Als Differenzierbarkeit bezeichnet man in der Mathematik die Eigenschaft einer Funktion, sich lokal um einen Punkt in eindeutiger Weise linear approximieren zu lassen. Der Begriff Differenzierbarkeit ist nicht nur für reellwertige Funktionen auf der Menge der reellen Zahlen erklärt, sondern auch für Funktionen mehrerer Variablen, für komplexe Funktionen, für Abbildungen zwischen reellen oder komplexen Vektorräumen und für viele andere Typen von Funktionen und Abbildungen. Für manche Typen von Funktionen (zum Beispiel für Funktionen mehrerer Variablen) gibt es mehrere verschiedene Differenzierbarkeitsbegriffe.
Die Frage nach der Differenzierbarkeit gehört zu den Problemstellungen der Differentialrechnung, eines Teilgebiets der Analysis.
Reellwertige Funktionen einer reellen Veränderlichen Bearbeiten
Definitionen Bearbeiten
Rot: Graph der linearen Funktion g, die f in der Nähe der Stelle x0 approximiert
Im einfachsten Fall betrachtet man eine reellwertige Funktion einer reellen Variablen, also eine Funktion , deren Funktionswerte reelle Zahlen sind und deren Definitionsbereich ein offenes Intervall reeller Zahlen ist. Eine solche Funktion ist differenzierbar an einer Stelle aus ihrem Definitionsbereich, wenn die Ableitung von an dieser Stelle existiert. Es gibt im Wesentlichen zwei äquivalente Definitionen für die Existenz der Ableitung:
- Für geht schneller als linear gegen 0, das heißt:
Eine Funktion heißt genau dann differenzierbar (ohne Einschränkung auf einen speziellen Punkt), wenn sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs differenzierbar ist. Die Funktion heißt dann Ableitungsfunktion oder kurz Ableitung von .
Erläuterungen Bearbeiten
Grafisch lässt sich die Eigenschaft Differenzierbarkeit so deuten, dass eine Funktion genau dann an der Stelle differenzierbar ist, wenn im zugehörigen Punkt des Graphen von genau eine Tangente existiert, die nicht senkrecht verläuft. Die Tangente ist der Graph der in der 2. Definition genannten linearen Funktion .
Die Ableitung von an der Stelle ist die Steigung dieser Tangente. Die in der ersten Definition genannten Differenzenquotienten sind die Steigungen von Sekanten durch den Punkt und einen anderen Kurvenpunkt . Die Funktion ist also an der Stelle differenzierbar, wenn die Steigungen dieser Sekanten beim Grenzübergang gegen die Steigung der Tangente konvergieren.
Aus Differenzierbarkeit folgt Stetigkeit: Jede an einer Stelle differenzierbare Funktion ist dort auch stetig. Jede auf ihrem Definitionsbereich differenzierbare Funktion ist stetig. Die Umkehrung gilt nicht. Die unten angeführten nicht differenzierbaren Funktionen sind alle stetig.
Beispiele für differenzierbare Funktionen Bearbeiten
Aus den Ableitungsregeln folgt:
- Jede Funktion, die sich durch ein Polynom darstellen lässt, ist differenzierbar.
- Summen, Produkte und Quotienten von differenzierbaren Funktionen sind differenzierbar.
- Verkettungen von differenzierbaren Funktionen sind differenzierbar.
- Die Umkehrfunktion einer bijektiven differenzierbaren Funktion ist genau dann an der Stelle differenzierbar, wenn ist.
- die Parabelfunktion ist für alle differenzierbar. Sei dann ist
Aus den Grenzwertsätzen für Potenzreihen folgt:
- Jede Funktion, die lokal durch eine Potenzreihe dargestellt werden kann, ist differenzierbar.
Beispiele für nicht differenzierbare Funktionen Bearbeiten
Da jede differenzierbare Funktion stetig ist, ist umgekehrt jede unstetige Funktion (zum Beispiel eine Treppenfunktion oder die Dirichlet-Funktion) ein Beispiel für eine nicht differenzierbare Funktion. Es gibt aber auch Funktionen, die zwar stetig sind, aber nicht oder nicht überall differenzierbar.
Wurzelfunktion Bearbeiten
Die Wurzelfunktion , ist an der Stelle nicht differenzierbar. Der Differenzenquotient
strebt für gegen unendlich, konvergiert also nicht. Der Graph der Funktion hat an der Stelle eine Tangente, diese verläuft aber vertikal und besitzt deshalb keine Steigung.
Betragsfunktion Bearbeiten
Die Betragsfunktion ist an der Stelle nicht differenzierbar.
Für ist und damit
Für ist dagegen und folglich
Da der links- und der rechtsseitige Grenzwert nicht übereinstimmen, existiert der Grenzwert nicht. Die Funktion ist somit an der betrachteten Stelle nicht differenzierbar.
Es existieren an der Stelle jedoch die rechtsseitige Ableitung
und die linksseitige Ableitung
Der Funktionsgraph hat an der Stelle einen Knick. Es gibt sozusagen eine linksseitige Tangente mit Steigung und eine rechtsseitige mit Steigung . Zu jeder Steigung zwischen und gibt es eine Gerade, die den Funktionsgraph im Punkt „berührt“, aber sich nicht „anschmiegt“.
Dies ist ein typisches Verhalten für abschnittsweise definierte Funktionen, wo an den Nahtstellen zwar die Funktionswerte zusammenpassen, aber nicht die Ableitungen. Die Graphen von differenzierbaren Funktionen haben demgegenüber keine Knicke.
Ein drittes Beispiel Bearbeiten
Die Funktion
ist an der Stelle 0 stetig, aber nicht differenzierbar (aber überall sonst). Für den Differenzenquotient an der Stelle 0 gilt
Der Limes für existiert nicht. Es existieren auch keine einseitigen Grenzwerte. Vielmehr pendelt der Differenzenquotient, wenn gegen 0 geht, unendlich oft zwischen den Werten −1 und 1 und nimmt dabei jeden Zwischenwert unendlich oft an.
Weierstraß-Funktion Bearbeiten
Die nach ihrem Entdecker benannte Weierstraß-Funktion
ist überall stetig, aber nirgends differenzierbar.
Wiener-Prozess Bearbeiten
Weitere Beispiele liefert die mathematische Brownsche Bewegung: Fast jeder Pfad eines Wiener-Prozesses ist als Funktion stetig, aber nirgends differenzierbar.
Stetige Differenzierbarkeit und höhere Ableitungen Bearbeiten
Eine Funktion heißt stetig differenzierbar, wenn sie differenzierbar ist und ihre Ableitung stetig ist. Selbst wenn eine Funktion überall differenzierbar ist, muss die Ableitung nicht stetig sein. Zum Beispiel ist die Funktion
an jeder Stelle, inklusive , differenzierbar, weil
Die Ableitung
ist aber an der Stelle 0 nicht stetig.
Eine Funktion heißt zweimal differenzierbar, wenn ihre Ableitungsfunktion differenzierbar ist. Entsprechend wird dreimal, viermal, …, -mal differenzierbar definiert. Die höheren Ableitungen werden mit , , , …, bezeichnet.
Da aus der Differenzierbarkeit einer Funktion die Stetigkeit folgt, sind bei einer zweimal differenzierbaren Funktion die Funktion selbst und die erste Ableitung automatisch stetig. Die zweite Ableitung braucht jedoch nicht stetig zu sein. Entsprechend sind bei einer -mal differenzierbaren Funktion die Funktion selbst und alle Ableitungen , , … bis zur -ten Ableitung stetig. Für die -te Ableitung braucht dies jedoch nicht zu gelten. Ist diese auch stetig, so nennt man -mal stetig differenzierbar. Sind alle Ableitungen wieder differenzierbar, so nennt man die Funktion unendlich oft differenzierbar oder glatt.
Die Menge aller -mal stetig differenzierbaren Funktionen mit der Definitionsmenge bezeichnet man als . Die Menge der unendlich oft differenzierbaren Funktionen heißt . Eine -mal stetig differenzierbare Funktion nennt man daher auch Funktion der Differentiationsklasse , kurz: Funktion der Klasse oder -Funktion. Eine unendlich oft differenzierbare Funktion heißt entsprechend Funktion der (Differentiations-)Klasse oder -Funktion.
Die Funktion
ist differenzierbar, ihre Ableitung ist die Funktion , die stetig, aber an der Stelle 0 nicht differenzierbar ist. Die Funktion ist also stetig differenzierbar, aber an der Stelle 0 nicht zweimal differenzierbar. Entsprechend ist die Funktion
-mal stetig differenzierbar, aber an der Stelle 0 nicht -mal differenzierbar.
Komplexe Funktionen Bearbeiten
Für komplexe Funktionen, also komplexwertige Funktionen einer komplexen Variablen, definiert man Differenzierbarkeit ganz analog zu reellen Funktionen. Es sei eine offene Teilmenge der komplexen Ebene und ein Punkt dieser Teilmenge. Eine Funktion heißt komplex differenzierbar im Punkt , falls der Grenzwert
existiert. In diesem Fall bezeichnet man diesen Grenzwert als .
Eine Funktion heißt holomorph im Punkt , falls eine Umgebung von existiert, in der komplex differenzierbar ist. Holomorphe Funktionen sind automatisch unendlich oft komplex differenzierbar und sogar analytisch.
Reellwertige Funktionen mehrerer Variablen Bearbeiten
Für Funktionen mehrerer Veränderlicher, also Funktionen, die auf offenen Teilmengen des euklidischen Raums definiert sind, gibt es mehrere verschieden starke Begriffe der Differenzierbarkeit. Im Folgenden sei eine offene Menge. Die Elemente des können als -Tupel geschrieben werden. Weiter sei eine Funktion gegeben. Wir betrachten einen festen Punkt und betrachten Differenzierbarkeit im Punkt .
Partielle Differenzierbarkeit Bearbeiten
Dies ist der schwächste Differenzierbarkeitsbegriff. Die Funktion heißt partiell differenzierbar am Punkt in Richtung , falls die partielle Ableitung
existiert. Man betrachtet also alle Variablen bis auf als konstant und betrachtet die so erhaltene Funktion einer Veränderlichen.
Die Funktion heißt partiell differenzierbar, wenn in jedem Punkt alle partiellen Ableitungen existieren. Sie heißt stetig partiell differenzierbar, falls alle partiellen Ableitungen stetige Funktionen von nach sind.
Aus partieller Differenzierbarkeit folgt nicht die Stetigkeit, sondern nur Stetigkeit in Richtung der Koordinatenachsen.
Richtungsableitung Bearbeiten
Ist ein Einheitsvektor, so ist die (beidseitige) Richtungsableitung von in Richtung an der Stelle definiert als
Betrachtet man nur positive , so erhält man die einseitige Richtungsableitung
Die Funktion heißt (einseitig) differenzierbar in Richtung von , falls die (einseitige) Richtungsableitung von in Richtung existiert. Die Richtungsableitungen in Richtung der Einheitsvektoren der Standardbasis sind gerade die partiellen Ableitungen
Totale Differenzierbarkeit Bearbeiten
Die Funktion heißt total differenzierbar im Punkt , falls eine lineare Abbildung und eine Funktion existieren, so dass sich bis auf den Fehler durch approximieren lässt,
und von höherer als erster Ordnung gegen 0 geht, das heißt für .
Die lineare Abbildung heißt totale Ableitung von im Punkt . Sie wird mit bezeichnet. Die Matrixdarstellung bezüglich der Standardbasis heißt Jacobi-Matrix und wird mit oder auch bezeichnet. Die Funktion heißt total differenzierbar, falls sie in jedem Punkt total differenzierbar ist.
Eine total differenzierbare Funktion ist auch stetig.
In der neueren mathematischen Literatur spricht man statt von totaler Differenzierbarkeit meist einfach von Differenzierbarkeit. Die totale Ableitung wird auch Differential genannt.
Zusammenhänge zwischen den verschiedenen Differenzierbarkeitsbegriffen Bearbeiten
- Ist beidseitig differenzierbar in jede Richtung, so ist insbesondere partiell differenzierbar.
- Ist total differenzierbar, so ist differenzierbar in jede Richtung (also insbesondere auch partiell differenzierbar). Die Einträge der Jacobi-Matrix sind die partiellen Ableitungen
Die Umkehrungen gelten nicht:
- Aus der partiellen Differenzierbarkeit folgt weder die totale Differenzierbarkeit noch die beidseitige oder einseitige Differenzierbarkeit in Richtungen, die keine Koordinatenrichtungen sind.
- Auch aus der beidseitigen Differenzierbarkeit in alle Richtungen folgt nicht totale Differenzierbarkeit. Selbst dann nicht, wenn der Kandidat für die totale Ableitung, die Abbildung , linear ist.
Anders ist es, wenn man nicht nur die Existenz, sondern auch die Stetigkeit der partiellen Ableitungen voraussetzt.
- Ist stetig partiell differenzierbar, so ist auch total differenzierbar.
Man nennt stetig partiell differenzierbare Funktionen deshalb auch einfach stetig differenzierbar. Auch hier gilt die Umkehrung nicht:
- Aus totaler Differenzierbarkeit folgt nicht die Stetigkeit der partiellen Ableitungen.
Insgesamt gilt somit:
es gilt jedoch keine der Umkehrungen.
Beispiele Bearbeiten
- Jede Funktion, die sich als Polynom in den Variablen darstellen lässt, ist stetig differenzierbar.
- Summen, Produkte, Quotienten und Verkettungen von stetig differenzierbaren Funktionen sind stetig differenzierbar.
Gegenbeispiele Bearbeiten
Alle Gegenbeispiele sind Funktionen auf dem . Die Koordinaten werden mit und bezeichnet statt mit und . Von Interesse ist hier nur die Differenzierbarkeit und Stetigkeit am Ursprung . Überall sonst sind die Funktionen stetig differenzierbar.
Partiell differenzierbar, aber nicht stetig und nicht alle Richtungsableitungen Bearbeiten
Die Funktion
ist an der Stelle (0,0) partiell differenzierbar. Auf den Koordinatenachsen hat die Funktion konstant den Wert 0, das heißt für alle und gilt
Daraus folgt
Die Funktion ist jedoch bei (0,0) nicht stetig. Auf der ersten Winkelhalbierenden (mit Ausnahme des Ursprungs) hat konstant den Wert eins (). Nähert man sich dem Ursprung auf der ersten Winkelhalbierenden, so streben die Funktionswerte also gegen 1. Die Richtungsableitung in andere Richtungen als die der Koordinatenachsen existieren nicht.
Die Funktion
ist an der Stelle (0,0) partiell differenzierbar und stetig. Alle einseitigen Richtungsableitungen existieren, aber außer in die Koordinatenrichtungen nicht die beidseitigen.
Einseitige, aber keine beidseitigen Richtungsableitungen Bearbeiten
Die euklidische Norm
verallgemeinert die Betragsfunktion. Sie ist überall stetig.
Für jeden Einheitsvektor existiert die einseitige Richtungsableitung von in und es gilt
Der Grenzwert existiert nur einseitig, also existieren die beidseitigen Richtungsableitungen nicht. Insbesondere ist die Funktion auch nicht partiell differenzierbar.
Alle Richtungsableitungen existieren, aber definieren keine lineare Abbildung Bearbeiten
Hier existieren alle Richtungsableitungen, für die partiellen Ableitungen gilt
Die Abbildung ist jedoch nicht linear. Für den Einheitsvektor gilt
während
Alle Richtungsableitungen existieren und definieren eine lineare Abbildung, aber nicht total differenzierbar Bearbeiten
Hier existieren alle Richtungsableitungen, für jeden Vektor gilt . Insbesondere ist partiell differenzierbar mit
und die Abbildung
ist die Nullabbildung, also trivialerweise linear.
Die Funktion ist auch stetig. Sie ist jedoch an der Stelle (0,0) nicht total differenzierbar. Wäre sie es, so wäre die Nullabbildung und für jeden Vektor gälte
Für das Fehlerglied gälte also
Setzt man und mit , so erhält man
Für gegen 0 geht dieser Term gegen statt gegen 0.
Total differenzierbar, aber nicht stetig partiell differenzierbar Bearbeiten
Diese Funktion ist der entsprechenden Beispielfunktion einer Variablen nachgebildet, der Nachweis verläuft im Prinzip genauso wie dort.
Die Funktion ist an der Stelle (0,0) total differenzierbar, die Ableitung ist die Nullfunktion. Nähert man sich dem Nullpunkt, so divergieren jedoch die partiellen Ableitungen, zum Beispiel geht der Betrag von
gegen unendlich für gegen 0.
Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen Bearbeiten
Eine Abbildung von einer offenen Menge in den Vektorraum lässt sich durch ihre Komponentenfunktionen darstellen:
Differenzierbarkeit von lässt sich dann auf Differenzierbarkeit der zurückführen. ist (im Punkt ) genau dann partiell differenzierbar (differenzierbar in Richtung des Vektors , total differenzierbar, stetig partiell differenzierbar), wenn alle Komponentenfunktionen diese Eigenschaft haben.
Ist im Punkt total differenzierbar, so ist eine lineare Abbildung von nach . Ihre Darstellungsmatrix, die Jacobi-Matrix, besteht aus den partiellen Ableitungen
und die Richtungsableitung von im Punkt in Richtung ist das Bild des Vektors unter der linearen Abbildung .
Funktionen und Abbildungen auf unendlichdimensionalen Vektorräumen Bearbeiten
Auf unendlichdimensionalen Vektorräumen gibt es keine Koordinaten, deshalb gibt es keine partielle Differenzierbarkeit. Die Begriffe Richtungsableitung und totale Differenzierbarkeit lassen sich jedoch auf unendlichdimensionale Vektorräume verallgemeinern. Dabei spielt im Gegensatz zum Endlichdimensionalen die Topologie auf den Vektorräumen eine wichtige Rolle. Typische Beispiel für unendlichdimensionale Vektorräume sind Funktionenräume, also Vektorräume, deren „Vektoren“ Funktionen sind. Zur Unterscheidung nennt man die auf diesen Vektorräume definierten Funktionen Funktionale und nennt Abbildungen zwischen solchen Vektorräumen Operatoren.
Gâteaux-Differenzierbarkeit Bearbeiten
Der Richtungsableitung entspricht die Gâteaux-Ableitung. Gegeben sei ein normierter Vektorraum (das heißt ein (typischerweise unendlichdimensionaler) Vektorraum zusammen mit einer Norm ), eine offene Teilmenge und ein Funktional . Die Gâteaux-Ableitung von an einem „Punkt“ in Richtung eines Vektors ist dann gegeben durch
falls der Grenzwert existiert.
Falls die Gâteaux-Ableitung für jedes existiert, dann ist eine Abbildung , erklärt. Aus der Definition folgt sofort, dass diese Abbildung positiv homogen ist, also für alle . Wie im Endlichdimensionalen folgt aus der Existenz aller Richtungsableitungen nicht, dass additiv und damit linear ist. Auch wenn die Abbildung linear ist, folgt nicht, dass sie stetig ist.
Für den Begriff Gâteaux-Differenzierbarkeit gibt es mehrere nicht verträgliche Konventionen:
Manche Autoren nennen ein Funktional Gâteaux-differenzierbar im Punkt , falls alle existieren, und bezeichnen dann die Abbildung als Gateaux-Ableitung von im Punkt . Andere fordern zusätzlich, dass linear und stetig ist.
Ganz analog definiert man Gâteaux-Differenzierbarkeit und Gâteaux-Ableitung für Operatoren von einem normierten Vektorraum in einen andern normierten Vektorraum (typischerweise ein Banachraum). Die in der Definition der Gâteaux-Ableitung geforderte Konvergenz versteht sich dann im Sinne der Norm von . Entsprechendes gilt für die Stetigkeit von .
Fréchet-Differenzierbarkeit Bearbeiten
Der totalen Differenzierbarkeit im Endlichdimensionalen entspricht bei unendlichdimensionalen Vektorräumen die Fréchet-Differenzierbarkeit. Gegeben seien Banachräume und , eine offene Teilmenge , eine Abbildung und ein Punkt .
Die Abbildung heißt Fréchet-differenzierbar, wenn eine beschränkte (also stetige) lineare Abbildung und eine Abbildung existieren, sodass für alle mit gilt
und
Dabei steht im Zähler die Norm von , im Nenner die von .
Der lineare Operator heißt in diesem Fall Fréchet-Ableitung von an der Stelle .
Zusammenhänge Bearbeiten
Wie im Endlichdimensionalen ist jede Fréchet-differenzierbare Abbildung auch Gâteaux-differenzierbar und die Gâteaux-Ableitung stimmt mit der Fréchet-Ableitung überein. Umgekehrt braucht im Punkt selbst dann nicht Fréchet-differenzierbar zu sein, wenn die Gâteaux-Ableitung linear und stetig ist.
Differenzierbare Abbildungen zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten Bearbeiten
Die Differenzierbarkeit von Abbildungen zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten wird auf die Differenzierbarkeit ihrer Kartendarstellungen zurückgeführt. Dabei muss Stetigkeit schon vorausgesetzt werden.
Es seien und differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Dimensionen bzw. und der Differenzierbarkeitsklasse und es sei eine stetige Abbildung. Zu jedem Punkt existiert dann eine Karte von um , das heißt eine offene Umgebung , die enthält, und ein auf definierter Homöomorphismus auf eine offene Teilmenge des . Genauso existiert auch eine Karte von um den Bildpunkt . Da stetig ist, können die Karten so gewählt werden, dass ganz in liegt. Unter der Kartendarstellung von bezüglich dieser Karten versteht man dann die Abbildung
Dies ist eine Abbildung von der offenen Teilmenge des in die offene Teilmenge des .
Die Abbildung heißt stetig differenzierbar, falls sie stetig ist und ihre Kartendarstellungen stetig differenzierbar sind. Sie heißt -mal stetig differenzierbar (für ), oder von der Klasse {"@context": "https://schema.org","@type": "NewsArticle","inLanguage": "de-DE","articleSection": "Wikipedia","mainEntityOfPage": { "@type": "WebPage", "@id": "https://www.wikidata.de-de.nina.az/Differenzierbare_Funktion.html"},"headline": "Differenzierbarkeit","alternativeHeadline": "Differenzierbarkeit","wordCount":"720","keywords":[],"image": {"@type": "ImageObject","url": "https://www.wikidata.de-de.nina.az/template/images/fphotos/54.jpg","width": "1200","height": "675"},"dateCreated":"2023-11-29T02:27:34+00:00","datePublished":"2023-11-29T02:27:34+00:00","dateModified":"2023-11-29T02:27:34+00:00","description": "Differenzierbarkeit Als bezeichnet man in der Mathematik die Eigenschaft einer Funktion sich lokal um einen Punkt in ein","articleBody": "Als Differenzierbarkeit bezeichnet man in der Mathematik die Eigenschaft einer Funktion sich lokal um einen Punkt in eindeutiger Weise linear approximieren zu lassen Der Begriff Differenzierbarkeit ist nicht nur fur reellwertige Funktionen auf der Menge der reellen Zahlen erklart sondern auch fur Funktionen mehrerer Variablen fur komplexe Funktionen fur Abbildungen zwischen reellen oder komplexen Vektorraumen und fur viele andere Typen von Funktionen und Abbildungen Fur manche Typen von Funktionen zum Beispiel fur Funktionen mehrerer Variablen gibt es mehrere verschiedene Differenzierbarkeitsbegriffe Graph der differenzierbaren Funktion 1 4 x 3 3 4 x 2 3 2 x 2 displaystyle tfrac 1 4 x 3 tfrac 3 4 x 2 tfrac 3 2 ","author":[{"@type": "Organization","name": "www.wikidata.de-de.nina.az","url": "https://www.wikidata.de-de.nina.az/Differenzierbare_Funktion.html"}],"publisher": { "@type": "Organization", "name":"www.wikidata.de-de.nina.az", "logo": { "@type": "ImageObject","url": "https://www.wikidata.de-de.nina.az/template/images/logo.svg","width": 200,"height": 45 }}}