige Funktion f a b R displaystyle f colon a b to mathbb R nbsp existieren Argumente x x a b displaystyle tilde x hat x in a b nbsp mit f a b f x f x displaystyle f a b f hat x f tilde x nbsp Beweis BearbeitenVoraussetzung Sei f a b R displaystyle f colon a b to mathbb R nbsp eine stetige Funktion mit a b R displaystyle a b in mathbb R nbsp und a b displaystyle a leq b nbsp M f a b displaystyle M f a b nbsp sei die Menge aller Funktionswerte die f displaystyle f nbsp annimmt Die Folgen y n y n M displaystyle y n y n in M nbsp und x n x n a b displaystyle x n x n in a b nbsp mit jeweils n N 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displaystyle mathbb R nbsp Seine uneingeschrankte Gultigkeit ist gleichwertig mit dem Supremumsaxiom Verallgemeinerung BearbeitenDer gleiche Satz gemass den Fassungen Ia oder Ib gilt auch noch wenn anstelle eines kompakten reellen Intervalls ein beliebiger kompakter topologischer Raum zugrunde gelegt wird Stetige Bilder von kompakten topologischen Raumen unter reellwertigen Funktionen sind innerhalb der reellen Zahlen stets abgeschlossen und beschrankt 4 5 6 Tatsachlich kann diese Aussage noch weiter verallgemeinert werden Das Bild eines kompakten topologischen Raums unter einer stetigen Funktion ist wieder kompakt Da kompakte Teilmengen von metrischen Raumen insbesondere also von R displaystyle mathbb R nbsp immer abgeschlossen und beschrankt sind folgt sofort die obige Aussage Da auch die Bilder zusammenhangender topologischer Raume unter stetigen Funktionen wieder zusammenhangend sind und die zusammenhangenden Teilmengen von R displaystyle mathbb R nbsp gerade die Intervalle sind stellt sich auch die Fassung II als Spezialfall eines allgemeinen topologischen Sachverhalts dar Quellen und Hintergrundliteratur BearbeitenOtto Forster Analysis 2 Grundkurs Mathematik 8 aktualisierte Auflage Vieweg Teubner Wiesbaden 2008 ISBN 978 3 8348 9541 7 Horst Schubert Topologie Eine Einfuhrung Mathematische Leitfaden 4 Auflage B G Teubner Verlag Stuttgart 1975 ISBN 3 519 12200 6 MR0423277Weblinks Bearbeiten nbsp Wikibooks Mathe fur Nicht Freaks Satz vom Minimum und Maximum Lern und LehrmaterialienEinzelnachweise Bearbeiten Ein Beispiel ist die rekursiv definierte Folge y n displaystyle y n nbsp y 0 displaystyle y 0 nbsp beliebig y n 1 y n 1 displaystyle y n 1 leq y n 1 nbsp beliebig Ein Beispiel ist die rekursiv definierte Folge y n displaystyle y n nbsp y 0 displaystyle y 0 nbsp beliebig s y n 1 s y n 2 displaystyle s geq y n 1 geq s y n 2 nbsp Im Beweis der Existenz des Minimums sind Beispiele fur rekursiv definierte Folgen des Beweisgangs in B y n displaystyle y n nbsp y 0 displaystyle y 0 nbsp beliebig y n 1 y n 1 displaystyle y n 1 geq y n 1 nbsp beliebig bzw in C y n displaystyle y n nbsp y 0 displaystyle y 0 nbsp beliebig s y n 1 s y n 2 displaystyle s leq y n 1 leq s y n 2 nbsp beliebig Horst Schubert Topologie 1975 S 62 Der Satz vom Minimum und Maximum lasst sich sogar auf den Fall der halbstetigen Funktionen ausdehnen Siehe Beweisarchiv Es gibt eine weitere Verallgemeinerung der auch den Fall der folgenkompakten Raume einbezieht Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz vom Minimum und Maximum amp oldid 235424886