Kubische Gleichungen sind Polynomgleichungen dritten Grades also algebraische Gleichungen der FormGraph einer Funktion 3 Grades die Nullstellen y 0 sind dort wo der Graph die x Achse schneidet Dieser Graph hat drei reelle Nullstellen y A x 3 B x 2 C x D 0 displaystyle y A cdot x 3 B cdot x 2 C cdot x D 0 wobei die A B C D displaystyle A B C D als Koeffizienten bezeichnet werden Elemente eines Ringes R displaystyle R sind und A 0 displaystyle A neq 0 ist Bei den wichtigsten Anwendungen ist R R C displaystyle R in mathbb R mathbb C der Korper der reellen oder komplexen Zahlen Im letzteren Fall hat die kubische Gleichung nach dem Fundamentalsatz der Algebra stets drei komplexe Losungen x 1 x 2 x 3 displaystyle x 1 x 2 x 3 die auch zusammenfallen konnen Mit ihrer Hilfe lasst sich das Polynom in faktorisierter Form darstellen y A x x 1 x x 2 x x 3 displaystyle y A cdot x x 1 cdot x x 2 cdot x x 3 Im Falle reeller Koeffizienten stellt die Menge der Paare x y displaystyle x y geometrisch eine kubische Parabel in der x displaystyle x y displaystyle y Ebene dar also den Graph einer kubischen Funktion Dessen Nullstellen also seine Schnittpunkte mit der x displaystyle x Achse sind die reellen Losungen der kubischen Gleichung Der Funktionsgraph hat nach dem Zwischenwertsatz stets mindestens eine reelle Nullstelle jedoch hochstens drei Inhaltsverzeichnis 1 Losungsansatze 1 1 Raten einer Losung 1 1 1 Verfahren 1 1 2 Beispiel 1 2 Algebraische Bestimmung 1 2 1 Charakteristik 2 und 3 1 2 2 Reduktion der Gleichung auf eine Normalform 1 2 3 Analytische Bestimmung der reellen Losungen der reellen Gleichung 1 2 3 1 Der Fall p 0 1 2 3 2 Die Falle mit p 0 1 3 Losungsformel 1 4 Schnelle numerische Berechnung 2 Siehe auch 3 Weblinks 4 Quellen und Literatur 5 EinzelnachweiseLosungsansatze BearbeitenRaten einer Losung Bearbeiten Verfahren Bearbeiten Kennt man eine Losung x 1 displaystyle x 1 nbsp exakt so kann man das kubische Polynom mit Hilfe der Polynomdivision oder des Horner Schemas durch x x 1 displaystyle x x 1 nbsp dividieren und erhalt so eine quadratische Gleichung Diese kann man mit Hilfe einer Losungsformel losen und erhalt so die restlichen Losungen der kubischen Gleichung Dieses Verfahren ist aber nur fur eine rationale Losung x 1 displaystyle x 1 nbsp praktikabel Bereits bei der irreduziblen Gleichung x 3 6 x 6 0 displaystyle x 3 6x 6 0 nbsp ist das Verfahren mit der noch relativ einfachen Losung x 2 3 4 3 displaystyle x sqrt 3 2 sqrt 3 4 nbsp nicht mehr praktikabel da die Koeffizienten der verbleibenden quadratischen Gleichung sehr kompliziert werden In diesen Fallen lassen sich die Losungen mit der unten genannten Cardanischen Formel leichter bestimmen Sind alle Koeffizienten der kubischen Gleichung ganzzahlig so kann man versuchen eine rationale Losung zu raten das heisst durch Probieren zu finden Ist der fuhrende Koeffizient A displaystyle A nbsp vom Betrag gleich 1 so kann man die ganzzahligen Teiler des letzten Koeffizienten D displaystyle D nbsp durchprobieren auch negative Werte Ist A displaystyle A nbsp von eins verschieden so mussen alle Bruche deren Zahler ein Teiler von D displaystyle D nbsp und deren Nenner ein Teiler von A displaystyle A nbsp ist durchprobiert werden Der Satz uber rationale Nullstellen garantiert dass man mit diesem endlichen Aufwand eine rationale Nullstelle findet falls eine solche existiert Sind die Koeffizienten rational so kann man ganzzahlige Koeffizienten erreichen indem man die Gleichung mit dem Hauptnenner aller Koeffizienten multipliziert Beispiel Bearbeiten Als rationale Losungen der kubischen Gleichung 3 x 3 8 x 2 11 x 10 0 displaystyle 3x 3 8x 2 11x 10 0 nbsp kommen nur die ganzzahligen Teiler 1 2 5 10 displaystyle pm 1 pm 2 pm 5 pm 10 nbsp des letzten Koeffizienten sowie 1 3 2 3 5 3 10 3 displaystyle pm tfrac 1 3 pm tfrac 2 3 pm tfrac 5 3 pm tfrac 10 3 nbsp in Frage In der Tat ist x 1 2 3 displaystyle x 1 tfrac 2 3 nbsp eine Losung wovon man sich durch Einsetzen uberzeugt Polynomdivision liefert 3 x 3 8 x 2 11 x 10 x 2 3 3 x 2 6 x 15 displaystyle 3x 3 8x 2 11x 10 x tfrac 2 3 3x 2 6x 15 nbsp und mit der quadratischen Losungsformel ergeben sich als weitere Losungen x 2 3 1 6 displaystyle x 2 3 1 pm sqrt 6 nbsp Algebraische Bestimmung Bearbeiten Im Folgenden wird angenommen dass der Koeffizientenring R displaystyle R nbsp wenigstens ein Integritatsbereich ist zu dem ein Quotientenkorper gebildet werden kann In den besonders wichtigen Fallen ist R displaystyle R nbsp der angeordnete Korper R displaystyle mathbb R nbsp der reellen Zahlen mit der Ordnungsrelation lt displaystyle lt nbsp Charakteristik 2 und 3 Bearbeiten Hat der Koeffizientenring R displaystyle R nbsp die Charakteristik x 2 displaystyle chi 2 nbsp oder 3 displaystyle 3 nbsp dann lassen sich die nachfolgenden Formeln insbesondere die Cardanische wegen der Divisionen durch x displaystyle chi nbsp nicht anwenden im Fall x 3 displaystyle chi 3 nbsp lasst sich die Gleichung nicht einmal auf die reduzierte Form bringen Ein wichtiges Hilfsmittel zur Untersuchung der Nullstellen ist die formale Ableitung y displaystyle y nbsp die wenn sie nicht konstant ist eine einzige Wurzel hat denn sie ist im Fall x 3 displaystyle chi 3 nbsp linear und im Fall x 2 displaystyle chi 2 nbsp vom Grad 2 mit einer zweifachen Nullstelle Durch Bilden des grossten gemeinsamen Teilers ggT y y displaystyle operatorname ggT y y nbsp kann festgestellt werden ob y displaystyle y nbsp mehrfache Nullstellen hat Reduktion der Gleichung auf eine Normalform Bearbeiten Es gibt eine Reihe aquivalenter Umformungen der kubischen Gleichung durch Lineartransformation des Arguments die es erlauben diese fur das nachfolgende Losungsverfahren zu vereinfachen Tschirnhaus Transformation Durch Division durch A 0 displaystyle A neq 0 nbsp kann das Polynom zunachst normiert werden x 3 a x 2 b x c 0 mit a B A b C A und c D A displaystyle x 3 a cdot x 2 b cdot x c 0 quad text mit quad a frac B A b frac C A text und c frac D A nbsp Durch Lineartransformation des Arguments mit Hilfe der Substitution x a z b displaystyle x alpha cdot z beta nbsp ergibt sich folgender Term z 3 3 b a a z 2 3 b 2 2 a b b a 2 z b 3 a b 2 b b c a 3 0 displaystyle z 3 frac 3 beta a alpha cdot z 2 frac 3 beta 2 2a beta b alpha 2 cdot z frac beta 3 a beta 2 b beta c alpha 3 0 nbsp Ist die Charakteristik x displaystyle chi nbsp des Koeffizientenrings R displaystyle R nbsp von 3 verschieden dann lasst sich das quadratische Glied durch die Wahl von b a 3 displaystyle beta tfrac a 3 nbsp beseitigen und man erhalt die reduzierte Form der kubischen Gleichung z 3 p a 2 z q a 3 0 mit p b a 2 3 und q 2 a 3 27 a b 3 c displaystyle z 3 frac p alpha 2 cdot z frac q alpha 3 0 quad text mit quad p b frac a 2 3 quad text und quad q frac 2a 3 27 frac ab 3 c nbsp Die reduzierte Form mit a 1 displaystyle alpha 1 nbsp kann nun mit Hilfe der Cardanischen Formeln aufgelost und durch anschliessende Rucksubstitution konnen die Losungen der ursprunglichen Gleichung bestimmt werden Hierdurch ist die Gesamtheit der reellen und komplexen Losungen zuganglich Analytische Bestimmung der reellen Losungen der reellen Gleichung Bearbeiten Hauptartikel Cardanische Formeln Im Fall dass das ursprungliche Polynom nur reelle Koeffizienten hat kann mithilfe der Diskriminante D displaystyle Delta nbsp uberpruft werden ob ausschliesslich reelle Losungen vorliegen D q 2 2 p 3 3 displaystyle Delta left frac q 2 right 2 left frac p 3 right 3 nbsp Ist D 0 displaystyle Delta leq 0 nbsp so sind alle Losungen reell Andernfalls gibt es genau eine reelle Losung die andern beiden sind komplex nicht reell und konjugiert zueinander Der Fall p 0 Bearbeiten Fall 1 p 0 displaystyle p 0 nbsp Hier wahlt man a 1 3 a 3 27 c 3 displaystyle alpha tfrac 1 3 sqrt 3 a 3 27c nbsp und erhalt z 3 1 displaystyle z 3 1 nbsp Nach Rucksubstitution ergibt sich eine einzige reelle Losung zu x 1 3 a 3 27 c 3 a displaystyle x tfrac 1 3 left sqrt 3 a 3 27c a right nbsp Unterfall 1a p 0 displaystyle p 0 nbsp und q 0 displaystyle q 0 nbsp Die einzige reelle Losung z 0 displaystyle z 0 nbsp und x a 3 displaystyle x tfrac a 3 nbsp hat die Vielfachheit 3 Die Falle mit p 0 Bearbeiten Eine Losungsstrategie fur die verbleibenden Losungen die ohne die Verwendung komplexer Zahlen auskommt ist die folgende Die reduzierte Form wird durch Substitution mit Hilfe einer geeigneten trigonometrischen oder hyperbolischen Funktion so umgeformt dass sie auf bekannte Additionstheoreme zuruckgefuhrt werden kann Geeignete Funktionen sind Funktion f displaystyle f nbsp Wertebereich Additionstheorem s displaystyle sigma nbsp kubische Gleichung Fallcos displaystyle cos nbsp f h 1 displaystyle f eta leq 1 nbsp cos 3 h 4 cos 3 h 3 cos h displaystyle cos 3 eta 4 cos 3 eta 3 cos eta nbsp 1 displaystyle 1 nbsp f h 3 3 4 s f h 1 4 f 3 h displaystyle f eta 3 tfrac 3 4 sigma f eta tfrac 1 4 f 3 eta nbsp 2cosh displaystyle cosh nbsp f h 1 displaystyle f eta geq 1 nbsp cosh 3 h 4 cosh 3 h 3 cosh h displaystyle cosh 3 eta 4 cosh 3 eta 3 cosh eta nbsp 1 displaystyle 1 nbsp f h 3 3 4 s f h 1 4 f 3 h displaystyle f eta 3 tfrac 3 4 sigma f eta tfrac 1 4 f 3 eta nbsp 3 cosh displaystyle cosh nbsp f h 1 displaystyle f eta leq 1 nbsp cosh 3 h 4 cosh 3 h 3 cosh h displaystyle cosh 3 eta 4 cosh 3 eta 3 cosh eta nbsp 1 displaystyle 1 nbsp f h 3 3 4 s f h 1 4 f 3 h displaystyle f eta 3 tfrac 3 4 sigma f eta tfrac 1 4 f 3 eta nbsp 3sinh displaystyle sinh nbsp beliebig reell sinh 3 h 4 sinh 3 h 3 sinh h displaystyle sinh 3 eta 4 sinh 3 eta 3 sinh eta nbsp 1 displaystyle 1 nbsp f h 3 3 4 s f h 1 4 f 3 h displaystyle f eta 3 tfrac 3 4 sigma f eta tfrac 1 4 f 3 eta nbsp 4Die aufgefuhrten Additionstheoreme sind so parametrisiert dass sie sich in dieselbe kubische Gleichung uberfuhren lassen die sich mit der reduzierten Form der gegebenen Gleichung f h 3 p a 2 f h q a 3 0 displaystyle f eta 3 frac p alpha 2 cdot f eta frac q alpha 3 0 nbsp zur Deckung bringen lasst Mithilfe der Setzung s sgn p displaystyle sigma operatorname sgn p nbsp erhalt man durch Koeffizientenvergleich sofort 3 4 s p a 2 a 2 p 3 displaystyle frac 3 4 sigma frac p alpha 2 Longleftrightarrow alpha 2 sqrt frac p 3 nbsp und 1 4 f 3 h q a 3 q 3 s 4 p 1 2 3 p q 8 27 p 3 displaystyle frac 1 4 f 3 eta frac q alpha 3 q frac 3 sigma 4p frac 1 2 sqrt frac 3 p frac q 8 sqrt frac 27 p 3 nbsp Somit lasst sich h displaystyle eta nbsp durch die ursprunglichen Koeffizienten p displaystyle p nbsp und q displaystyle q nbsp ausdrucken f 3 h G h 1 3 f 1 G displaystyle f 3 eta Gamma Longleftrightarrow eta frac 1 3 f langle 1 rangle left Gamma right nbsp wobei G q 2 27 p 3 sgn q 27 D p 3 1 displaystyle Gamma tfrac q 2 sqrt tfrac 27 p 3 operatorname sgn q sqrt left tfrac 27 Delta p 3 1 right nbsp gesetzt ist und f 1 displaystyle f langle 1 rangle nbsp eine zugehorige Arkus oder Areafunktion bezeichnet Durch Rucksubstitution kann dann die endgultige Losung der kubischen Gleichung ermittelt werden Aus a 2 p 3 2 3 a 2 3 b displaystyle alpha 2 sqrt tfrac p 3 tfrac 2 3 sqrt a 2 3b nbsp b a 3 displaystyle beta tfrac a 3 nbsp und z f h displaystyle z f eta nbsp erhalt man somit x a z b 1 3 2 a 2 3 b f h a displaystyle x alpha z beta tfrac 1 3 left 2 sqrt a 2 3b cdot f eta a right nbsp Als erstes bestimmt das Vorzeichen von p displaystyle p nbsp die Wahl der Substitutionsfunktion f displaystyle f nbsp in zweiter Linie G displaystyle Gamma nbsp das im reellen Wertebereich von f displaystyle f nbsp liegen muss Fall 2 D 0 displaystyle Delta leq 0 nbsp woraus p lt 0 displaystyle p lt 0 nbsp und G 1 displaystyle left Gamma right leq 1 nbsp folgt Substitution mit z cos h displaystyle z cos eta nbsp entspricht cos 3 h G displaystyle cos 3 eta Gamma nbsp Es ergeben sich drei mogliche Losungen zu x k 1 3 2 a 2 3 b cos h k a displaystyle x k tfrac 1 3 left 2 sqrt a 2 3b cdot cos eta k a right nbsp mit h k 1 3 arccos G 2 k p displaystyle eta k tfrac 1 3 left arccos left Gamma right 2k pi right nbsp und k 0 1 2 displaystyle k in 0 1 2 nbsp Unterfall 2a D 0 displaystyle Delta 0 nbsp woraus G 1 displaystyle left Gamma right 1 nbsp folgt Es gibt nur zwei Losungen Die reduzierte Form vereinfacht sich zu 0 z 3 3 4 z 1 4 z 1 z 1 2 2 displaystyle 0 z 3 tfrac 3 4 z mp tfrac 1 4 z mp 1 left z pm tfrac 1 2 right 2 nbsp Aus den Linearfaktoren lassen sich nun direkt die zwei Losungen z 1 1 displaystyle z 1 pm 1 nbsp und z 2 1 2 displaystyle z 2 mp tfrac 1 2 nbsp ablesen Zum selben Ergebnis fuhrt 3 h arccos 1 0 p displaystyle 3 eta pm operatorname arccos pm 1 in 0 pi nbsp also h 0 2 p 3 displaystyle eta in left 0 pm tfrac 2 pi 3 right nbsp bzw h p p 3 displaystyle eta in left pi pm tfrac pi 3 right nbsp Entsprechend ist x 1 1 3 2 a 2 3 b a displaystyle x 1 tfrac 1 3 left 2 sqrt a 2 3b a right nbsp und x 2 1 3 a 2 3 b a displaystyle x 2 tfrac 1 3 left sqrt a 2 3b a right nbsp Die letztere Losung hat die Vielfachheit 2 Fall 3 D gt 0 displaystyle Delta gt 0 nbsp und p lt 0 displaystyle p lt 0 nbsp woraus G gt 1 displaystyle Gamma gt 1 nbsp und q 0 displaystyle q neq 0 nbsp folgt Substitution mit z sgn q cosh h displaystyle z left operatorname sgn q cosh right eta nbsp entspricht sgn q cosh 3 h G q 2 27 p 3 displaystyle left operatorname sgn q cosh right 3 eta Gamma tfrac q 2 sqrt tfrac 27 p 3 nbsp also cosh 3 h G displaystyle cosh 3 eta Gamma nbsp Zunachst hat man zwei Losungen 3 h arcosh G displaystyle 3 eta pm operatorname arcosh left Gamma right nbsp die wegen cosh h cosh h displaystyle cosh pm eta cosh eta nbsp wieder in eins geworfen werden Also x 1 3 2 a 2 3 b sgn q cosh h a displaystyle x tfrac 1 3 left 2 sqrt a 2 3b cdot operatorname sgn q cosh eta a right nbsp mit h 1 3 arcosh G displaystyle eta tfrac 1 3 operatorname arcosh left left Gamma right right nbsp Grenzfall 3a D 0 displaystyle Delta 0 nbsp und p lt 0 displaystyle p lt 0 nbsp woraus G 1 displaystyle Gamma pm 1 nbsp folgt 3 h arcosh 1 0 displaystyle 3 eta pm operatorname arcosh 1 0 nbsp also h 0 displaystyle eta 0 nbsp und x 1 1 3 2 a 2 3 b a displaystyle x 1 tfrac 1 3 left 2 sqrt a 2 3b a right nbsp Bemerkung Die zwei anderen rein imaginaren Losungen 3 h 2 p i displaystyle 3 eta pm 2 pi mathrm i nbsp von cosh 3 h 1 displaystyle cosh 3 eta 1 nbsp werden durch die Anwendung von cosh displaystyle cosh nbsp ins Reelle zuruckgeworfen cosh h cosh 2 p i 3 1 2 displaystyle cosh eta cosh left pm tfrac 2 pi mathrm i 3 right tfrac 1 2 nbsp Das Ergebnis ist wie im Unterfall 2a z 1 sgn q cosh 0 sgn q displaystyle z 1 operatorname sgn q cosh 0 operatorname sgn q nbsp und z 2 sgn q cosh 2 p i 3 sgn q 2 displaystyle z 2 operatorname sgn q cosh left pm tfrac 2 pi mathrm i 3 right tfrac operatorname sgn q 2 nbsp Fall 4 D gt 0 displaystyle Delta gt 0 nbsp und p gt 0 displaystyle p gt 0 nbsp Substitution mit z sinh h displaystyle z sinh eta nbsp entspricht sinh 3 h G displaystyle sinh 3 eta Gamma nbsp Als Ergebnis folgt x 1 3 2 3 b a 2 sinh h a displaystyle x frac 1 3 left 2 sqrt 3b a 2 cdot sinh eta a right nbsp mit h 1 3 arsinh G displaystyle eta frac 1 3 operatorname arsinh Gamma nbsp Es ergibt sich eine reelle Losung Losungsformel Bearbeiten Eine Losungsformel uber die Zerlegung x 3 a 2 x 2 a 1 x a 0 x x 1 x 2 p x q displaystyle x 3 a 2 x 2 a 1 x a 0 x x 1 x 2 px q nbsp ist Nach den Setzungen a 12 a 1 3 3 a 1 2 a 2 2 54 a 1 a 2 a 0 81 a 0 2 12 a 0 a 2 3 displaystyle a 12a 1 3 3a 1 2 a 2 2 54a 1 a 2 a 0 81a 0 2 12a 0 a 2 3 nbsp und b 36 a 1 a 2 108 a 0 8 a 2 3 12 a 3 displaystyle b sqrt 3 36a 1 a 2 108a 0 8a 2 3 12 sqrt a nbsp ist x 1 b 2 12 a 1 4 a 2 2 2 a 2 b 6 b displaystyle x 1 frac b 2 12a 1 4a 2 2 2a 2 b 6b nbsp p 1 6 b 2 12 a 1 4 a 2 2 4 a 2 b b displaystyle p frac 1 6 frac b 2 12a 1 4a 2 2 4a 2 b b nbsp q 1 3 a 1 a 2 b 9 b a 0 b a b 2 a 1 2 a 1 a 2 2 18 a 2 a 0 2 a 2 a 12 a 1 2 b 2 displaystyle q frac 1 3 frac a 1 a 2 b 9ba 0 b sqrt a b 2 a 1 2a 1 a 2 2 18a 2 a 0 2a 2 sqrt a 12a 1 2 b 2 nbsp x 2 displaystyle x 2 nbsp und x 3 displaystyle x 3 nbsp berechnet sich dann nach der Formel x 2 p 2 i p 2 2 q displaystyle x 2 frac p 2 mathrm i sqrt Bigl frac p 2 Bigr 2 q nbsp x 3 p 2 i p 2 2 q displaystyle x 3 frac p 2 mathrm i sqrt Bigl frac p 2 Bigr 2 q nbsp Fur a r cos f i sin f displaystyle a r cos varphi mathrm i sin varphi nbsp ist zu wahlen a r cos f 2 i sin f 2 displaystyle sqrt a sqrt r cos frac varphi 2 mathrm i sin frac varphi 2 nbsp und a 3 r 3 cos f 3 i sin f 3 displaystyle sqrt 3 a sqrt 3 r cos frac varphi 3 mathrm i sin frac varphi 3 nbsp r r r 3 displaystyle r sqrt r sqrt 3 r nbsp positiv Beispiel 1 Fur x 3 x 2 x 2 0 displaystyle x 3 x 2 x 2 0 nbsp ergibt sich a 441 displaystyle a 441 nbsp b 8 displaystyle b 8 nbsp p 1 displaystyle p 1 nbsp q 1 displaystyle q 1 nbsp x 1 2 displaystyle x 1 2 nbsp x 2 1 2 1 2 i 3 displaystyle x 2 frac 1 2 frac 1 2 mathrm i sqrt 3 nbsp x 3 1 2 1 2 i 3 displaystyle x 3 frac 1 2 frac 1 2 mathrm i sqrt 3 nbsp Beispiel 2 Fur x 3 3 x 2 3 x 1 0 displaystyle x 3 3x 2 3x 1 0 nbsp ergibt sich a 324 displaystyle a 324 nbsp b 6 4 3 displaystyle b 6 sqrt 3 4 nbsp p 4 3 2 3 2 displaystyle p sqrt 3 4 sqrt 3 2 2 nbsp q 2 3 1 displaystyle q sqrt 3 2 1 nbsp x 1 4 3 2 3 1 displaystyle x 1 sqrt 3 4 sqrt 3 2 1 nbsp x 2 1 2 4 3 1 2 2 3 1 1 2 i 6 2 3 12 3 4 3 displaystyle x 2 frac 1 2 sqrt 3 4 frac 1 2 sqrt 3 2 1 frac 1 2 mathrm i sqrt 6 sqrt 3 2 12 3 sqrt 3 4 nbsp x 2 1 2 4 3 1 2 2 3 1 1 2 i 6 2 3 12 3 4 3 displaystyle x 2 frac 1 2 sqrt 3 4 frac 1 2 sqrt 3 2 1 frac 1 2 mathrm i sqrt 6 sqrt 3 2 12 3 sqrt 3 4 nbsp Beispiel 3 Fur x 3 x 2 2 x 2 0 displaystyle x 3 x 2 2x 2 0 nbsp ergibt sich a 24 displaystyle a 24 nbsp b 1 3 2 6 3 i displaystyle b 1 3 sqrt 2 sqrt 6 sqrt 3 mathrm i nbsp p 1 2 displaystyle p 1 sqrt 2 nbsp q 2 displaystyle q sqrt 2 nbsp x 1 2 displaystyle x 1 sqrt 2 nbsp x 2 2 displaystyle x 2 sqrt 2 nbsp x 3 1 displaystyle x 3 1 nbsp Beispiel 4 Fur x 3 4 x 2 2 x 4 0 displaystyle x 3 4x 2 2x 4 0 nbsp ergibt sich a 144 displaystyle a 144 nbsp b 1 3 3 3 3 i displaystyle b 1 3 sqrt 3 3 sqrt 3 mathrm i nbsp p 3 3 displaystyle p 3 sqrt 3 nbsp q 2 2 3 displaystyle q 2 2 sqrt 3 nbsp x 1 1 3 displaystyle x 1 1 sqrt 3 nbsp x 2 1 3 displaystyle x 2 1 sqrt 3 nbsp x 3 2 displaystyle x 3 2 nbsp Schnelle numerische Berechnung Bearbeiten Die Methode von Deiters und Macias Salinas 1 bringt die kubische Funktion zunachst einmal in die Form f x x 3 a 2 x 2 a 1 x a 0 displaystyle f x x 3 a 2 x 2 a 1 x a 0 nbsp und verwendet dann die Laguerre Samuelson Ungleichung 2 um Schranken fur die Losungen zu finden x u o x i n f l 2 3 d displaystyle x mathrm u o x mathrm infl pm frac 2 3 sqrt d nbsp Hierbei ist d a 2 2 3 a 1 displaystyle d a 2 2 3a 1 nbsp und x i n f l a 2 3 displaystyle x mathrm infl a 2 3 nbsp ist der Abszissenwert des Wendepunkts Dann sind folgende Falle zu unterscheiden f x i n f l 0 displaystyle f x mathrm infl 0 nbsp Dann ist die Wendestelle die erste Losung x 1 x i n f l displaystyle x 1 x mathrm infl nbsp d 0 displaystyle d 0 nbsp Dann ist x 1 x i n f l f x i n f l 3 displaystyle x 1 x mathrm infl sqrt 3 f x mathrm infl nbsp eine Losung Andernfalls wird iterativ eine Naherungslosung x 1 displaystyle x 1 nbsp bestimmt Dies geschieht ausgehend vom Startwertx 1 i n i t x u wenn d gt 0 f x i n f l gt 0 x i n f l wenn d lt 0 x o wenn d gt 0 f x i n f l lt 0 displaystyle x 1 mathrm init begin cases x mathrm u amp text wenn d gt 0 land f x mathrm infl gt 0 x mathrm infl amp text wenn d lt 0 x mathrm o amp text wenn d gt 0 land f x mathrm infl lt 0 end cases nbsp dd mit dem Halley Verfahren x 1 x 1 f x 1 f x 1 f x 1 2 1 2 f x 1 f x 1 displaystyle x 1 leftarrow x 1 frac f x 1 f prime x 1 f prime x 1 2 frac 1 2 f x 1 f prime prime x 1 nbsp dd dd Anschliessend wird durch Polynomdivision die quadratische Funktion g x f x e x x 1 displaystyle g x bigl f x e bigr x x 1 nbsp mit kleinem e f x 1 displaystyle e f x 1 nbsp dessen Betrag von der erzielten Genauigkeit abhangt gebildet deren Nullstellen im Fall e 0 displaystyle e 0 nbsp direkt ausgerechnet werden konnen g x x 2 b 1 x b 0 displaystyle g x x 2 b 1 x b 0 nbsp mit b 1 x 1 a 2 displaystyle b 1 x 1 a 2 nbsp und b 0 b 1 x 1 a 1 displaystyle b 0 b 1 x 1 a 1 nbsp Bei sorgfaltiger Implementierung siehe revidierte Zusatzinformationen zur Originalpublikation 3 ist dieses Verfahren auf modernen Prozessoren 2014 Architektur x86 64 um den Faktor 1 2 bis 10 schneller als die auf vergleichbare Genauigkeit ausgewerteten Cardanischen Formeln Siehe auch BearbeitenLineare Gleichung Quartische Gleichung Omar Chajjam Cardanische FormelnWeblinks Bearbeiten nbsp Commons Cubic functions Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien Online Tool zum Berechnen von Polynomen n ter Ordnung Kubische Gleichung JavaScript Archivlink abgerufen am 28 Februar 2022 Berechnungen mit Beispielen von Joachim MohrQuellen und Literatur BearbeitenPeter Gabriel Matrizen Geometrie Lineare Algebra Birkhauser Basel 1996 ISBN 3 7643 5376 7 Einzelnachweise Bearbeiten U K Deiters R Macias Salinas Calculation of densities from cubic equations of state revisited In Ind Eng Chem Res Band 53 2014 S 2529 2536 doi 10 1021 ie4038664 Paul Samuelson How Deviant Can You Be In Journal of the American Statistical Association 63 Jahrgang Nr 324 1968 S 1522 1525 doi 10 2307 2285901 S a Samuelson s inequality in der englischen Wikipedia zugegriffen am 2016 06 10 Cubic rootfinder using Halley s method C C program code Abgerufen am 5 Juni 2023 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kubische Gleichung amp oldid 237438064
