Eine quartische Gleichung oder polynomiale Gleichung 4 Grades traditionell auch biquadratische Gleichung genannt hat die Form A x 4 B x 3 C x 2 D x E 0 displaystyle Ax 4 Bx 3 Cx 2 Dx E 0 mit Koeffizienten A B C D E displaystyle A B C D E und A 0 displaystyle A neq 0 aus einem Korper K displaystyle K mit Charakteristik 0 displaystyle 0 wobei x displaystyle x dann aus der K displaystyle K Algebra stammt Im Folgenden werden als Korper nur die reellen oder die komplexen Zahlen betrachtet Nach dem Fundamentalsatz der Algebra lasst sich die Gleichung bis auf die Reihenfolge eindeutig in die Form A x x 1 x x 2 x x 3 x x 4 0 displaystyle A x x 1 x x 2 x x 3 x x 4 0 bringen wobei x 1 x 2 x 3 displaystyle x 1 x 2 x 3 und x 4 displaystyle x 4 die nicht notwendigerweise verschiedenen vier komplexen Losungen der Gleichung sind Ist B 0 displaystyle B 0 und D 0 displaystyle D 0 dann lasst sich die Gleichung durch Substitution auf eine quadratische Gleichung zuruckfuhren Heutzutage insbesondere in der Schulmathematik ist es ublich nur diese Spezialform biquadratische Gleichung zu nennen 1 obwohl Biquadrat traditionell eine allgemeinere Bedeutung hat Inhaltsverzeichnis 1 Geschichte 2 Losungsformel und Beweis 2 1 Normalisieren und Reduzieren 2 2 Fall dass nur gerade Exponenten auftreten 2 3 Allgemeiner Fall 2 4 Zusammenfassung 3 Zerlegung in quadratische Faktoren 4 Ungewohnliche Zerlegungen biquadratischer Gleichungen 5 Weitere Spezialformen 5 1 B 0 und D 0 5 2 E 0 5 3 Reelle Koeffizienten 5 3 1 Vier reelle Losungen 5 3 2 Zwei reelle und zwei konjugiert komplexe Losungen 5 3 3 Zwei Paare konjugiert komplexer Losungen 5 4 Kompakte Formulierung fur reellwertige Koeffizienten 6 Siehe auch 7 Einzelnachweise 8 Literatur 9 WeblinksGeschichte BearbeitenDie erste geschlossene Losung der quartischen Gleichung fand der italienische Mathematiker Lodovico Ferrari 1522 1565 Diese Losung veroffentlichte sein Lehrer Gerolamo Cardano 1545 in dem Werk Ars magna de Regulis Algebraicis Eine weitere Losungsmethode mit unterschiedlichem Ansatz wurde von Leonhard Euler 1738 in Sankt Petersburg publiziert in dem Bestreben eine allgemeine Losungsformel auch fur Gleichungen hoherer Grade zu finden Dass dies unmoglich ist wurde von Niels Henrik Abel 1824 bewiesen Satz von Abel Ruffini Losungsformel und Beweis BearbeitenDa die allgemeine Losungsformel unubersichtlich ist wird die allgemeine Gleichung schrittweise in speziellere aquivalente Formen uberfuhrt Die dabei vorgenommenen Transformationen der Variablen mussen am Ende an den Losungen in umgekehrter Reihenfolge ruckgangig gemacht werden Voraussetzung Gegeben sei eine quartische Gleichung A x 4 B x 3 C x 2 D x E 0 displaystyle Ax 4 Bx 3 Cx 2 Dx E 0 nbsp mit A B C D E x C displaystyle A B C D E x in mathbb C nbsp und A 0 displaystyle A neq 0 nbsp Aussage Dann kann man ihre Losungen auf algebraische Weise wie folgt angeben 2 Normalisieren und Reduzieren Bearbeiten Zunachst wird die Gleichung mit der Substitution x u B 4 A displaystyle x u frac B 4A nbsp dahingehend vereinfacht dass der kubische Koeffizient B displaystyle B nbsp verschwindet Tschirnhaus Transformation und gleichzeitig der fuhrende Koeffizient durch Division der gesamten Gleichung durch A displaystyle A nbsp zu 1 displaystyle 1 nbsp gesetzt wird Mit den Festlegungen a 3 B 2 8 A 2 C A b B 3 8 A 3 B C 2 A 2 D A g 3 B 4 256 A 4 B 2 C 16 A 3 B D 4 A 2 E A displaystyle begin array rl alpha amp dfrac 3B 2 8A 2 dfrac C A 1em beta amp dfrac B 3 8A 3 dfrac B C 2A 2 dfrac D A 1em gamma amp dfrac 3B 4 256A 4 dfrac B 2 C 16A 3 dfrac B D 4A 2 dfrac E A end array nbsp reduziert sich die Gleichung zu u 4 a u 2 b u g 0 displaystyle u 4 alpha u 2 beta u gamma 0 nbsp Am Ende der Rechnung werden die Nullstellen des Ausgangspolynoms als x 1 2 3 4 u 1 2 3 4 B 4 A displaystyle x 1 2 3 4 u 1 2 3 4 tfrac B 4A nbsp zuruckgewonnen Im Folgenden kann also angenommen werden dass der Koeffizient dritten Grades Null ist Fall dass nur gerade Exponenten auftreten Bearbeiten Ist b 0 displaystyle beta 0 nbsp dann erhalt man den Spezialfall einer echten biquadratischen Gleichung u 4 a u 2 g 0 displaystyle u 4 alpha u 2 gamma 0 nbsp und kann die Nullstellen als Quadratwurzeln in beiden Vorzeichenvarianten aus den Losungen der durch die Substitution u 2 m displaystyle u 2 m nbsp gewonnenen quadratischen Gleichung m 2 a m g 0 displaystyle m 2 alpha m gamma 0 nbsp bestimmen Sind die Koeffizienten reell und g gt a 2 4 0 displaystyle gamma gt tfrac alpha 2 4 geq 0 nbsp so ist es sinnvoller nicht direkt die dann komplexen Losungen der quadratischen Gleichung in m displaystyle m nbsp zu bestimmen und daraus die Quadratwurzeln sondern die Gleichung erst auf andere Art reell zu faktorisieren wobei die zwei quadratischen Faktoren wieder reelle Koeffizienten haben u 4 a u 2 g u 2 g 2 2 g a u 2 u 2 g 2 g a u u 2 g 2 g a u u 2 2 g a u g u 2 2 g a u g displaystyle begin array rl u 4 alpha u 2 gamma amp left u 2 sqrt gamma 2 right left 2 sqrt gamma alpha u 2 right amp left left u 2 sqrt gamma right left sqrt 2 sqrt gamma alpha u right right cdot left left u 2 sqrt gamma right left sqrt 2 sqrt gamma alpha u right right amp left u 2 sqrt 2 sqrt gamma alpha cdot u sqrt gamma right cdot left u 2 sqrt 2 sqrt gamma alpha cdot u sqrt gamma right end array nbsp Fur jeden Faktor konnen jetzt wieder einzeln die Nullstellen bestimmt werden u 1 2 g a 2 2 g a 4 g displaystyle u 1 frac sqrt 2 sqrt gamma alpha 2 sqrt frac 2 sqrt gamma alpha 4 sqrt gamma nbsp u 2 2 g a 2 2 g a 4 g displaystyle u 2 frac sqrt 2 sqrt gamma alpha 2 sqrt frac 2 sqrt gamma alpha 4 sqrt gamma nbsp u 3 2 g a 2 2 g a 4 g displaystyle u 3 frac sqrt 2 sqrt gamma alpha 2 sqrt frac 2 sqrt gamma alpha 4 sqrt gamma nbsp u 4 2 g a 2 2 g a 4 g displaystyle u 4 frac sqrt 2 sqrt gamma alpha 2 sqrt frac 2 sqrt gamma alpha 4 sqrt gamma nbsp Allgemeiner Fall Bearbeiten Ist b 0 displaystyle beta neq 0 nbsp so versucht man die Gleichung als Differenz zweier vollstandiger Quadrate zu schreiben Dabei werden komplexe Parameter w y z displaystyle w y z nbsp eingefuhrt Die Darstellung als Differenz fuhrt dann direkt zu einer Faktorisierung in quadratische Faktoren mit komplexen Koeffizienten u 4 a u 2 b u g u 2 a y 2 w u z 2 u 2 w u z a y u 2 w u z a y displaystyle begin array rl u 4 alpha u 2 beta u gamma amp u 2 alpha y 2 w u z 2 amp u 2 w u z alpha y u 2 w u z alpha y end array nbsp Durch Vergleich mit u 4 a u 2 b u g u 2 a y 2 a 2 y u 2 b u a y 2 g displaystyle u 4 alpha u 2 beta u gamma u 2 alpha y 2 alpha 2y u 2 beta u alpha y 2 gamma nbsp ergeben sich w 2 a 2 y displaystyle w 2 alpha 2y nbsp und z 2 a y 2 g displaystyle z 2 alpha y 2 gamma nbsp sowie b 2 w z displaystyle beta 2wz nbsp Damit der zweite Teil der Differenz ein vollstandiges Quadrat in u displaystyle u nbsp ist muss die Diskriminante dieses quadratischen Terms verschwinden 0 4 w 2 z 2 b 2 4 a 2 y a y 2 g b 2 displaystyle 0 4w 2 z 2 beta 2 4 alpha 2y alpha y 2 gamma beta 2 nbsp 0 y 3 5 2 a y 2 2 a 2 g y 1 2 a a 2 g 1 8 b 2 displaystyle 0 y 3 tfrac 5 2 alpha y 2 2 alpha 2 gamma y tfrac 1 2 alpha alpha 2 gamma tfrac 1 8 beta 2 nbsp Dies ist eine kubische Gleichung in y displaystyle y nbsp Aus einer der Losungen fur y displaystyle y nbsp ergeben sich zwei quadratische Gleichungen in u displaystyle u nbsp die zu insgesamt vier Losungen fur u displaystyle u nbsp bzw dann x displaystyle x nbsp fuhren Zusammenfassung Bearbeiten Insgesamt werden folgende Rechenschritte durchgefuhrt P a 2 12 g displaystyle P frac alpha 2 12 gamma nbsp Q a 3 108 a g 3 b 2 8 displaystyle Q frac alpha 3 108 frac alpha gamma 3 frac beta 2 8 nbsp y 5 6 a Q 3 falls P 0 U P 3 U falls P 0 displaystyle y frac 5 6 alpha begin cases sqrt 3 Q amp text falls P 0 U frac P 3U amp text falls P neq 0 end cases nbsp mit U Q 2 Q 2 4 P 3 27 3 displaystyle U sqrt 3 frac Q 2 sqrt frac Q 2 4 frac P 3 27 nbsp w a 2 y displaystyle w sqrt alpha 2y nbsp z b 2 w displaystyle z frac beta 2w nbsp Nun konnen die Nullstellen wie folgt berechnet werden u 1 2 3 4 1 2 s w r w 2 4 a y s z displaystyle u 1 2 3 4 frac 1 2 left s cdot w r sqrt w 2 4 left alpha y s z right right nbsp und in der Variablen der ursprunglichen Gleichung x 1 2 3 4 B 4 A 1 2 s w r a 2 y 2 a s b w displaystyle x 1 2 3 4 frac B 4A frac 1 2 left s cdot w r sqrt alpha 2y 2 left alpha s tfrac beta w right right nbsp Die Parameter r s 1 1 displaystyle r s in 1 1 nbsp geben das in den zwei Quadratwurzeln zu wahlende Vorzeichen an alle vier Kombinationen von r displaystyle r nbsp und s displaystyle s nbsp sind notig um die vier Losungen zu erhalten Zerlegung in quadratische Faktoren BearbeitenHier wird die Zerlegung in ein Produkt mit zwei quadratischen Faktoren x 4 a x 3 b x 2 c x d x 2 p x q x 2 s x t displaystyle x 4 ax 3 bx 2 cx d left x 2 px q right cdot left x 2 sx t right nbsp zuruckgefuhrt auf die Losung u displaystyle u nbsp der kubischen Gleichung u 3 2 b u 2 a c b 2 4 d u c 2 a b c a 2 d 0 displaystyle u 3 2bu 2 left ac b 2 4d right u c 2 abc a 2 d 0 nbsp 3 Bei reellen Koeffizienten a b c displaystyle a b c nbsp und d displaystyle d nbsp gibt es ein reelles u displaystyle u nbsp mit 4 u a 2 displaystyle 4u leq a 2 nbsp Mit einer Losung u displaystyle u nbsp dieser Gleichung errechnet sich direkt p a a 2 4 u 2 displaystyle p frac a sqrt a 2 4u 2 nbsp Sonderfall p a 2 displaystyle p tfrac a 2 nbsp siehe unten q b u a 2 4 u a 2 c 2 a 2 4 u displaystyle q frac b u left sqrt a 2 4u a right 2c 2 sqrt a 2 4u nbsp s a a 2 4 u 2 displaystyle s frac a sqrt a 2 4u 2 nbsp t b u a 2 4 u a 2 c 2 a 2 4 u displaystyle t frac b u left sqrt a 2 4u a right 2c 2 sqrt a 2 4u nbsp 4 Im Sonderfall 4 a b a 3 8 c displaystyle 4ab a 3 8c nbsp 5 ist die Losung 6 p a 2 displaystyle p frac a 2 nbsp q c a c 2 a 2 d displaystyle q frac c a sqrt frac c 2 a 2 d nbsp Falls a 0 displaystyle a 0 nbsp ist ist die Ausgangsgleichung x 4 b x 2 d 0 displaystyle x 4 bx 2 d 0 nbsp zu losen 7 s a 2 displaystyle s frac a 2 nbsp t c a c 2 a 2 d displaystyle t frac c a sqrt frac c 2 a 2 d nbsp Beispiel 1 Fur x 4 x 3 x 2 4 x 2 displaystyle x 4 x 3 x 2 4x 2 nbsp kommt man auf die Gleichung 3 Grades u 3 2 u 2 5 u 10 0 displaystyle u 3 2u 2 5u 10 0 nbsp Eine Losung ist u 2 displaystyle u 2 nbsp Daraus ergibt sich die Zerlegung x 4 x 3 x 2 4 x 2 x 2 x 1 x 2 2 x 2 displaystyle x 4 x 3 x 2 4x 2 left x 2 x 1 right left x 2 2x 2 right nbsp Beispiel 2 Fur x 4 3 x 3 8 x 6 displaystyle x 4 3x 3 8x 6 nbsp kommt man auf die Gleichung 3 Grades u 3 10 0 displaystyle u 3 10 0 nbsp Eine Losung ist u 10 3 displaystyle u sqrt 3 10 nbsp Daraus ergibt sich die Zerlegung x 4 3 x 3 8 x 6 x 2 p x q x 2 s x t displaystyle x 4 3x 3 8x 6 left x 2 px q right left x 2 sx t right nbsp mitp 3 9 4 10 3 2 3 598 674508 displaystyle p frac 3 sqrt 9 4 sqrt 3 10 2 approx 3 598674508 nbsp q 9 4 10 3 10 3 16 3 10 3 2 9 4 10 3 3 753 109199 displaystyle q frac sqrt 9 4 sqrt 3 10 sqrt 3 10 16 3 sqrt 3 10 2 sqrt 9 4 sqrt 3 10 approx 3 753109199 nbsp s 3 9 4 10 3 2 0 598 674508 displaystyle s frac 3 sqrt 9 4 sqrt 3 10 2 approx 0 598674508 nbsp t 9 4 10 3 10 3 16 3 10 3 2 9 4 10 3 1 598 674508 displaystyle t frac sqrt 9 4 sqrt 3 10 sqrt 3 10 16 3 sqrt 3 10 2 sqrt 9 4 sqrt 3 10 approx 1 598674508 nbsp Beispiel 3 x 4 4 x 3 11 x 2 30 x 50 x 2 2 x 5 x 2 2 x 10 displaystyle x 4 4x 3 11x 2 30x 50 left x 2 2x 5 right left x 2 2x 10 right nbsp Hier ist a 4 b 11 c 30 displaystyle a 4 b 11 c 30 nbsp und d 50 displaystyle d 50 nbsp Es liegt der Sonderfall 4 a b a 3 8 c displaystyle 4ab a 3 8c nbsp vor Beispiel 4 x 4 x 2 4 x 2 3 x 2 x 2 3 x 2 displaystyle x 4 x 2 4 left x 2 sqrt 3 x 2 right left x 2 sqrt 3 x 2 right nbsp Hier errechnen sich die Werte p x 1 x 2 q x 1 x 2 s x 3 x 4 displaystyle p x 1 x 2 q x 1 x 2 s x 3 x 4 nbsp und t x 3 x 4 displaystyle t x 3 x 4 nbsp uber die Nullstellen x 1 1 2 2 2 i 15 1 2 3 1 2 5 i displaystyle x 1 frac 1 2 sqrt 2 2 mathrm i sqrt 15 frac 1 2 sqrt 3 frac 1 2 sqrt 5 mathrm i nbsp x 2 1 2 2 2 i 15 1 2 3 1 2 5 i displaystyle x 2 frac 1 2 sqrt 2 2 mathrm i sqrt 15 frac 1 2 sqrt 3 frac 1 2 sqrt 5 mathrm i nbsp x 3 1 2 2 2 i 15 1 2 3 1 2 5 i displaystyle x 3 frac 1 2 sqrt 2 2 mathrm i sqrt 15 frac 1 2 sqrt 3 frac 1 2 sqrt 5 mathrm i nbsp x 4 1 2 2 2 i 15 1 2 3 1 2 5 i displaystyle x 4 frac 1 2 sqrt 2 2 mathrm i sqrt 15 frac 1 2 sqrt 3 frac 1 2 sqrt 5 mathrm i nbsp Ungewohnliche Zerlegungen biquadratischer Gleichungen BearbeitenBei rein biquadratischen Gleichungen ohne ungerade Exponenten kommt man besser mit den obigen Gleichungen weiter u 4 a u 2 g u 2 g 2 2 g a u 2 u 2 g 2 g a u u 2 g 2 g a u displaystyle begin array rl u 4 alpha u 2 gamma amp left left u 2 sqrt gamma right 2 right left left 2 sqrt gamma alpha right u 2 right amp left left u 2 sqrt gamma right left sqrt 2 sqrt gamma alpha u right right cdot left left u 2 sqrt gamma right left sqrt 2 sqrt gamma alpha u right right end array nbsp Fur u 4 u 2 g displaystyle u 4 u 2 gamma nbsp ergeben sich erstaunliche Zerlegungen wenn g displaystyle gamma nbsp eine Quadratzahl ist u 4 u 2 1 u 2 u 1 u 2 u 1 displaystyle u 4 u 2 1 left u 2 u 1 right left u 2 u 1 right nbsp u 4 u 2 4 u 2 3 u 2 u 2 3 u 2 displaystyle u 4 u 2 4 left u 2 sqrt 3 u 2 right left u 2 sqrt 3 u 2 right nbsp s o u 4 u 2 9 u 2 5 u 3 u 2 5 u 3 displaystyle u 4 u 2 9 left u 2 sqrt 5 u 3 right left u 2 sqrt 5 u 3 right nbsp u 4 u 2 16 u 2 7 u 4 u 2 7 u 4 displaystyle u 4 u 2 16 left u 2 sqrt 7 u 4 right left u 2 sqrt 7 u 4 right nbsp und schliesslich die gar nicht gewohnlichen Zerlegungen mit nur ganzzahligen Koeffizienten u 4 u 2 25 u 2 3 u 5 u 2 3 u 5 displaystyle u 4 u 2 25 left u 2 3u 5 right left u 2 3u 5 right nbsp u 4 u 2 169 u 2 5 u 13 u 2 5 u 13 displaystyle u 4 u 2 169 left u 2 5u 13 right left u 2 5u 13 right nbsp Hier bildet 2 g 1 g 1 g displaystyle sqrt 2 sqrt gamma 1 sqrt gamma 1 sqrt gamma nbsp ein pythagoreisches Tripel wobei g 1 displaystyle sqrt gamma 1 nbsp als Koeffizient gar nicht auftritt Dementsprechend sind auch die nachsten derartigen Zerlegungen u 4 u 2 625 u 2 7 u 25 u 2 7 u 25 displaystyle u 4 u 2 625 left u 2 7u 25 right left u 2 7u 25 right nbsp u 4 u 2 1681 u 2 9 u 41 u 2 9 u 41 displaystyle u 4 u 2 1681 left u 2 9u 41 right left u 2 9u 41 right nbsp u 4 u 2 3721 u 2 11 u 61 u 2 11 u 61 displaystyle u 4 u 2 3721 left u 2 11u 61 right left u 2 11u 61 right nbsp usw Wegen der Zerlegung von u 4 u 2 1 displaystyle u 4 u 2 1 nbsp lasst sich sogar als Sonderfall ein pythagoreisches Tripel 1 0 1 displaystyle 1 0 1 nbsp definieren obwohl es kein rechtwinkliges Dreieck ergibt sondern nur zwei zusammenfallende Dreiecksseiten Weitere Spezialformen BearbeitenB 0 und D 0 Bearbeiten Diese in der Schulmathematik haufigste Art von quartischen Gleichungen lasst sich durch Substitution relativ einfach auf eine quadratische Gleichung zuruckfuhren Dazu substituiert man mit x 2 z displaystyle x 2 z nbsp und erhalt A z 2 C z E 0 displaystyle Az 2 Cz E 0 nbsp Diese kann man durch die quadratische Losungsformel losen Man erhalt die Losungen z 1 z 2 displaystyle z 1 z 2 nbsp Aus der Rucksubstitution folgt x 1 2 2 z 1 displaystyle x 1 2 2 z 1 nbsp x 3 4 2 z 2 displaystyle x 3 4 2 z 2 nbsp Diese rein quadratischen Gleichungen haben je zwei Losungen x 1 2 z 1 displaystyle x 1 2 pm sqrt z 1 nbsp x 3 4 z 2 displaystyle x 3 4 pm sqrt z 2 nbsp E 0 Bearbeiten In diesem Fall ist x 1 0 displaystyle x 1 0 nbsp eine Losung der Gleichung Dann kann man den Faktor x x 1 displaystyle x x 1 nbsp also x 0 x displaystyle x 0 x nbsp ausklammern und erhalt die Gleichung x A x 3 B x 2 C x D 0 displaystyle x left Ax 3 Bx 2 Cx D right 0 nbsp Die Losungen der quartischen Gleichung sind dann 0 displaystyle 0 nbsp und die drei Losungen der kubischen Gleichung A x 3 B x 2 C x D 0 displaystyle Ax 3 Bx 2 Cx D 0 nbsp Reelle Koeffizienten Bearbeiten Sind alle Koeffizienten reell lassen sich Fallunterscheidungen fur die moglichen Losungen angeben Dies beruht auf folgender Tatsache Ist die nicht reelle Zahl a b i displaystyle a b mathrm i nbsp mit b 0 displaystyle b neq 0 nbsp Nullstelle eines beliebigen Polynoms mit reellen Koeffizienten so ist es auch die konjugiert komplexe Zahl a b i displaystyle a b mathrm i nbsp Beweis Bei der Zerlegung des zugehorigen Polynoms ergibt das Produkt der beiden Faktoren x a b i x a b i displaystyle x a b mathrm i x a b mathrm i nbsp ein quadratisches Polynom mit reellen Koeffizienten namlich x 2 2 a x a 2 b 2 displaystyle x 2 2ax a 2 b 2 nbsp Also lasst sich jedes Polynom mit reellen Koeffizienten unabhangig von seinem Grad in lineare und quadratische Faktoren mit reellen Koeffizienten zerlegen Es gibt fur die quartische Gleichung also drei Moglichkeiten Die Gleichung hat vier reelle Losungen Sie zerfallt in vier Linearfaktoren mit reellen Koeffizienten Die Gleichung hat zwei reelle und zwei konjugiert komplexe Losungen Sie zerfallt in zwei Linearfaktoren und einen quadratischen Faktor mit reellen Koeffizienten Die Gleichung hat zwei Paare konjugiert komplexer Losungen Sie zerfallt in zwei quadratische Faktoren mit reellen Koeffizienten Vier reelle Losungen Bearbeiten Unter den Losungen konnen einfache Losungen oder solche mit einer Vielfachheit 2 3 displaystyle 2 3 nbsp oder 4 displaystyle 4 nbsp sein Erlauterung Im Einzelnen gibt es diese Moglichkeiten eine Losung mit Vielfachheit 4 displaystyle 4 nbsp Beispiel 2 x 4 8 x 3 12 x 2 8 x 2 0 displaystyle 2x 4 8x 3 12x 2 8x 2 0 nbsp zerlegt 2 x 1 4 0 displaystyle 2 x 1 4 0 nbsp hat die vierfache Losung x 1 2 3 4 1 displaystyle x 1 2 3 4 1 nbsp eine Losung mit Vielfachheit 3 displaystyle 3 nbsp und eine einfache LosungBeispiel 1 2 x 4 3 x 3 6 x 2 4 x 0 displaystyle tfrac 1 2 x 4 3x 3 6x 2 4x 0 nbsp zerlegt 1 2 x 2 3 x 0 displaystyle tfrac 1 2 x 2 3 x 0 nbsp hat die dreifache Losung x 1 2 3 2 displaystyle x 1 2 3 2 nbsp und die einfache Losung x 4 0 displaystyle x 4 0 nbsp zwei Losungen jeweils mit Vielfachheit 2 displaystyle 2 nbsp Beispiel x 4 2 x 3 11 x 2 12 x 36 0 displaystyle x 4 2x 3 11x 2 12x 36 0 nbsp zerlegt x 2 2 x 3 2 0 displaystyle x 2 2 x 3 2 0 nbsp hat die zweifache Losung x 1 2 2 displaystyle x 1 2 2 nbsp und die zweifache Losung x 3 4 3 displaystyle x 3 4 3 nbsp eine Losung mit Vielfachheit 2 displaystyle 2 nbsp und zwei einfache LosungenBeispiel 5 x 4 15 2 x 3 45 2 x 2 5 2 x 15 2 0 displaystyle 5x 4 tfrac 15 2 x 3 tfrac 45 2 x 2 tfrac 5 2 x tfrac 15 2 0 nbsp zerlegt 5 x 1 2 x 3 x 1 2 0 displaystyle 5 x 1 2 x 3 left x tfrac 1 2 right 0 nbsp hat die zweifache Losung x 1 2 1 displaystyle x 1 2 1 nbsp und die einfachen Losungen x 3 3 x 4 1 2 displaystyle x 3 3 x 4 tfrac 1 2 nbsp vier einfache LosungenBeispiel x 4 x 3 4 x 2 4 x 0 displaystyle x 4 x 3 4x 2 4x 0 nbsp zerlegt x 2 x 1 x 2 x 0 displaystyle x 2 x 1 x 2 x 0 nbsp hat die einfachen Losungen x 1 2 x 2 1 x 3 2 x 4 0 displaystyle x 1 2 x 2 1 x 3 2 x 4 0 nbsp Zwei reelle und zwei konjugiert komplexe Losungen Bearbeiten Auch hier kann die reelle Losung mit Vielfachheit 2 displaystyle 2 nbsp auftreten Es gibt also diese beiden Moglichkeiten eine reelle Losung mit Vielfachheit 2 displaystyle 2 nbsp und zwei konjugiert komplexe LosungenBeispiel x 4 4 x 3 7 x 2 6 x 2 0 displaystyle x 4 4x 3 7x 2 6x 2 0 nbsp zerlegt x 1 2 x 1 i x 1 i 0 displaystyle x 1 2 x 1 mathrm i x 1 mathrm i 0 nbsp oder mit reellem quadratischem Faktor x 1 2 x 2 2 x 2 0 displaystyle x 1 2 left x 2 2x 2 right 0 nbsp hat die zweifache Losung x 1 2 1 displaystyle x 1 2 1 nbsp und die konjugiert komplexen Losungen x 3 1 i x 4 1 i displaystyle x 3 1 mathrm i x 4 1 mathrm i nbsp zwei einfache reelle Losungen und zwei konjugiert komplexe LosungenBeispiel x 4 3 x 3 2 x 2 16 x 16 0 displaystyle x 4 3x 3 2x 2 16x 16 0 nbsp zerlegt x 1 x 2 x 2 2 i x 2 2 i 0 displaystyle x 1 x 2 x 2 2 mathrm i x 2 2 mathrm i 0 nbsp oder mit reellem quadratischem Faktor x 1 x 2 x 2 4 x 8 0 displaystyle x 1 x 2 left x 2 4x 8 right 0 nbsp hat die einfachen Losungen x 1 1 x 2 2 displaystyle x 1 1 x 2 2 nbsp und die konjugiert komplexen Losungen x 3 2 2 i x 4 2 2 i displaystyle x 3 2 2 mathrm i x 4 2 2 mathrm i nbsp Zwei Paare konjugiert komplexer Losungen Bearbeiten Hier gibt es diese beiden Moglichkeiten zwei konjugiert komplexe Losungen mit Vielfachheit 2 displaystyle 2 nbsp Beispiel x 4 4 x 3 14 x 2 20 x 25 0 displaystyle x 4 4x 3 14x 2 20x 25 0 nbsp zerlegt x 1 2 i 2 x 1 2 i 2 0 displaystyle x 1 2 mathrm i 2 x 1 2 mathrm i 2 0 nbsp oder mit zwei reellen quadratischen Faktoren x 2 2 x 5 x 2 2 x 5 0 displaystyle left x 2 2x 5 right left x 2 2x 5 right 0 nbsp hat die zweifachen konjugiert komplexen Losungen x 1 2 1 2 i x 3 4 1 2 i displaystyle x 1 2 1 2 mathrm i x 3 4 1 2 mathrm i nbsp zwei Paare einfacher konjugiert komplexer LosungenBeispiel x 4 4 x 3 21 4 x 2 4 x 17 4 0 displaystyle x 4 4x 3 tfrac 21 4 x 2 4x tfrac 17 4 0 nbsp zerlegt x i x i x 2 1 2 i x 2 1 2 i 0 displaystyle x mathrm i x mathrm i left x left 2 tfrac 1 2 mathrm i right right left x left 2 tfrac 1 2 mathrm i right right 0 nbsp oder mit zwei reellen quadratischen Faktoren x 2 1 x 2 4 x 17 4 0 displaystyle left x 2 1 right left x 2 4x tfrac 17 4 right 0 nbsp hat die konjugiert komplexen Losungen x 1 i x 2 i displaystyle x 1 mathrm i x 2 mathrm i nbsp und x 3 2 1 2 i x 4 2 1 2 i displaystyle x 3 2 tfrac 1 2 mathrm i x 4 2 tfrac 1 2 mathrm i nbsp Kompakte Formulierung fur reellwertige Koeffizienten Bearbeiten Fur den Fall reeller Koeffizienten kann man die Gleichung wie folgt losen 1 Gegeben sei eine Gleichung vierten Grades a x 4 b x 3 c x 2 d x e 0 displaystyle ax 4 bx 3 cx 2 dx e 0 nbsp mit reellen Koeffizienten a b c d e displaystyle a b c d e nbsp und a 0 displaystyle a neq 0 nbsp Durch die Substitution y x b 4 a displaystyle y x frac b 4a nbsp uberfuhrt man diese in die reduzierte Gleichung y 4 p y 2 q y r 0 displaystyle y 4 py 2 qy r 0 nbsp mit reellen Koeffizienten p q displaystyle p q nbsp und r displaystyle r nbsp Im Fall q 0 displaystyle q 0 nbsp ist diese Gleichung biquadratisch und somit leicht zu losen Im allgemeinen Fall q 0 displaystyle q neq 0 nbsp erhalt man aus den Losungen der reduzierten Gleichung durch Rucksubstitution die Losungen der ursprunglichen Gleichung Mittels der Koeffizienten der reduzierten Gleichung bildet man die sogenannte kubische Resolvente z 3 2 p z 2 p 2 4 r z q 2 0 displaystyle z 3 2pz 2 p 2 4r z q 2 0 nbsp Die Losungen der Gleichung vierten Grades hangen folgendermassen mit den Losungen der kubischen Resolvente zusammen Kubische Resolvente Gleichung vierten Gradessamtliche Losungen reell und positiv vier reelle Losungensamtliche Losungen reell eine positiv und zwei negativ zwei Paare von zueinander komplex konjugierten Losungeneine positive reelle Losung und zwei komplexe zueinander konjugierte Losungen zwei reelle und zwei konjugiert komplexe LosungenDie Losungen der kubischen Resolvente seien z 1 z 2 z 3 displaystyle z 1 z 2 z 3 nbsp Fur jedes j 1 2 3 displaystyle j in 1 2 3 nbsp sei z j displaystyle sqrt z j nbsp eine beliebige der beiden komplexen Wurzeln aus z j displaystyle z j nbsp Dann erhalt man die Losungen der reduzierten Gleichung durch y 1 s 1 2 z 1 z 2 z 3 y 2 s 1 2 z 1 z 2 z 3 y 3 s 1 2 z 1 z 2 z 3 y 4 s 1 2 z 1 z 2 z 3 displaystyle begin array lcl y 1 amp amp sigma tfrac 1 2 left sqrt z 1 sqrt z 2 sqrt z 3 right 5pt y 2 amp amp sigma tfrac 1 2 left sqrt z 1 sqrt z 2 sqrt z 3 right 5pt y 3 amp amp sigma tfrac 1 2 left sqrt z 1 sqrt z 2 sqrt z 3 right 5pt y 4 amp amp sigma tfrac 1 2 left sqrt z 1 sqrt z 2 sqrt z 3 right end array nbsp wobei s 1 1 displaystyle sigma in 1 1 nbsp so zu wahlen ist dass s z 1 z 2 z 3 q displaystyle sigma sqrt z 1 sqrt z 2 sqrt z 3 q nbsp Durch die Rucksubstitution x i y i b 4 a i 1 2 3 4 displaystyle x i y i frac b 4a i 1 2 3 4 nbsp erhalt man die Losungen der ursprunglichen Gleichung vierten Grades Siehe auch BearbeitenLineare Gleichung Quadratische Gleichung Kubische Gleichung Losen von Gleichungen Vorzeichenregel von DescartesEinzelnachweise Bearbeiten a b Bronstein Semendjajev Taschenbuch der Mathematik 22 Auflage Verlag Harri Deutsch Thun 1985 ISBN 3 87144 492 8 Frei nach Ferrari Quelle Losungsformel von Joachim Mohr Implementierbar alsw sqrt a 2 4 u p a w 2q b u w a 2 c 2 w s a w 2t b u w a 2 c 2 w Quelle kilchb de In diesem Fall ist das Schaubild der Parabel vierten Grades y x 4 a x 3 b x 2 c x d displaystyle y x 4 ax 3 bx 2 cx d nbsp symmetrisch zu der Geraden mit der Gleichung x a 4 displaystyle x frac a 4 nbsp Die Losung erhalt man durch Substitution x u a 4 displaystyle x u frac a 4 nbsp uber die elementar losbare Gleichung u 4 b u 2 d 0 displaystyle u 4 bu 2 d 0 nbsp kilchb de Literatur BearbeitenJorg Bewersdorff Algebra fur Einsteiger Von der Gleichungsauflosung zur Galois Theorie 6 Auflage Wiesbaden 2019 ISBN 978 3 658 26151 1 DOI 10 1007 978 3 658 26152 8 Einfuhrung PDF 319 kB Johannes Beuriger Zur Auflosung der biquadratischen Gleichungen 1901 Digitalisat Heinrich Dorrie Kubische und biquadratische Gleichungen Munchen 1948 doi 10 1515 9783486775990 Ludwig Matthiessen Grundzuge der antiken und modernen Algebra der litteralen Gleichungen Leipzig 1896 doi 10 3931 e rara 78944 frei zuganglich Weblinks BearbeitenBiquadratischer Fall symmetrischer Fall allgemeiner Fall PDF 65 kB Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Quartische Gleichung amp oldid 225133990
