In der reellen Analysis ist der Zwischenwertsatz ein wichtiger Satz uber den Wertebereich von stetigen Funktionen Zwischenwertsatz Sei f displaystyle f eine auf a b displaystyle a b definierte stetige Funktion mit f a lt s lt f b displaystyle f a lt s lt f b dann gibt es mindestens ein x displaystyle x mit f x s displaystyle f x s Der Zwischenwertsatz sagt aus dass eine reelle Funktion f displaystyle f die auf einem abgeschlossenen Intervall a b displaystyle a b stetig ist jeden Wert zwischen f a displaystyle f a und f b displaystyle f b annimmt Haben insbesondere f a displaystyle f a und f b displaystyle f b verschiedene Vorzeichen so garantiert der Zwischenwertsatz die Existenz von mindestens einer Nullstelle von f displaystyle f im offenen Intervall a b displaystyle a b Dieser Sonderfall ist als Nullstellensatz von Bolzano bekannt und nach Bernard Bolzano benannt Andererseits kann der Zwischenwertsatz aber auch aus dem Nullstellensatz hergeleitet werden Die beiden Formulierungen sind also aquivalent Inhaltsverzeichnis 1 Satz 2 Beweis 2 1 Alternativer Beweis 3 Beispiel 4 Verallgemeinerung 5 Zwischenwertsatz fur Ableitungen Satz von Darboux 6 Weblinks 7 Literatur 8 Anmerkungen 9 EinzelnachweiseSatz Bearbeiten source source source source source source Formulierung und Intuition hinter dem ZwischenwertsatzSeien a b R displaystyle a b in mathbb R nbsp mit a lt b displaystyle a lt b nbsp und f a b R displaystyle f colon a b to mathbb R nbsp eine stetige Funktion Dann nimmt f displaystyle f nbsp jeden beliebigen Wert u displaystyle u nbsp zwischen f a displaystyle f a nbsp und f b displaystyle f b nbsp an mindestens einer Stelle c a b displaystyle c in a b nbsp an d h f c u displaystyle f c u nbsp Formal heisst das zu jedem u f a f b displaystyle u in f a f b nbsp falls f a lt f b displaystyle f a lt f b nbsp bzw u f b f a displaystyle u in f b f a nbsp falls f b lt f a displaystyle f b lt f a nbsp existiert ein c a b displaystyle c in a b nbsp mit f c u displaystyle f left c right u nbsp Anders formuliert bedeutet dies m M f a b displaystyle m M subseteq f a b nbsp worin m min f a f b displaystyle m min f a f b nbsp und M max f a f b displaystyle M max f a f b nbsp Beweis BearbeitenDer Beweis setzt voraus dass die Grenzen des betrachteten abgeschlossenen Intervalls a b displaystyle a b nbsp endlich sind gleichbedeutend a b displaystyle a b nbsp ist auch beschrankt und somit kompakt Tatsachlich gilt der Zwischenwertsatz auch fur unbeschrankte abgeschlossene Intervalle die dann zu beweisenden Behauptungen finden sich im Abschnitt Verallgemeinerung dieses Artikels Ohne Beschrankung der Allgemeinheit gelte f a lt f b displaystyle f a lt f b nbsp und es sei u f a f b displaystyle u in f a f b nbsp Die Funktion g a b R x g x f x u displaystyle g colon a b to mathbb R quad x mapsto g x f x u nbsp ist als Komposition zweier stetiger Funktionen stetig auf a b displaystyle a b nbsp Wegen f a u displaystyle f a leq u nbsp ist g a 0 displaystyle g a leq 0 nbsp wegen u f b displaystyle u leq f b nbsp ist 0 g b displaystyle 0 leq g b nbsp insgesamt also g a 0 g b 1 displaystyle g a leq 0 leq g b mathbf 1 nbsp Zum Beweis der Behauptung ist hinreichend zu zeigen dass g displaystyle g nbsp eine Nullstelle c a b displaystyle c in a b nbsp hat denn g c 0 f c u displaystyle g c 0 Leftrightarrow f c u nbsp Zum Nachweis der Existenz von c displaystyle c nbsp dient eine Folge von Intervallen a k b k k N displaystyle a k b k k in mathbb N nbsp mit folgenden zu beweisenden Eigenschaften Samtliche Glieder a k b k displaystyle a k b k nbsp respektieren die Ungleichungskette 1 und schliessen daher c displaystyle c nbsp ein i displaystyle mathbf i nbsp a k b k displaystyle a k b k nbsp ist eine Intervallschachtelung und definiert genau ein c a b displaystyle c in a b nbsp i i displaystyle mathbf ii nbsp c displaystyle c nbsp ist eine Nullstelle von g x displaystyle g x nbsp i i i displaystyle mathbf iii nbsp Eine Intervallfolge a k b k k N displaystyle a k b k k in mathbb N nbsp sei rekursiv definiert mit a 1 a b 1 b displaystyle a 1 a b 1 b nbsp fur das erste Intervall c k a k b k 2 displaystyle c k frac a k b k 2 nbsp ist der Mittelpunkt des k displaystyle k nbsp ten Intervalls Die Grenzen des jeweils folgenden Intervalls a k 1 b k 1 displaystyle a k 1 b k 1 nbsp seien fur g c k lt 0 displaystyle g c k lt 0 nbsp a k 1 c k b k 1 b k displaystyle a k 1 c k b k 1 b k nbsp und fur g c k 0 displaystyle g c k geq 0 nbsp a k 1 a k b k 1 c k displaystyle a k 1 a k b k 1 c k nbsp zu i Mit 1 ist g a 1 displaystyle g a 1 nbsp nicht positiv g b 1 displaystyle g b 1 nbsp nicht negativ Beim Ubergang von a k b k displaystyle a k b k nbsp zu a k 1 b k 1 displaystyle a k 1 b k 1 nbsp wird genau eine der Intervallgrenzen a k displaystyle a k nbsp bzw b k displaystyle b k nbsp genau dann durch eine neue Grenze c k displaystyle c k nbsp ersetzt wenn auch g c k displaystyle g c k nbsp nicht positiv bzw nicht negativ ist Also Anm 1 gilt g a k 0 g b k displaystyle g a k leq 0 leq g b k nbsp fur a l l e displaystyle boldsymbol alle nbsp a k displaystyle a k nbsp bzw b k displaystyle b k nbsp q e d zu ii Im a k b k displaystyle a k b k nbsp folgenden Intervall a k 1 b k 1 displaystyle a k 1 b k 1 nbsp ist die ersetzende Grenze c k displaystyle c k nbsp grosser als eine ersetzte untere Grenze a k displaystyle a k nbsp aber kleiner als eine ersetzte obere Grenze b k displaystyle b k nbsp indem c k displaystyle c k nbsp der Intervallmittelpunkt von a k b k displaystyle a k b k nbsp ist Da der Ubergang von a k b k displaystyle a k b k nbsp zu a k 1 b k 1 displaystyle a k 1 b k 1 nbsp den Intervalldurchmesser d k b k a k displaystyle d k b k a k nbsp halbiert ist der Intervalldurchmesser fast aller Folgeglieder kleiner als ein beliebig vorgegebener d k displaystyle Leftrightarrow d k nbsp ist eine Nullfolge Behauptung a k displaystyle a k nbsp ist monoton steigend k a k 1 a k 2 displaystyle Leftrightarrow forall k a k 1 geq a k mathbf 2 nbsp Beweis Fur a k 1 a k displaystyle a k 1 a k nbsp ist nichts zu beweisen Fur a k 1 c k displaystyle a k 1 c k nbsp folgt aus b k gt a k displaystyle b k gt a k nbsp a k 1 a k b k 2 gt a k a k 2 a k displaystyle a k 1 frac a k b k 2 gt frac a k a k 2 a k nbsp Behauptung b k displaystyle b k nbsp ist monoton fallend k b k 1 b k 3 displaystyle Leftrightarrow forall k b k 1 leq b k mathbf 3 nbsp Beweis Fur b k 1 b k displaystyle b k 1 b k nbsp ist nichts zu beweisen Fur b k 1 c k displaystyle b k 1 c k nbsp folgt aus a k lt b k displaystyle a k lt b k nbsp b k 1 a k b k 2 lt b k b k 2 b k displaystyle b k 1 frac a k b k 2 lt frac b k b k 2 b k nbsp Behauptung d k displaystyle d k nbsp d k b k a k displaystyle d k b k a k nbsp ist eine Nullfolge 4 displaystyle mathbf 4 nbsp Beweis Der Durchmesser des Intervalls a k 1 b k 1 displaystyle a k 1 b k 1 nbsp ist fur g c k lt 0 displaystyle g c k lt 0 nbsp d k 1 b k 1 a k 1 b k c k 2 b k 2 a k b k 2 b k a k 2 d k 2 displaystyle d k 1 b k 1 a k 1 b k c k frac 2b k 2 frac a k b k 2 frac b k a k 2 frac d k 2 nbsp fur g c k 0 displaystyle g c k geq 0 nbsp d k 1 b k 1 a k 1 c k a k a k b k 2 2 a k 2 b k a k 2 d k 2 displaystyle d k 1 b k 1 a k 1 c k a k frac a k b k 2 frac 2a k 2 frac b k a k 2 frac d k 2 nbsp Insgesamt konnen alle d k displaystyle d k nbsp auch d k d 1 1 2 k 1 displaystyle d k d 1 cdot left frac 1 2 right k 1 nbsp geschrieben werden und d k displaystyle d k nbsp ist wegen 1 2 lt 1 displaystyle left frac 1 2 right lt 1 nbsp eine geometrische Nullfolge Anm 2 Mit 2 3 und 4 ist a k b k displaystyle a k b k nbsp eine Intervallschachtelung die genau eine Zahl c R displaystyle c in mathbb R nbsp definiert Mit k a k b k a b c k N a k b k a b displaystyle forall k a k b k subset a b Rightarrow c bigcap k in mathbb N a k b k subset a b nbsp liegt c displaystyle c nbsp im Intervall der Voraussetzung q e d Bemerkung Endlich viele Intervalle einer wie a k b k displaystyle a k b k nbsp konstruierten Intervallschachtelung liegen dem numerischen Verfahren Bisektion zugrunde zu iii c displaystyle c nbsp ist gemeinsamer Grenzwert der Folgen a k displaystyle a k nbsp und b k displaystyle b k nbsp wegen Stetigkeit von g x displaystyle g x nbsp ist g c displaystyle g c nbsp gemeinsamer Grenzwert der Folgen g a k displaystyle g a k nbsp und g b k displaystyle g b k nbsp Die Beschranktheit der Folgen g a k displaystyle g a k nbsp und g b k displaystyle g b k nbsp bewirkt dass g c displaystyle g c nbsp weder positiv noch negativ ist Aus ii folgt Anm 3 lim k a k c lim k b k displaystyle lim k to infty a k c lim k to infty b k nbsp hieraus mit dem Folgenkriterium vermoge der Stetigkeit von g x displaystyle g x nbsp bei x c displaystyle x c nbsp lim k g a k g c lim k g b k displaystyle lim k to infty g a k g c lim k to infty g b k nbsp Mit i haben die Folgen g a k displaystyle g a k nbsp bzw g b k displaystyle g b k nbsp eine obere bzw unterer Schranke die sich auf den jeweiligen Grenzwert fortsetzt Anm 4 g a k 0 g c 0 displaystyle g a k leq 0 Rightarrow g c leq 0 nbsp ebenso g b k 0 g c 0 displaystyle g b k geq 0 Rightarrow g c geq 0 nbsp insgesamt also g c 0 displaystyle g c 0 nbsp q e d Alternativer Beweis Bearbeiten Es reicht den Fall f a lt f b displaystyle f a lt f b nbsp zu betrachten Sei u f a f b displaystyle u in f a f b nbsp beliebig Fur u f a displaystyle u f a nbsp und u f b displaystyle u f b nbsp ist die Behauptung klar Im Folgenden sei u displaystyle u nbsp also o B d A aus dem offenen Intervall f a f b displaystyle f a f b nbsp Es ist zu zeigen dass ein c a b displaystyle c in a b nbsp existiert mit f c u displaystyle f c u nbsp Setze M x a b u lt f x displaystyle M x in a b u lt f x nbsp Es gilt M displaystyle M neq emptyset nbsp da b M displaystyle b in M nbsp Da M displaystyle M nbsp beschrankt ist ist c inf M inf x a b u lt f x displaystyle c inf M inf x in a b u lt f x nbsp eine reelle Zahl Behauptung Es gibt eine Folge x n n N displaystyle x n n in mathbb N nbsp in M displaystyle M nbsp mit lim n x n c displaystyle lim n to infty x n c nbsp Hierzu Da c displaystyle c nbsp die grosste untere Schranke ist ist c 1 n displaystyle c frac 1 n nbsp keine untere Schranke Mithin gibt es zu jedem n N displaystyle n in mathbb N nbsp ein x n M displaystyle x n in M nbsp mit c 1 n gt x n displaystyle c frac 1 n gt x n nbsp Ausserdem ist naturlich x n c displaystyle x n geq c nbsp da c displaystyle c nbsp eine untere Schranke ist Die so konstruierte Folge x n n N displaystyle x n n in mathbb N nbsp konvergiert nach dem Intervallschachtelungsprinzip wie gewunscht gegen c displaystyle c nbsp Dies zeigt die Behauptung Aus a x n b displaystyle a leq x n leq b nbsp folgt mit den Grenzwertsatzen auch c a b displaystyle c in a b nbsp Da f displaystyle f nbsp stetig ist gilt lim n f x n f c displaystyle lim n to infty f x n f c nbsp Wegen f x n gt u displaystyle f x n gt u nbsp ist weiter f c u displaystyle f c geq u nbsp Insbesondere folgt c gt a displaystyle c gt a nbsp da f a lt u displaystyle f a lt u nbsp Wegen c gt a displaystyle c gt a nbsp ist c n c 1 n a b displaystyle c n c frac 1 n in a b nbsp fur alle grossen n displaystyle n nbsp Weil c n lt c inf M displaystyle c n lt c inf M nbsp folgt c n M displaystyle c n notin M nbsp und somit f c n u displaystyle f c n leq u nbsp Zusammen mit der Stetigkeit von f displaystyle f nbsp in c displaystyle c nbsp ergibt sich durch Grenzubergang f c lim n f c n u displaystyle f c lim n to infty f c n leq u nbsp Insgesamt also f c u displaystyle f c u nbsp q e d Beispiel Bearbeiten nbsp Die Funktion f nimmt den Wert u mit f a lt u lt f b an der Stelle c an Die Kosinus Funktion cos displaystyle cos nbsp ist im Intervall 0 2 displaystyle 0 2 nbsp stetig es ist cos 0 1 displaystyle cos 0 1 nbsp und cos 2 0 416 1 lt 0 displaystyle cos 2 approx 0 4161 lt 0 nbsp Der Zwischenwertsatz besagt dann dass der Kosinus mindestens eine Nullstelle im Intervall 0 2 displaystyle 0 2 nbsp hat Tatsachlich gibt es in dem Intervall genau eine Nullstelle namlich p 2 displaystyle tfrac pi 2 nbsp Verallgemeinerung BearbeitenDer Zwischenwertsatz ist ein Spezialfall des folgenden Satzes aus der Topologie Das Bild einer zusammenhangenden Teilmenge eines topologischen Raumes unter einer stetigen Abbildung ist wieder zusammenhangend Daraus ist wieder der Zwischenwertsatz zu erhalten weil Stetigkeit einer Funktion im topologischen Sinne die im Zwischenwertsatz fur reelle Funktionen geforderte einschliesst und weil eine Teilmenge der reellen Zahlen genau dann zusammenhangend ist wenn sie ein Intervall ist Anders als hier im Abschnitt Beweis braucht das betrachtete Intervall bei diesem Aufbau nicht beschrankt zu sein Zwischenwertsatz fur Ableitungen Satz von Darboux BearbeitenEine zum obigen Zwischenwertsatz analoge Aussage gilt fur Ableitungsfunktionen 1 2 Ist f a b R displaystyle f colon a b to mathbb R nbsp eine auf dem Intervall a b R displaystyle a b subseteq mathbb R nbsp definierte differenzierbare Funktion mit f a f b displaystyle f a neq f b nbsp so nimmt die Ableitungsfunktion f displaystyle f nbsp jeden Wert zwischen f a displaystyle f a nbsp und f b displaystyle f b nbsp an Man beachte dass dies auch gilt wenn die Ableitungsfunktion nicht stetig ist Der Satz folgt aus dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung Weblinks Bearbeiten nbsp Wikibooks Mathe fur Nicht Freaks Zwischenwertsatz Lern und LehrmaterialienLiteratur BearbeitenG M Fichtenholz Differential und Integralrechnung I 8 Auflage Deutscher Verlag der Wissenschaften Berlin 1973 Gunter Kohler Analysis Heldermann Verlag Lemgo u a 2006 ISBN 3 88538 114 1 Konrad Konigsberger Analysis 1 Springer Berlin 2004 ISBN 3 540 41282 4 Otto Forster Analysis 1 Differential und Integralrechnung einer Veranderlichen Vieweg Verlag 8 Aufl 2006 ISBN 3 528 67224 2Anmerkungen Bearbeiten Der Gedankengang entspricht einer vollstandigen Induktion Weiteres zur Konvergenz geometrischer Folgen hier wegen der Konvergenz der Grenzfolgen einer Intervallschachtelung vgl Aussage zum Grenzwert einer beschrankten konvergenten FolgeEinzelnachweise Bearbeiten Fichtenholz S 206 Kohler S 196 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Zwischenwertsatz amp oldid 224987030
