Die maclaurinsche Reihe nach Colin Maclaurin ist in der Analysis eine Bezeichnung fur den Spezialfall einer Taylor Reihe mit Entwicklungsstelle x 0 0 displaystyle x 0 0 f x j 0 f j 0 j x j f 0 f 0 x 1 2 f 0 x 2 displaystyle f x sum j 0 infty frac f j 0 j x j f 0 f 0 cdot x frac 1 2 f 0 cdot x 2 dots Das Betrachten nur endlich vieler Glieder der obigen Reihe liefert die maclaurinsche Formel als Spezialfall der Taylor Formel f x f 0 f 0 x f 0 2 x 2 f n 0 n x n R n displaystyle f x f 0 f 0 cdot x frac f 0 2 x 2 dots frac f n 0 n x n R n mit dem Restglied R n x n 1 n 1 f n 1 8 x 0 lt 8 lt 1 displaystyle R n frac x n 1 n 1 f n 1 theta x qquad 0 lt theta lt 1 oder alternativ R n 1 n 0 x x t n f n 1 t d t displaystyle R n frac 1 n int limits 0 x x t n f n 1 t mathrm d t Die Konvergenz der Maclaurinschen Reihe kann durch Untersuchung des Restgliedes R n displaystyle R n oder durch Bestimmung des Konvergenzradius nachgewiesen werden Im letzteren Falle kann es jedoch vorkommen dass die Reihe zwar konvergiert ihre Summe aber ungleich f x displaystyle f x ist Ein Beispiel fur solch einen Fall ist die Funktion f x exp 1 x 2 displaystyle f x exp 1 x 2 mit der Bedingung f 0 0 displaystyle f 0 0 die Glieder ihrer Maclaurinschen Reihe sind alle 0 allerdings ist f x 0 displaystyle f x not 0 fur x 0 displaystyle x not 0 1 Fur Funktionen die bei x 0 displaystyle x 0 nicht definiert sind z B f x 1 x displaystyle f x tfrac 1 x oder die bei x 0 displaystyle x 0 zwar definiert aber nicht beliebig oft differenzierbar sind z B f x x x displaystyle f x x sqrt x lasst sich ebenfalls keine maclaurinsche Reihe entwickeln Inhaltsverzeichnis 1 Beispiele 1 1 Elementare Beispiele 1 2 Nicht elementare Beispiele 2 Umwandlung beliebiger Taylorreihen in Maclaurin Reihen 3 EinzelnachweiseBeispiele BearbeitenElementare Beispiele Bearbeiten Sinussin x n 0 1 n x 2 n 1 2 n 1 x 1 x 3 3 x 5 5 x x 3 6 x 5 120 displaystyle sin x sum n 0 infty 1 n frac x 2n 1 2n 1 frac x 1 frac x 3 3 frac x 5 5 ldots x frac x 3 6 frac x 5 120 ldots nbsp Exponentialfunktione x n 0 x n n 1 x x 2 2 x 3 3 x 4 4 1 x 1 2 x 2 1 6 x 3 1 24 x 4 displaystyle e x sum n 0 infty frac x n n 1 x frac x 2 2 frac x 3 3 frac x 4 4 dots 1 x frac 1 2 x 2 frac 1 6 x 3 frac 1 24 x 4 dots nbsp Areatangens Hyperbolicusartanh x n 0 1 2 n 1 x 2 n 1 displaystyle text artanh x sum n 0 infty frac 1 2n 1 x 2n 1 nbsp Arkussinusarcsin x n 0 2 n 4 n n 2 2 n 1 x 2 n 1 displaystyle arcsin x sum n 0 infty frac 2n 4 n n 2 2n 1 x 2n 1 nbsp Exponentiell erzeugende Funktion der Bellschen Zahlen exp exp x 1 n 0 B n n x n displaystyle exp exp x 1 sum n 0 infty frac B n n x n nbsp Nicht elementare Beispiele Bearbeiten Besselsche FunktionenI 0 x n 0 x 2 n 4 n n 2 0 1 2 cosh x y p 1 y 2 d y displaystyle mathrm I 0 x sum n 0 infty frac x 2n 4 n n 2 int 0 1 frac 2 cosh xy pi sqrt 1 y 2 mathrm d y nbsp J 0 x n 0 1 n x 2 n 4 n n 2 0 1 2 cos x y p 1 y 2 d y displaystyle mathrm J 0 x sum n 0 infty frac 1 n x 2n 4 n n 2 int 0 1 frac 2 cos xy pi sqrt 1 y 2 mathrm d y nbsp Legendresche Chifunktionx 2 x n 0 1 2 n 1 2 x 2 n 1 0 1 arcsin x y 1 y 2 d y displaystyle chi 2 x sum n 0 infty frac 1 2n 1 2 x 2n 1 int 0 1 frac arcsin xy sqrt 1 y 2 mathrm d y nbsp Vollstandiges elliptisches Integral erster Art 2 p K x n 0 2 n 2 16 n n 4 x 2 n 0 1 2 p 1 x 2 y 2 1 y 2 d y displaystyle frac 2 pi K x sum n 0 infty frac 2n 2 16 n n 4 x 2n int 0 1 frac 2 pi sqrt 1 x 2 y 2 1 y 2 mathrm d y nbsp Erzeugende Funktion der regularen Partitionszahlenfolge P n ϑ 00 x 1 6 ϑ 01 x 2 3 ϑ 00 x 4 ϑ 01 x 4 16 x 1 24 n 0 P n x n displaystyle vartheta 00 x 1 6 vartheta 01 x 2 3 biggl frac vartheta 00 x 4 vartheta 01 x 4 16 x biggr 1 24 sum n 0 infty P n x n nbsp Erzeugende Funktion der strikten Partitionszahlenfolge Q n ϑ 00 x 1 6 ϑ 01 x 1 3 ϑ 00 x 4 ϑ 01 x 4 16 x 1 24 n 0 Q n x n displaystyle vartheta 00 x 1 6 vartheta 01 x 1 3 biggl frac vartheta 00 x 4 vartheta 01 x 4 16 x biggr 1 24 sum n 0 infty Q n x n nbsp Mit dem Buchstaben ϑ werden die sogenannten Theta Nullwertfunktionen ausgedruckt Umwandlung beliebiger Taylorreihen in Maclaurin Reihen BearbeitenJede Taylorreihe auch solche mit Entwicklungsstelle x 0 0 displaystyle x 0 neq 0 nbsp kann als Maclaurin Reihe aufgefasst werden Dazu wird statt der Taylorreihe zu f x displaystyle f x nbsp die Taylorreihe zu f x 0 x displaystyle f x 0 x nbsp betrachtet Substitution f x 0 x n 0 f n x 0 n x 0 x x 0 n n 0 f n x 0 n x n displaystyle f x 0 x sum n 0 infty frac f n x 0 n x 0 x x 0 n sum n 0 infty frac f n x 0 n x n nbsp Durch die Verschiebung um x 0 displaystyle x 0 nbsp zur Seite ist die neue Entwicklungsstelle gerade 0 wodurch es sich bei der neuen Taylorreihe um eine Maclaurin Reihe handelt Beispiel Die Taylorreihe zur naturlichen Logarithmusfunktion ln x displaystyle ln x nbsp um die Entwicklungsstelle 1 namlich ln x n 1 1 n 1 n x 1 n displaystyle ln x sum n 1 infty frac 1 n 1 n x 1 n nbsp entspricht der Maclaurin Reihe zu ln x 1 displaystyle ln x 1 nbsp ln x 1 n 1 1 n 1 n x n x x 2 2 x 3 3 x 4 4 displaystyle ln x 1 sum n 1 infty frac 1 n 1 n x n x frac x 2 2 frac x 3 3 frac x 4 4 cdots nbsp Einzelnachweise Bearbeiten I Bronstein K Semendjajew et al Taschenbuch der Mathematik Verlag Harri Deutsch Frankfurt am Main 2005 ISBN 3 8171 2006 0 S 434 Normdaten Sachbegriff GND 4441686 6 lobid OGND AKS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Maclaurinsche Reihe amp oldid 231165937
