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Koeffizientenvergleich Der ist ein Verfahren aus der linearen Algebra bei dem die Koeffizienten von zwei Linearkombinati

Koeffizientenvergleich

Der Koeffizientenvergleich ist ein Verfahren aus der linearen Algebra, bei dem die Koeffizienten von zwei Linearkombinationen einer linear unabhängigen Teilmenge eines Vektorraums verglichen werden. Häufig verwendet wird ein Polynomraum als Vektorraum mit Monomen als linear unabhängige Teilmenge, zum Beispiel bei der Partialbruchzerlegung. Man verwendet dabei die Tatsache, dass zwei Linearkombinationen derselben linear unabhängigen Teilmenge genau dann gleich sind, wenn die entsprechenden Koeffizienten gleich sind.

Polynome Bearbeiten

Zwei Polynome

und

sind genau dann gleich, wenn ihre Koeffizienten übereinstimmen:

Beispiel Bearbeiten

Es sind die beiden Polynome und gegeben. Für welche Werte von und sind die beiden Polynome gleich?

Gelten muss:

Also wird verglichen:

  1. (Vergleich der Koeffizienten von )
  2. (Vergleich der Koeffizienten von )

Lösung: und

Trigonometrische Polynome Bearbeiten


Verglichen werden:

  1. (Vergleich der Koeffizienten von )
  2. (Vergleich der Koeffizienten von )

Lösung: ;

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. Band 3 (Inp-Mon). Springer Spektrum Verlag, Mannheim 2017, ISBN 978-3-662-53501-1, S. 131, doi:10.1007/978-3-662-53502-8.
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Der Koeffizientenvergleich ist ein Verfahren aus der linearen Algebra bei dem die Koeffizienten von zwei Linearkombinationen einer linear unabhangigen Teilmenge eines Vektorraums verglichen werden Haufig verwendet wird ein Polynomraum als Vektorraum mit Monomen als linear unabhangige Teilmenge zum Beispiel bei der Partialbruchzerlegung Man verwendet dabei die Tatsache dass zwei Linearkombinationen derselben linear unabhangigen Teilmenge genau dann gleich sind wenn die entsprechenden Koeffizienten gleich sind Inhaltsverzeichnis 1 Polynome 1 1 Beispiel 2 Trigonometrische Polynome 3 Siehe auch 4 LiteraturPolynome BearbeitenZwei Polynome P x a 0 a 1 x a 2 x 2 a n x n displaystyle P x a 0 a 1 cdot x a 2 cdot x 2 dotsb a n cdot x n nbsp und Q x b 0 b 1 x b 2 x 2 b n x n displaystyle Q x b 0 b 1 cdot x b 2 cdot x 2 dotsb b n cdot x n nbsp sind genau dann gleich wenn ihre Koeffizienten ubereinstimmen a 0 b 0 a 1 b 1 a n b n displaystyle a 0 b 0 a 1 b 1 dotsc a n b n nbsp Beispiel Bearbeiten Es sind die beiden Polynome P x a x 2 a b displaystyle P x a cdot x 2a b nbsp und Q x 2 x 1 displaystyle Q x 2x 1 nbsp gegeben Fur welche Werte von a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp sind die beiden Polynome gleich Gelten muss P x Q x displaystyle P x Q x nbsp a x 2 a b 2 x 1 displaystyle ax 2a b 2x 1 nbsp Also wird verglichen a x 2 x displaystyle ax 2x nbsp Vergleich der Koeffizienten von x 1 displaystyle x 1 nbsp 2 a b 1 displaystyle 2a b 1 nbsp Vergleich der Koeffizienten von x 0 displaystyle x 0 nbsp Losung a 2 displaystyle a 2 nbsp und b 3 displaystyle b 3 nbsp Trigonometrische Polynome Bearbeiten a 8 b sin 2 x b 8 a cos 2 x 130 sin 2 x displaystyle a 8b cdot sin 2x b 8a cdot cos 2x 130 cdot sin 2x nbsp Verglichen werden a 8 b 130 displaystyle a 8b 130 nbsp Vergleich der Koeffizienten von sin 2 x displaystyle sin 2x nbsp b 8 a 0 displaystyle b 8a 0 nbsp Vergleich der Koeffizienten von cos 2 x displaystyle cos 2x nbsp Losung a 2 displaystyle a 2 nbsp b 16 displaystyle b 16 nbsp Siehe auch BearbeitenIdentitatssatz fur PotenzreihenLiteratur BearbeitenGuido Walz Hrsg Lexikon der Mathematik Band 3 Inp Mon Springer Spektrum Verlag Mannheim 2017 ISBN 978 3 662 53501 1 S 131 doi 10 1007 978 3 662 53502 8 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Koeffizientenvergleich amp oldid 196618615