Substitution Mathematik Unter Substitution versteht man in der Mathematik allgemein das Ersetzen eines Terms durch einen

Substitution (Mathematik)

Unter Substitution versteht man in der Mathematik allgemein das Ersetzen eines Terms durch einen anderen mit dem Ziel der Überführung des Ausgangsterms in eine einfach lösbare Standardform. Die Substitution wird unter anderem verwendet, um biquadratische Gleichungen zu lösen oder um Integrale mittels Substitution zu bestimmen.

Beispiele Bearbeiten

Funktionsgraphen vor und nach der Substitution

Biquadratische Gleichung Bearbeiten

Folgendes Beispiel nutzt die Substitution, um die Lösungsmenge einer gegebenen biquadratischen Gleichung bzw. die Nullstellen einer ganzrationalen Funktion bzw. eines Polynoms 4. Grades zu bestimmen.

Die Gleichung

lässt sich durch die Substitution in

überführen. Diese quadratische Gleichung lässt sich nun mit Standardverfahren wie zum Beispiel mit der p-q-Formel lösen. Man erhält als Lösungen und . Durch Rücksubstitution erhält man für die Gleichungen

mit den Lösungen und sowie

mit den komplexen Lösungen und . Die Ausgangsgleichung hat somit als Lösungsmenge in bzw. in .

Gleichung mit Exponentialfunktion Bearbeiten

Nun soll die Gleichung

gelöst werden, wobei die natürliche Exponentialfunktion ist. Diese Gleichung lässt sich durch die Substitution umformulieren zu

mit Lösungen wodurch Somit ist die Lösungsmenge der ursprünglichen Gleichung in bzw. in .

Siehe auch Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

Jan Peter Gehrk: Mathematik im Studium: Brückenkurs für Wirtschafts- und Naturwissenschaften. R. Oldenbourg Verlag, München 2010, ISBN 978-3-486-59910-7, S. 116–117.

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Veröffentlichungsdatum: November 26, 2023, 11:06 am

Unter Substitution versteht man in der Mathematik allgemein das Ersetzen eines Terms durch einen anderen mit dem Ziel der Uberfuhrung des Ausgangsterms in eine einfach losbare Standardform Die Substitution wird unter anderem verwendet um biquadratische Gleichungen zu losen oder um Integrale mittels Substitution zu bestimmen Inhaltsverzeichnis 1 Beispiele 1 1 Biquadratische Gleichung 1 2 Gleichung mit Exponentialfunktion 2 Siehe auch 3 EinzelnachweiseBeispiele Bearbeiten nbsp Funktionsgraphen vor und nach der SubstitutionBiquadratische Gleichung Bearbeiten Folgendes Beispiel nutzt die Substitution um die Losungsmenge einer gegebenen biquadratischen Gleichung bzw die Nullstellen einer ganzrationalen Funktion bzw eines Polynoms 4 Grades zu bestimmen 1 Die Gleichung x 4 x 2 2 0 displaystyle x 4 x 2 2 0 nbsp lasst sich durch die Substitution t x 2 displaystyle t x 2 nbsp in t 2 t 2 0 displaystyle t 2 t 2 0 nbsp uberfuhren Diese quadratische Gleichung lasst sich nun mit Standardverfahren wie zum Beispiel mit der p q Formel losen Man erhalt als Losungen t 1 1 displaystyle t 1 1 nbsp und t 2 2 displaystyle t 2 2 nbsp Durch Rucksubstitution erhalt man fur x displaystyle x nbsp die Gleichungen x 2 1 displaystyle x 2 1 nbsp mit den Losungen x 1 1 displaystyle x 1 1 nbsp und x 2 1 displaystyle x 2 1 nbsp sowie x 2 2 displaystyle x 2 2 nbsp mit den komplexen Losungen x 3 i 2 displaystyle x 3 i sqrt 2 nbsp und x 4 i 2 displaystyle x 4 i sqrt 2 nbsp Die Ausgangsgleichung hat somit als Losungsmenge 1 1 displaystyle 1 1 nbsp in R displaystyle mathbb R nbsp bzw 1 1 i 2 i 2 displaystyle 1 1 i sqrt 2 i sqrt 2 nbsp in C displaystyle mathbb C nbsp Gleichung mit Exponentialfunktion Bearbeiten Nun soll die Gleichung exp 2 x 2 exp x 3 0 displaystyle exp 2x 2 exp x 3 0 nbsp gelost werden wobei exp x e x displaystyle exp x e x nbsp die naturliche Exponentialfunktion ist Diese Gleichung lasst sich durch die Substitution t exp x displaystyle t exp x nbsp umformulieren zu t 2 2 t 3 t 3 t 1 0 displaystyle t 2 2t 3 t 3 t 1 0 nbsp mit Losungen t 1 3 t 2 1 displaystyle t 1 3 t 2 1 nbsp wodurch x 1 ln t 1 ln 3 R x 2 ln t 2 ln 1 i p C R displaystyle x 1 ln t 1 ln 3 in mathbb R x 2 ln t 2 ln 1 i pi in mathbb C setminus mathbb R nbsp Somit ist die Losungsmenge der ursprunglichen Gleichung ln 3 displaystyle ln 3 nbsp in R displaystyle mathbb R nbsp bzw ln 3 ln 1 ln 3 i p displaystyle ln 3 ln 1 ln 3 i pi nbsp in C displaystyle mathbb C nbsp Siehe auch BearbeitenSubstitution Logik Symmetrische Gleichung Integration durch SubstitutionEinzelnachweise Bearbeiten Jan Peter Gehrk Mathematik im Studium Bruckenkurs fur Wirtschafts und Naturwissenschaften R Oldenbourg Verlag Munchen 2010 ISBN 978 3 486 59910 7 S 116 117 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Substitution Mathematik amp oldid 231021345