Dieser Artikel beschaftigt sich mit Potenzreihen die der Beschreibung von reellen oder komplexen Funktionen dienen Fur formale Potenzreihen siehe dort Unter einer Potenzreihe P x displaystyle P x versteht man in der Analysis eine unendliche Reihe der Form P x n 0 a n x x 0 n displaystyle P x sum n 0 infty a n x x 0 n mit einer beliebigen Folge a n n N 0 displaystyle a n n in mathbb N 0 reeller oder komplexer Zahlen dem Entwicklungspunkt x 0 displaystyle x 0 der Potenzreihe Potenzreihen spielen eine wichtige Rolle in der Funktionentheorie und erlauben oft eine sinnvolle Fortsetzung reeller Funktionen in die komplexe Zahlenebene Insbesondere stellt sich die Frage fur welche reellen oder komplexen Zahlen eine Potenzreihe konvergiert Diese Frage fuhrt zum Begriff des Konvergenzradius Inhaltsverzeichnis 1 Konvergenzradius 2 Beispiele 3 Eigenschaften 4 Operationen mit Potenzreihen 4 1 Addition und skalare Multiplikation 4 2 Multiplikation 4 3 Verkettung 4 4 Differentiation und Integration 5 Darstellung von Funktionen als Potenzreihen 6 Verallgemeinerungen 7 LiteraturKonvergenzradius Bearbeiten Hauptartikel Konvergenzradius Als Konvergenzradius einer Potenzreihe um den Entwicklungspunkt x 0 displaystyle x 0 nbsp ist die grosste Zahl r displaystyle r nbsp definiert fur welche die Potenzreihe fur alle x displaystyle x nbsp mit x x 0 lt r displaystyle x x 0 lt r nbsp konvergiert Die offene Kugel U r x 0 displaystyle U r x 0 nbsp mit Radius r displaystyle r nbsp um x 0 displaystyle x 0 nbsp nennt man Konvergenzkreis Der Konvergenzradius ist also der Radius des Konvergenzkreises Falls die Reihe fur alle x displaystyle x nbsp konvergiert so sagt man der Konvergenzradius ist unendlich Konvergiert sie nur fur x 0 displaystyle x 0 nbsp so ist der Konvergenzradius 0 die Reihe wird dann manchmal auch nirgends konvergent genannt Bei Potenzreihen lasst sich der Konvergenzradius r displaystyle r nbsp mit der Formel von Cauchy Hadamard berechnen Es gilt r 1 lim sup n a n n displaystyle r frac 1 limsup limits n rightarrow infty sqrt n a n nbsp In diesem Zusammenhang definiert man 1 0 displaystyle tfrac 1 0 infty nbsp und 1 0 displaystyle tfrac 1 infty 0 nbsp In vielen Fallen kann der Konvergenzradius bei Potenzreihen mit nichtverschwindenden Koeffizienten auch einfacher berechnet werden Es gilt namlich r lim n a n a n 1 displaystyle r lim n to infty left frac a n a n 1 right nbsp sofern dieser Grenzwert existiert Beispiele BearbeitenJede Polynomfunktion lasst sich als Potenzreihe auffassen bei der fast alle Koeffizienten a n displaystyle a n nbsp gleich 0 sind Wichtige andere Beispiele sind Taylorreihe und Maclaurinsche Reihe Funktionen die sich durch eine Potenzreihe darstellen lassen werden auch analytische Funktionen genannt Hier noch beispielhaft die Potenzreihendarstellung einiger bekannter Funktionen Exponentialfunktion e x exp x n 0 x n n x 0 0 x 1 1 x 2 2 x 3 3 displaystyle e x exp x sum n 0 infty frac x n n frac x 0 0 frac x 1 1 frac x 2 2 frac x 3 3 dotsb nbsp fur alle x R displaystyle x in mathbb R nbsp d h der Konvergenzradius ist unendlich Sinus sin x n 0 1 n x 2 n 1 2 n 1 x 1 x 3 3 x 5 5 displaystyle sin x sum n 0 infty 1 n frac x 2n 1 2n 1 frac x 1 frac x 3 3 frac x 5 5 mp dotsb nbsp Kosinus cos x n 0 1 n x 2 n 2 n x 0 0 x 2 2 x 4 4 displaystyle cos x sum n 0 infty 1 n frac x 2n 2n frac x 0 0 frac x 2 2 frac x 4 4 mp dotsb nbsp Der Konvergenzradius ist sowohl fur den Sinus als auch fur den Kosinus unendlich Die Potenzreihendarstellung ergibt sich direkt mit der eulerschen Formel aus der Exponentialfunktion Logarithmusfunktion ln 1 x k 1 1 k 1 x k k x x 2 2 x 3 3 x 4 4 displaystyle ln 1 x sum k 1 infty 1 k 1 frac x k k x frac x 2 2 frac x 3 3 frac x 4 4 dotsb nbsp fur 1 lt x 1 displaystyle 1 lt x leq 1 nbsp d h Der Konvergenzradius ist 1 fur x 1 displaystyle x 1 nbsp ist die Reihe konvergent fur x 1 displaystyle x 1 nbsp divergent Wurzelfunktion 1 x 1 1 2 x 1 2 4 x 2 1 3 2 4 6 x 3 displaystyle sqrt 1 x 1 frac 1 2 x frac 1 2 cdot 4 x 2 frac 1 cdot 3 2 cdot 4 cdot 6 x 3 mp dotsb nbsp fur 1 x 1 displaystyle 1 leq x leq 1 nbsp d h der Konvergenzradius ist 1 und die Reihe konvergiert sowohl fur x 1 displaystyle x 1 nbsp als auch fur x 1 displaystyle x 1 nbsp Eigenschaften BearbeitenPotenzreihen sind innerhalb ihres Konvergenzkreises normal konvergent Daraus folgt direkt dass jede durch eine Potenzreihe definierte Funktion stetig ist Des Weiteren folgt daraus dass auf kompakten Teilmengen des Konvergenzkreises gleichmassige Konvergenz vorliegt Dies rechtfertigt das gliedweise Differenzieren und Integrieren einer Potenzreihe und zeigt dass Potenzreihen unendlich oft differenzierbar sind Innerhalb des Konvergenzkreises liegt absolute Konvergenz vor Uber das Verhalten einer Potenzreihe auf dem Rand des Konvergenzkreises kann keine allgemeine Aussage getroffen werden in manchen Fallen erlaubt aber der abelsche Grenzwertsatz eine Aussage zu treffen Die Potenzreihendarstellung einer Funktion um einen Entwicklungspunkt ist eindeutig bestimmt Identitatssatz fur Potenzreihen Insbesondere ist fur einen gegebenen Entwicklungspunkt die Taylorentwicklung die einzig mogliche Potenzreihenentwicklung Operationen mit Potenzreihen BearbeitenAddition und skalare Multiplikation Bearbeiten Sind f displaystyle f nbsp und g displaystyle g nbsp durch zwei Potenzreihen f x n 0 a n x x 0 n displaystyle f x sum n 0 infty a n x x 0 n nbsp g x n 0 b n x x 0 n displaystyle g x sum n 0 infty b n x x 0 n nbsp mit dem Konvergenzradius r displaystyle r nbsp dargestellt und ist c displaystyle c nbsp eine feste komplexe Zahl dann sind f g displaystyle f g nbsp und c f displaystyle cf nbsp in Potenzreihen mit Konvergenzradius mindestens r displaystyle r nbsp entwickelbar und es gilt f x g x n 0 a n b n x x 0 n displaystyle f x g x sum n 0 infty a n b n x x 0 n nbsp c f x n 0 c a n x x 0 n displaystyle cf x sum n 0 infty ca n x x 0 n nbsp Multiplikation Bearbeiten Das Produkt zweier Potenzreihen mit dem Konvergenzradius r displaystyle r nbsp ist eine Potenzreihe mit einem Konvergenzradius der mindestens r displaystyle r nbsp ist Da im Inneren des Konvergenzkreises absolute Konvergenz vorliegt gilt nach der Cauchy Produktformel f x g x n 0 a n x x 0 n n 0 b n x x 0 n i 0 j 0 a i b j x x 0 i j n 0 i 0 n a i b n i x x 0 n displaystyle begin aligned f x g x amp left sum n 0 infty a n x x 0 n right left sum n 0 infty b n x x 0 n right amp sum i 0 infty sum j 0 infty a i b j x x 0 i j sum n 0 infty left textstyle sum i 0 n a i b n i right x x 0 n end aligned nbsp Dabei wird die durch c n i 0 n a i b n i displaystyle textstyle c n sum i 0 n a i b n i nbsp definierte Folge c n displaystyle c n nbsp als Faltung oder Konvolution der beiden Folgen a n displaystyle a n nbsp und b n displaystyle b n nbsp bezeichnet Verkettung Bearbeiten Es gebe zu f displaystyle f nbsp und g displaystyle g nbsp zwei Potenzreihen f x n 0 a n x x 1 n displaystyle f x sum n 0 infty a n x x 1 n nbsp g x n 0 b n x x 0 n displaystyle g x sum n 0 infty b n x x 0 n nbsp mit positiven Konvergenzradien und der Eigenschaft b 0 g x 0 x 1 displaystyle b 0 g x 0 x 1 nbsp Dann ist die Verkettung f g displaystyle f circ g nbsp beider Funktionen lokal wieder eine analytische Funktion und somit um x 0 displaystyle x 0 nbsp in eine Potenzreihe entwickelbar f g x n 0 c n x x 0 n displaystyle f circ g x sum n 0 infty c n x x 0 n nbsp Nach dem Satz von Taylor gilt c n f g n x 0 n displaystyle c n frac f circ g n x 0 n nbsp Mit der Formel von Faa di Bruno kann man diesen Ausdruck nun in einer geschlossenen Formel in Abhangigkeit von den gegebenen Reihenkoeffizienten angeben da f n g x 0 f n x 1 n a n g m x 0 m b m displaystyle begin aligned f n g x 0 amp f n x 1 amp n cdot a n g m x 0 amp m cdot b m end aligned nbsp Man erhalt mit Multiindex Schreibweise c n f g n x 0 n k T n f k g x 0 k m 1 k m 1 n g m x 0 m k m k T n k a k k m 1 k m 1 n b m k m k T n k k a k m 1 k m 1 n b m k m displaystyle begin aligned c n amp frac f circ g n x 0 n amp sum boldsymbol k in T n frac f boldsymbol k g x 0 boldsymbol k prod m 1 atop k m geq 1 n left frac g m x 0 m right k m amp sum boldsymbol k in T n frac boldsymbol k cdot a boldsymbol k boldsymbol k prod m 1 atop k m geq 1 n b m k m amp sum boldsymbol k in T n boldsymbol k choose boldsymbol k a boldsymbol k prod m 1 atop k m geq 1 n b m k m end aligned nbsp Dabei ist k k displaystyle boldsymbol k choose boldsymbol k nbsp der Multinomialkoeffizient zu k displaystyle boldsymbol k nbsp und T n k N 0 n j 1 n j k j n displaystyle T n left boldsymbol k in mathbb N 0 n Big sum j 1 n j cdot k j n right nbsp ist die Menge aller Partitionen von n displaystyle n nbsp siehe Partitionsfunktion Differentiation und Integration Bearbeiten Eine Potenzreihe ist im Inneren ihres Konvergenzkreises differenzierbar und die Ableitung ergibt sich durch gliedweise Differentiation f x n 1 a n n x x 0 n 1 n 0 a n 1 n 1 x x 0 n displaystyle f prime x sum n 1 infty a n n left x x 0 right n 1 sum n 0 infty a n 1 left n 1 right left x x 0 right n nbsp Hierbei ist f displaystyle f nbsp beliebig oft differenzierbar und es gilt f k x n k n n k a n x x 0 n k n 0 n k n a n k x x 0 n displaystyle f k x sum n k infty frac n n k a n x x 0 n k sum n 0 infty frac n k n a n k x x 0 n nbsp Analog erhalt man eine Stammfunktion durch gliedweise Integration einer Potenzreihe f x d x n 0 a n x x 0 n 1 n 1 C n 1 a n 1 x x 0 n n C displaystyle int f x text d x sum n 0 infty frac a n left x x 0 right n 1 n 1 C sum n 1 infty frac a n 1 left x x 0 right n n C nbsp In beiden Fallen ist der Konvergenzradius gleich dem der ursprunglichen Reihe Darstellung von Funktionen als Potenzreihen BearbeitenOft ist man zu einer gegebenen Funktion an einer Potenzreihendarstellung interessiert insbesondere um die Frage zu beantworten ob die Funktion analytisch ist Es gibt einige Strategien um eine Potenzreihendarstellung zu bestimmen die allgemeinste mittels der Taylorreihe Hier tritt aber oft das Problem auf dass man eine geschlossene Darstellung fur die Ableitungen benotigt die oft schwer zu bestimmen ist Fur gebrochen rationale Funktionen gibt es jedoch einige leichtere Strategien Als Beispiel soll die Funktion f z z 2 z 2 4 z 3 displaystyle f z frac z 2 z 2 4z 3 nbsp betrachtet werden Mittels der geometrischen ReiheDurch Faktorisieren des Nenners und anschliessender Anwendung der Formel fur Summe einer geometrischen Reihe erhalt man eine Darstellung der Funktion als Produkt von unendlichen Reihen f z z 2 1 z 3 z z 2 3 1 1 z 1 1 z 3 z 2 3 n 0 z n n 0 z 3 n 1 3 n 2 z n n 0 z 3 n displaystyle f z frac z 2 1 z 3 z frac z 2 3 cdot frac 1 1 z cdot frac 1 1 frac z 3 frac z 2 3 cdot left sum n 0 infty z n right cdot left sum n 0 infty left frac z 3 right n right frac 1 3 left sum n 2 infty z n right left sum n 0 infty left frac z 3 right n right nbsp Beide Reihen sind Potenzreihen um den Entwicklungspunkt z 0 0 displaystyle z 0 0 nbsp und konnen daher in der oben genannten Weise multipliziert werden Dasselbe Ergebnis liefert auch die Cauchy Produktformel f z n 0 z n k 0 n a k b n k displaystyle f z sum n 0 infty z n textstyle sum k 0 n a k b n k nbsp mit a k 0 fur k 0 1 1 sonst displaystyle a k begin cases 0 amp text fur k in 0 1 1 amp text sonst end cases nbsp und b k 1 3 k displaystyle b k frac 1 3 k nbsp Daraus folgt durch Anwendung der Formel fur die Partialsumme einer geometrischen Reihe k 0 n a k b n k k 2 n 1 3 n k 1 3 n 2 k 0 n 2 3 k 1 3 n 1 2 3 n 2 displaystyle sum k 0 n a k b n k sum k 2 n left frac 1 3 right n k frac 1 3 n 2 sum k 0 n 2 3 k frac 1 3 n 1 2 cdot 3 n 2 nbsp als geschlossene Darstellung fur die Koeffizientenfolge der Potenzreihe Damit ist die Potenzreihendarstellung der Funktion um den Entwicklungspunkt 0 gegeben durch f z n 2 1 2 1 1 3 n 1 z n displaystyle f z sum n 2 infty frac 1 2 cdot left 1 frac 1 3 n 1 right cdot z n nbsp Durch KoeffizientenvergleichOft ist der Weg uber die geometrische Reihe umstandlich und fehleranfallig Deshalb bietet sich folgender Ansatz an Man nimmt an dass eine Potenzreihendarstellung f z z 2 z 2 4 z 3 n 0 b n z n displaystyle f z frac z 2 z 2 4z 3 sum n 0 infty b n z n nbsp der Funktion mit unbekannter Koeffizientenfolge b n n N displaystyle b n n in mathbb N nbsp existiert Nach dem Durchmultiplizieren des Nenners und einer Indexverschiebung ergibt sich die Identitat z 2 z 2 4 z 3 n 0 b n z n n 2 b n 2 z n n 1 4 b n 1 z n n 0 3 b n z n 3 b 0 z 3 b 1 4 b 0 n 2 b n 2 4 b n 1 3 b n z n displaystyle begin aligned z 2 amp z 2 4z 3 sum n 0 infty b n z n amp sum n 2 infty b n 2 z n sum n 1 infty 4b n 1 z n sum n 0 infty 3b n z n amp 3b 0 z 3b 1 4b 0 sum n 2 infty b n 2 4b n 1 3b n z n end aligned nbsp Da aber zwei Potenzreihen genau dann gleich sind wenn ihre Koeffizientenfolgen ubereinstimmen ergibt sich durch Koeffizientenvergleich b 0 0 b 1 0 b 2 1 3 displaystyle b 0 0 b 1 0 b 2 frac 1 3 nbsp und die Rekursionsgleichung b n 4 b n 1 b n 2 3 displaystyle b n frac 4b n 1 b n 2 3 nbsp aus der mittels vollstandiger Induktion die obige geschlossene Darstellung folgt Das Vorgehen mittels Koeffizientenvergleiches hat auch den Vorteil dass andere Entwicklungspunkte als z 0 0 displaystyle z 0 0 nbsp moglich sind Betrachte als Beispiel den Entwicklungspunkt z 1 1 displaystyle z 1 1 nbsp Zuerst muss die gebrochen rationale Funktion als Polynom in z z 1 z 1 displaystyle z z 1 z 1 nbsp dargestellt werden f z z 2 z 2 4 z 3 z 1 2 2 z 1 1 z 1 2 6 z 1 8 displaystyle f z frac z 2 z 2 4z 3 frac z 1 2 2 z 1 1 z 1 2 6 z 1 8 nbsp Analog zu oben nimmt man nun an dass eine formale Potenzreihe um den Entwicklungspunkt existiert mit unbekannter Koeffizientenfolge und multipliziert mit dem Nenner durch z 1 2 2 z 1 1 z 1 2 6 z 1 8 n 0 b n z 1 n 8 b 0 z 1 8 b 1 6 b 0 n 2 b n 2 6 b n 1 8 b n z 1 n displaystyle begin aligned z 1 2 2 z 1 1 amp z 1 2 6 z 1 8 sum n 0 infty b n z 1 n amp 8b 0 z 1 8b 1 6b 0 sum n 2 infty b n 2 6b n 1 8b n z 1 n end aligned nbsp Wieder ergibt sich mittels Koeffizientenvergleiches b 0 1 8 b 1 5 32 b 2 1 128 displaystyle b 0 frac 1 8 b 1 frac 5 32 b 2 frac 1 128 nbsp und als Rekursionsgleichung fur die Koeffizienten b n b n 2 6 b n 1 8 displaystyle b n frac b n 2 6b n 1 8 nbsp Durch PartialbruchzerlegungWendet man auf die gegebene Funktion zuerst Polynomdivision und dann die Partialbruchzerlegung an so erhalt man die Darstellung f z z 2 z 2 4 z 3 1 4 z 3 z 1 z 3 1 1 2 1 1 z 3 2 1 1 z 3 displaystyle f z frac z 2 z 2 4z 3 1 frac 4z 3 z 1 z 3 1 frac 1 2 cdot frac 1 1 z frac 3 2 cdot frac 1 1 frac z 3 nbsp Durch Einsetzen der geometrischen Reihe ergibt sich f z 1 1 2 n 0 z n 3 2 n 0 1 3 n z n 1 n 0 1 2 1 1 3 n 1 z n displaystyle f z 1 frac 1 2 cdot sum n 0 infty z n frac 3 2 cdot sum n 0 infty frac 1 3 n z n 1 sum n 0 infty frac 1 2 cdot left 1 frac 1 3 n 1 right z n nbsp Wegen 1 n 0 1 1 2 1 1 3 n 1 z n 1 1 0 0 displaystyle textstyle 1 sum n 0 1 frac 1 2 cdot left 1 frac 1 3 n 1 right z n 1 1 0 0 nbsp ergibt sich wie oben f z n 2 1 2 1 1 3 n 1 z n displaystyle textstyle f z sum n 2 infty frac 1 2 cdot left 1 frac 1 3 n 1 right z n nbsp Verallgemeinerungen BearbeitenPotenzreihen lassen sich nicht nur fur x C displaystyle x in mathbb C nbsp definieren sondern sind auch verallgemeinerbar So sind z B das Matrixexponential und der Matrixlogarithmus Verallgemeinerungen von Potenzreihen auf dem Raum der quadratischen Matrizen Kommen in einer Reihe auch Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten vor so spricht man von einer Laurent Reihe Erlaubt man den Exponenten auch gebrochene Werte anzunehmen handelt es sich um eine Puiseux Reihe Formale Potenzreihen werden beispielsweise als erzeugende Funktionen in der Kombinatorik und der Wahrscheinlichkeitstheorie etwa als wahrscheinlichkeitserzeugende Funktionen verwendet In der Algebra werden formale Potenzreihen uber allgemeinen kommutativen Ringen untersucht Literatur BearbeitenKurt Endl Wolfgang Luh Analysis II Aula Verlag 1973 7 Auflage 1989 ISBN 3 89104 455 0 S 85 89 99 E D Solomentsev Power series In Encyclopaedia of Mathematics Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Potenzreihe amp oldid 228847736
