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Partialbruchzerlegung Die oder Partialbruchentwicklung ist eine standardisierte Darstellung rationaler Funktionen Sie wi

Partialbruchzerlegung

Die Partialbruchzerlegung oder Partialbruchentwicklung ist eine standardisierte Darstellung rationaler Funktionen. Sie wird in der Mathematik verwendet, um das Rechnen mit solchen Funktionen zu erleichtern. Insbesondere kommt sie bei der Integration der rationalen Funktionen zur Anwendung.

Hier liegt die Tatsache zugrunde, dass jede rationale Funktion als Summe einer Polynomfunktion und Brüchen der Form

dargestellt werden kann. Die sind dabei die Polstellen der Funktion.

Sind die Polstellen bereits bekannt, so ist die Bestimmung der Zähler die eigentliche Aufgabe der Partialbruchzerlegung.

Bei reellwertigen Funktionen müssen die Polstellen und infolgedessen auch die Zahlen nicht unbedingt reell sein, denn die reellen Zahlen sind nicht algebraisch abgeschlossen. Man kann das Rechnen mit komplexen Zahlen aber vermeiden, weil mit jeder komplexen Nullstelle auch die konjugiert komplexe Zahl Nullstelle ist.

Statt und verwendet man dann einen Term , wobei ein reelles quadratisches Polynom ist und auch und reell sind.

Geschichte Bearbeiten

Die Partialbruchzerlegung wurde ab 1702 in Arbeiten zur Infinitesimalrechnung von Gottfried Wilhelm Leibniz und Johann I Bernoulli entwickelt. Beide Gelehrten nutzen diese Methode zur Integration von gebrochenrationalen Funktionen. Da zu dieser Zeit der Fundamentalsatz der Algebra noch nicht bewiesen war – er wurde damals aber schon vermutet –, behauptete Leibniz, dass es für das Nennerpolynom keine Partialbruchzerlegung gebe. Johann Bernoulli schloss sich dieser Meinung nicht an. Dieses Beispiel wurde in den Folgejahren von verschiedenen Mathematikern diskutiert und um 1720 erschienen mehrere Arbeiten, die das Beispiel als fehlerhaft nachwiesen und das (unbestimmte) Integral

korrekt berechneten.

Verfahren Bearbeiten

Die Partialbruchzerlegung einer reellen rationalen Funktion wird in mehreren Schritten bestimmt:

  1. Man vergleicht den Grad des Zählers mit dem des Nenners von :
    • Ist der Zählergrad größer oder gleich dem Nennergrad, so dividiert man den Zähler durch den Nenner. Man erhält daraus das Polynom und möglicherweise eine rationale Restfunktion , sodass gilt: .
      • Ist , ist das Verfahren abgeschlossen.
      • Andernfalls hat der Zähler von einen kleineren Grad als der Nenner . Man arbeitet dann nur mehr mit der Restfunktion weiter.
    • Ist der Zählergrad kleiner als der Nennergrad, so kann man die Funktion direkt betrachten. Um im Folgenden eine einheitliche Bezeichnungsweise zu ermöglichen, setzen wir in diesem Fall .
  2. Anschließend betrachtet man die Nullstellen von . Abhängig von der Art der Nullstellen wird ein geeigneter Ansatz verwendet.
  3. Die Konstanten , und erhält man dann zum Beispiel durch Koeffizientenvergleich nach Multiplikation der Zerlegung mit dem Nennerpolynom.

Die beiden letzten Schritte sollen nun im Detail erläutert werden.

Ansatz Bearbeiten

Vorausgesetzt wird hier, dass in der Form gegeben ist, wobei der Grad von kleiner als der Grad des Nennerpolynoms ist und sämtliche Nullstellen von bekannt sind. Sind, wie oben angenommen, die verschiedenen Nullstellen und ihr jeweiliger Grad bekannt, so kann das Nennerpolynom auf folgende Form gebracht werden:

Zu beachten ist, dass einige der nicht-reell sein können.

Der Ansatz ist nun folgendermaßen aufgebaut:

  • Für jede einfache reelle Nullstelle enthält der Ansatz einen Summanden .
  • Für jede -fache reelle Nullstelle enthält der Ansatz Summanden .

Da reell ist, gehört zu jeder nicht-reellen Nullstelle notwendigerweise auch die konjugiert komplexe Nullstelle . Sei das quadratische Polynom mit den Nullstellen und , also .

  • Für jede einfache nicht-reelle Nullstelle enthält der Ansatz nun einen Summanden .
  • Entsprechend enthält der Ansatz für jede -fache nicht-reelle Nullstelle (und die zugehörige, ebenfalls -fache, konjugiert komplexe Nullstelle ) die Terme .

Jeder Ansatz enthält somit genau unbekannte Koeffizienten .

Bestimmung der Konstanten Bearbeiten

Um die Konstanten , und zu ermitteln, wird mit dem Ansatz gleichgesetzt und diese Gleichung mit dem Nennerpolynom multipliziert.

Auf der einen Seite der Gleichung steht dann nur noch das Zählerpolynom , auf der anderen ein Ausdruck mit allen Unbekannten, der ebenfalls ein Polynom in ist und entsprechend nach den Potenzen von geordnet werden kann. Ein Koeffizientenvergleich der linken mit der rechten Seite ergibt dann ein lineares Gleichungssystem, aus dem sich die unbekannten Konstanten berechnen lassen. Alternativ kann man bis zu beliebige verschiedene Werte für in diese Gleichung einsetzen, was wie der Koeffizientenvergleich zu einem aus Gleichungen bestehenden linearen Gleichungssystem führt. Sinnvoll ist das Einsetzen der zuvor berechneten (reellen) Nullstellen, was sofort jeweils einen Koeffizientenwert liefert.

Diese beiden Möglichkeiten können auch kombiniert werden.

Beispiele Bearbeiten

Einfache Polstellen Bearbeiten

Gegeben sei die rationale Funktion

Es gibt zwei einfache Polstellen und . Der Ansatz lautet also

wobei und unbekannte, noch zu ermittelnde Konstanten sind. Multipliziert man beide Seiten der Gleichung mit , erhält man

Sortiert man die rechte Seite nach Gliedern mit und Gliedern ohne , so ergibt sich

Koeffizientenvergleich: Der Koeffizient von ist Eins: und das absolute Glied Null: . Hieraus lässt sich berechnen: Die gesuchte Partialbruchzerlegung ist also

Doppelte Polstellen Bearbeiten

Gegeben sei die rationale Funktion

Mittels Polynomdivision und Faktorenzerlegung des Nenners folgt

Die einzige, allerdings doppelte Nullstelle des Nenners ist . Ansatz:

Koeffizientenvergleich:

Lösung:

also erhalten wir die Partialbruchzerlegung

Komplexe Polstellen Bearbeiten

Gegeben sei die rationale Funktion

Der Nenner hat hier die reelle Nullstelle , die komplexe Nullstelle und deren konjugiert komplexe . Das quadratische Polynom mit den Nullstellen und ist

Ansatz:

Koeffizientenvergleich:

Lösung:

Partialbruchzerlegung:

Kubische und quartische Nenner Bearbeiten

Kubische Nenner:

Für Brüche mit kubischem Nenner gilt unter der Bedingung a²e + b²c − abd ≠ 0 folgende Partialbruchzerlegung:

Beispielsweise kann dieser Bruch mit der genannten Formel zerlegt werden:

Hiermit kann ein kubisches Analogon zur Leibniz-Reihe ermittelt werden:

Quartische Nenner:

Die Partialbruchzerlegung von Brüchen mit quartischem Nenner kann mit einer Matrix ermittelt werden:

Für diese Form muss folgendes Produkt von reziproker Matrix und Vektor ermittelt werden:

Beispielsweise soll folgender Bruch zerlegt werden:

Hierfür muss nach diesem Verfahren folgende Rechnung durchgeführt werden:

Daraus folgt:

Der Hauptsatz der Partialbruchzerlegung Bearbeiten

Reellwertige Funktionen Bearbeiten

Jede rationale Funktion mit den verschiedenen reellen Polstellen der Ordnung und den bis auf Konjugation verschiedenen komplexen Polstellen der Ordnung hat eine eindeutig bestimmte Darstellung

mit einer Polynomfunktion und reellen Konstanten , und . Diese wird die Partialbruchzerlegung (abgekürzt PBZ) von genannt.

Die Brüche heißen Partial- oder Teilbrüche 1. Art, die Brüche Partial- oder Teilbrüche 2. Art.

Komplexwertige Funktionen Bearbeiten

Jede rationale Funktion mit den verschiedenen Polstellen der Ordnung hat eine eindeutig bestimmte Darstellung

mit einer Polynomfunktion und komplexen Konstanten .

Dieser Satz lässt sich für Polynome über jedem anderen algebraisch abgeschlossenen Schiefkörper verallgemeinern.

Anwendungen Bearbeiten

Die Partialbruchzerlegung wird unter anderem zum Integrieren rationaler Funktionen benutzt. Da die Integrale sämtlicher Partialbrüche bekannt sind, ist die Integration immer möglich, wenn sich die Polstellen der betrachteten Funktion angeben lassen.

Des Weiteren wird die Partialbruchzerlegung bei der Laplace- und der z-Transformation verwendet. Die Transformierten der einzelnen Partialbrüche können in Tabellen nachgeschlagen werden. Somit erspart man sich eine analytische Berechnung, wenn der zu transformierende Term in entsprechende Summanden zerlegt werden kann.

Integration der Partialbrüche Bearbeiten

Beim Auffinden der Stammfunktionen von Partialbrüchen lassen sich sechs Fälle unterscheiden, je nachdem, ob der Zählergrad 0 oder 1 ist, ob die Polstellen, also die Nullstellen des Nenners, reell oder nicht reell sind und ob sie einfach oder mehrfach sind.

Partialbrüche mit reellen Polstellen Bearbeiten

Bei Partialbrüchen mit reellen Polstellen gibt es zwei Fälle, da der Zähler nur den Grad 0 haben kann.

Damit ergibt sich bei reellen und einfachen Polstellen

und bei reellen und mehrfachen Polstellen ()

Partialbrüche mit komplexen Polstellen Bearbeiten

Bei Partialbrüchen mit komplexen Polstellen gibt es vier Fälle, da der Zählergrad sowohl 0 als auch 1 sein kann.

Damit ergibt sich bei komplexen und einfachen Polstellen und Zählergrad 0

Der Fall mit komplexen und einfachen Polstellen und Zählergrad 1 lässt sich auf (3) zurückführen:

Für die beiden Fälle mit mehrfachen Polstellen lassen sich nicht direkt Stammfunktionen bestimmen, es lassen sich jedoch Rekursionsvorschriften finden. Damit ergibt sich für den Fall mit komplexen und mehrfachen Polstellen () und Zählergrad 0

Der Fall mit komplexen und mehrfachen Polstellen und Zählergrad 1 lässt sich auf (5) zurückführen ()

Laurent-Reihen-Entwicklung Bearbeiten

Ist für jede Polstelle eine Laurent-Reihen-Entwicklung der Funktion bekannt, so erhält man die Partialbruchzerlegung sehr einfach als Summe der Hauptteile dieser Laurent-Reihen. Dieser Weg steht im Zusammenhang mit dem Residuenkalkül.

Verallgemeinerung auf rationale Funktionenkörper Bearbeiten

Die Partialbruchzerlegung lässt sich für einen Körper auf den rationalen Funktionenkörper verallgemeinern. Bezeichnet man die normierten irreduziblen Polynome im Polynomring mit , so sind die rationalen Funktionen der Form mit linear unabhängig und bilden mit den Monomen eine -Basis des -Vektorraums .

Literatur Bearbeiten

  • Schülerduden Mathematik II. Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus, 2004, ISBN 3-411-04275-3, S. 316–317.
  • Charles D. Miller, Margaret L. Lial, David I. Schneider: Fundamentals of College Algebra. 3. Auflage. Scott & Foresman / Little & Brown Higher Education, 1990, ISBN 0-673-38638-4, S. 364–370.
  • L.D. Kudryavtsev: Undetermined coefficients, method of. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).
  • Eric W. Weisstein: Partial Fraction Decomposition. In: MathWorld (englisch).
  • Günter Scheja, Uwe Storch: Lehrbuch der Algebra. Teubner, Stuttgart 1988, ISBN 3-519-02212-5.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Heinz-Wilhelm Alten: 4000 Jahre Algebra. Geschichte, Kulturen, Menschen. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-43554-9, S. 285–286.
  2. Christoph Bock: Elemente der Analysis. (PDF; 2,2 MB) Abschnitt 8.35.
  3. Günter Scheja, Uwe Storch: Lehrbuch der Algebra. Teubner, Stuttgart 1988, ISBN 3-519-02212-5, S. 148.
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Veröffentlichungsdatum:
Die Partialbruchzerlegung oder Partialbruchentwicklung ist eine standardisierte Darstellung rationaler Funktionen Sie wird in der Mathematik verwendet um das Rechnen mit solchen Funktionen zu erleichtern Insbesondere kommt sie bei der Integration der rationalen Funktionen zur Anwendung Hier liegt die Tatsache zugrunde dass jede rationale Funktion als Summe einer Polynomfunktion und Bruchen der Form a i x x i j displaystyle frac a i x x i j dargestellt werden kann Die x i displaystyle x i sind dabei die Polstellen der Funktion Sind die Polstellen bereits bekannt so ist die Bestimmung der Zahler a i displaystyle a i die eigentliche Aufgabe der Partialbruchzerlegung Bei reellwertigen Funktionen mussen die Polstellen x i displaystyle x i und infolgedessen auch die Zahlen a i displaystyle a i nicht unbedingt reell sein denn die reellen Zahlen sind nicht algebraisch abgeschlossen Man kann das Rechnen mit komplexen Zahlen aber vermeiden weil mit jeder komplexen Nullstelle z i displaystyle z i auch die konjugiert komplexe Zahl z i displaystyle overline z i Nullstelle ist Statt a 1 x z i j displaystyle tfrac a 1 x z i j und a 2 x z i j displaystyle tfrac a 2 x overline z i j verwendet man dann einen Term b i c i x x 2 p i x q i j displaystyle tfrac b i c i x x 2 p i x q i j wobei x 2 p i x q i x z i x z i displaystyle x 2 p i x q i x z i cdot x overline z i ein reelles quadratisches Polynom ist und auch b i displaystyle b i und c i displaystyle c i reell sind Inhaltsverzeichnis 1 Geschichte 2 Verfahren 2 1 Ansatz 2 2 Bestimmung der Konstanten 3 Beispiele 3 1 Einfache Polstellen 3 2 Doppelte Polstellen 3 3 Komplexe Polstellen 3 4 Kubische und quartische Nenner 4 Der Hauptsatz der Partialbruchzerlegung 4 1 Reellwertige Funktionen 4 2 Komplexwertige Funktionen 5 Anwendungen 6 Integration der Partialbruche 6 1 Partialbruche mit reellen Polstellen 6 2 Partialbruche mit komplexen Polstellen 7 Laurent Reihen Entwicklung 8 Verallgemeinerung auf rationale Funktionenkorper 9 Literatur 10 Weblinks 11 EinzelnachweiseGeschichte BearbeitenDie Partialbruchzerlegung wurde ab 1702 in Arbeiten zur Infinitesimalrechnung von Gottfried Wilhelm Leibniz und Johann I Bernoulli entwickelt Beide Gelehrten nutzen diese Methode zur Integration von gebrochenrationalen Funktionen Da zu dieser Zeit der Fundamentalsatz der Algebra noch nicht bewiesen war er wurde damals aber schon vermutet behauptete Leibniz dass es fur das Nennerpolynom x 4 a 4 x x a a 1 x x a a 1 displaystyle x 4 a 4 left xx aa sqrt 1 right left xx aa sqrt 1 right nbsp keine Partialbruchzerlegung gebe Johann Bernoulli schloss sich dieser Meinung nicht an Dieses Beispiel wurde in den Folgejahren von verschiedenen Mathematikern diskutiert und um 1720 erschienen mehrere Arbeiten die das Beispiel als fehlerhaft nachwiesen und das unbestimmte Integral d x x 4 a 4 displaystyle int frac mathrm d x x 4 a 4 nbsp korrekt berechneten 1 Verfahren BearbeitenDie Partialbruchzerlegung einer reellen rationalen Funktion R displaystyle R nbsp wird in mehreren Schritten bestimmt Man vergleicht den Grad des Zahlers mit dem des Nenners von R displaystyle R nbsp Ist der Zahlergrad grosser oder gleich dem Nennergrad so dividiert man den Zahler durch den Nenner Man erhalt daraus das Polynom P displaystyle P nbsp und moglicherweise eine rationale Restfunktion R Z N displaystyle R tfrac Z N nbsp sodass gilt R x P x R x displaystyle R x P x R x nbsp Ist R 0 displaystyle R equiv 0 nbsp ist das Verfahren abgeschlossen Andernfalls hat der Zahler Z displaystyle Z nbsp von R displaystyle R nbsp einen kleineren Grad als der Nenner N displaystyle N nbsp Man arbeitet dann nur mehr mit der Restfunktion R displaystyle R nbsp weiter Ist der Zahlergrad kleiner als der Nennergrad so kann man die Funktion R displaystyle R nbsp direkt betrachten Um im Folgenden eine einheitliche Bezeichnungsweise zu ermoglichen setzen wir in diesem Fall R R displaystyle R R nbsp Anschliessend betrachtet man die Nullstellen von N displaystyle N nbsp Abhangig von der Art der Nullstellen wird ein geeigneter Ansatz verwendet Die Konstanten a i j displaystyle a ij nbsp b i j displaystyle b ij nbsp und c i j displaystyle c ij nbsp erhalt man dann zum Beispiel durch Koeffizientenvergleich nach Multiplikation der Zerlegung mit dem Nennerpolynom Die beiden letzten Schritte sollen nun im Detail erlautert werden Ansatz Bearbeiten Vorausgesetzt wird hier dass R displaystyle R nbsp in der Form R x Z x N x displaystyle R x tfrac Z x N x nbsp gegeben ist wobei der Grad von Z displaystyle Z nbsp kleiner als der Grad des Nennerpolynoms N displaystyle N nbsp ist und samtliche Nullstellen von N displaystyle N nbsp bekannt sind Sind wie oben angenommen die n displaystyle n nbsp verschiedenen Nullstellen x i displaystyle x i nbsp und ihr jeweiliger Grad r i displaystyle r i nbsp bekannt so kann das Nennerpolynom auf folgende Form gebracht werden N x x x 1 r 1 x x 2 r 2 x x n r n displaystyle N x x x 1 r 1 cdot x x 2 r 2 dotsm x x n r n nbsp Zu beachten ist dass einige der x i displaystyle x i nbsp nicht reell sein konnen Der Ansatz ist nun folgendermassen aufgebaut Fur jede einfache reelle Nullstelle x i displaystyle x i nbsp enthalt der Ansatz einen Summanden a i 1 x x i displaystyle tfrac a i1 x x i nbsp Fur jede r i displaystyle r i nbsp fache reelle Nullstelle x i displaystyle x i nbsp enthalt der Ansatz r i displaystyle r i nbsp Summanden a i 1 x x i a i 2 x x i 2 a i r i x x i r i displaystyle tfrac a i1 x x i tfrac a i2 x x i 2 dotsb tfrac a ir i x x i r i nbsp Da R displaystyle R nbsp reell ist gehort zu jeder nicht reellen Nullstelle z i displaystyle z i nbsp notwendigerweise auch die konjugiert komplexe Nullstelle z i displaystyle overline z i nbsp Sei x 2 p i x q i displaystyle x 2 p i x q i nbsp das quadratische Polynom mit den Nullstellen z i displaystyle z i nbsp und z i displaystyle overline z i nbsp also x 2 p i x q i x z i x z i displaystyle x 2 p i x q i x z i x overline z i nbsp Fur jede einfache nicht reelle Nullstelle z i displaystyle z i nbsp enthalt der Ansatz nun einen Summanden b i x c i x 2 p i x q i displaystyle tfrac b i x c i x 2 p i x q i nbsp Entsprechend enthalt der Ansatz fur jede s i displaystyle s i nbsp fache nicht reelle Nullstelle z i displaystyle z i nbsp und die zugehorige ebenfalls s i displaystyle s i nbsp fache konjugiert komplexe Nullstelle z i displaystyle overline z i nbsp die s i displaystyle s i nbsp Terme b i 1 x c i 1 x 2 p i x q i b i 2 x c i 2 x 2 p i x q i 2 b i s i x c i s i x 2 p i x q i s i displaystyle tfrac b i1 x c i1 x 2 p i x q i tfrac b i2 x c i2 x 2 p i x q i 2 dotsb tfrac b is i x c is i x 2 p i x q i s i nbsp Jeder Ansatz enthalt somit genau g displaystyle g nbsp unbekannte Koeffizienten a i 1 a i r i b i 1 b i s i c i 1 c i s i displaystyle a i1 dotsc a ir i b i1 dots b is i c i1 dotsc c is i nbsp Bestimmung der Konstanten Bearbeiten Um die Konstanten a i j displaystyle a ij nbsp b i j displaystyle b ij nbsp und c i j displaystyle c ij nbsp zu ermitteln wird R displaystyle R nbsp mit dem Ansatz gleichgesetzt und diese Gleichung mit dem Nennerpolynom N displaystyle N nbsp multipliziert Auf der einen Seite der Gleichung steht dann nur noch das Zahlerpolynom Z displaystyle Z nbsp auf der anderen ein Ausdruck mit allen Unbekannten der ebenfalls ein Polynom in x displaystyle x nbsp ist und entsprechend nach den Potenzen von x displaystyle x nbsp geordnet werden kann Ein Koeffizientenvergleich der linken mit der rechten Seite ergibt dann ein lineares Gleichungssystem aus dem sich die unbekannten Konstanten berechnen lassen Alternativ kann man bis zu g displaystyle g nbsp beliebige verschiedene Werte fur x displaystyle x nbsp in diese Gleichung einsetzen was wie der Koeffizientenvergleich zu einem aus g displaystyle g nbsp Gleichungen bestehenden linearen Gleichungssystem fuhrt Sinnvoll ist das Einsetzen der zuvor berechneten reellen Nullstellen was sofort jeweils einen Koeffizientenwert liefert Diese beiden Moglichkeiten konnen auch kombiniert werden Beispiele BearbeitenEinfache Polstellen Bearbeiten Gegeben sei die rationale Funktion R x x x 2 1 displaystyle R x frac x x 2 1 nbsp Es gibt zwei einfache Polstellen x 1 1 displaystyle x 1 1 nbsp und x 2 1 displaystyle x 2 1 nbsp Der Ansatz lautet also x x 2 1 a 1 x 1 a 2 x 1 displaystyle frac x x 2 1 frac a 1 x 1 frac a 2 x 1 nbsp wobei a 1 displaystyle a 1 nbsp und a 2 displaystyle a 2 nbsp unbekannte noch zu ermittelnde Konstanten sind Multipliziert man beide Seiten der Gleichung mit x 2 1 x 1 x 1 displaystyle x 2 1 x 1 x 1 nbsp erhalt man x a 1 x 1 a 2 x 1 displaystyle x a 1 x 1 a 2 x 1 nbsp Sortiert man die rechte Seite nach Gliedern mit x displaystyle x nbsp und Gliedern ohne x displaystyle x nbsp so ergibt sich x a 1 a 2 x a 1 a 2 displaystyle x a 1 a 2 x a 1 a 2 nbsp Koeffizientenvergleich Der Koeffizient von x displaystyle x nbsp ist Eins a 1 a 2 1 displaystyle a 1 a 2 1 nbsp und das absolute Glied Null a 1 a 2 0 displaystyle a 1 a 2 0 nbsp Hieraus lasst sich berechnen a 1 a 2 1 2 displaystyle a 1 a 2 tfrac 1 2 nbsp Die gesuchte Partialbruchzerlegung ist also x x 2 1 1 2 1 x 1 1 2 1 x 1 displaystyle frac x x 2 1 frac 1 2 cdot frac 1 x 1 frac 1 2 cdot frac 1 x 1 nbsp Doppelte Polstellen Bearbeiten Gegeben sei die rationale Funktion R x x 2 x 2 2 x 1 displaystyle R x frac x 2 x 2 2x 1 nbsp Mittels Polynomdivision und Faktorenzerlegung des Nenners folgt R x x 2 x 2 2 x 1 1 2 x 1 x 1 2 displaystyle R x frac x 2 x 2 2x 1 1 frac 2 x 1 x 1 2 nbsp Die einzige allerdings doppelte Nullstelle des Nenners ist x 0 1 displaystyle x 0 1 nbsp Ansatz 2 x 1 x 1 2 a 1 x 1 a 2 x 1 2 x 1 2 displaystyle frac 2 x 1 x 1 2 frac a 1 x 1 frac a 2 x 1 2 quad cdot x 1 2 nbsp 2 x 1 a 1 x 1 a 2 displaystyle 2 x 1 a 1 x 1 a 2 nbsp 2 x 1 a 1 x a 1 a 2 displaystyle 2 x 1 a 1 x a 1 a 2 nbsp Koeffizientenvergleich a 1 2 displaystyle a 1 2 nbsp a 1 a 2 1 displaystyle a 1 a 2 1 nbsp Losung a 1 2 a 2 1 displaystyle a 1 2 quad a 2 1 nbsp also erhalten wir die Partialbruchzerlegung x 2 x 2 2 x 1 1 2 x 1 1 x 1 2 displaystyle frac x 2 x 2 2x 1 1 frac 2 x 1 frac 1 x 1 2 nbsp Komplexe Polstellen Bearbeiten Gegeben sei die rationale Funktion R x 5 x 2 2 x 1 x 3 x displaystyle R x frac 5x 2 2x 1 x 3 x nbsp Der Nenner hat hier die reelle Nullstelle x 1 0 displaystyle x 1 0 nbsp die komplexe Nullstelle x 2 z 1 i displaystyle x 2 z 1 mathrm i nbsp und deren konjugiert komplexe x 3 z 1 i displaystyle x 3 overline z 1 mathrm i nbsp Das quadratische Polynom mit den Nullstellen z 1 displaystyle z 1 nbsp und z 1 displaystyle overline z 1 nbsp ist x z 1 x z 1 x i x i x 2 1 displaystyle x z 1 x overline z 1 x mathrm i x mathrm i x 2 1 nbsp Ansatz 5 x 2 2 x 1 x 3 x a 1 x b 1 x c 1 x 2 1 displaystyle frac 5x 2 2x 1 x 3 x frac a 1 x frac b 1 x c 1 x 2 1 nbsp 5 x 2 2 x 1 a 1 x 2 a 1 b 1 x 2 c 1 x displaystyle 5x 2 2x 1 a 1 x 2 a 1 b 1 x 2 c 1 x nbsp 5 x 2 2 x 1 a 1 b 1 x 2 c 1 x a 1 displaystyle 5x 2 2x 1 a 1 b 1 x 2 c 1 x a 1 nbsp Koeffizientenvergleich a 1 b 1 5 c 1 2 a 1 1 displaystyle begin aligned a 1 b 1 amp 5 c 1 amp 2 a 1 amp 1 end aligned nbsp Losung a 1 1 b 1 4 c 1 2 displaystyle a 1 1 quad b 1 4 quad c 1 2 nbsp Partialbruchzerlegung 5 x 2 2 x 1 x 3 x 1 x 4 x 2 x 2 1 displaystyle frac 5x 2 2x 1 x 3 x frac 1 x frac 4x 2 x 2 1 nbsp Kubische und quartische Nenner Bearbeiten Kubische Nenner Fur Bruche mit kubischem Nenner gilt unter der Bedingung a e b c abd 0 folgende Partialbruchzerlegung t x 2 u x v a x b c x 2 d x e a 2 v b 2 t a b u a 2 e b 2 c a b d a x b a e t c v b d t c u x a e u d v b e t c v a 2 e b 2 c a b d c x 2 d x e displaystyle frac tx 2 ux v ax b cx 2 dx e frac a 2 v b 2 t abu a 2 e b 2 c abd ax b frac a et cv b dt cu x a eu dv b et cv a 2 e b 2 c abd cx 2 dx e nbsp Beispielsweise kann dieser Bruch mit der genannten Formel zerlegt werden 1 x 3 1 1 x 1 x 2 x 1 1 3 x 1 x 2 3 x 2 x 1 1 3 x 1 2 x 1 6 x 2 x 1 1 2 x 2 x 1 displaystyle frac 1 x 3 1 frac 1 x 1 x 2 x 1 frac 1 3 x 1 frac x 2 3 x 2 x 1 frac 1 3 x 1 frac 2x 1 6 x 2 x 1 frac 1 2 x 2 x 1 nbsp Hiermit kann ein kubisches Analogon zur Leibniz Reihe ermittelt werden k 0 1 k 3 k 1 0 1 1 x 3 1 d x 0 1 1 3 x 1 2 x 1 6 x 2 x 1 1 2 x 2 x 1 d x displaystyle sum k 0 infty frac 1 k 3k 1 int 0 1 frac 1 x 3 1 mathrm d x int 0 1 left frac 1 3 x 1 frac 2x 1 6 x 2 x 1 frac 1 2 x 2 x 1 right mathrm d x nbsp 1 3 ln x 1 1 6 ln x 2 x 1 1 3 3 arctan 1 3 3 2 x 1 x 0 x 1 1 9 3 p 1 3 ln 2 0 835 648848264721 displaystyle biggl frac 1 3 ln x 1 frac 1 6 ln x 2 x 1 frac 1 3 sqrt 3 arctan bigl frac 1 3 sqrt 3 2x 1 bigr biggr x 0 x 1 frac 1 9 sqrt 3 pi frac 1 3 ln 2 approx 0 835648848264721 nbsp Quartische Nenner Die Partialbruchzerlegung von Bruchen mit quartischem Nenner kann mit einer Matrix ermittelt werden t x 3 u x 2 v x w a x 2 b x c d x 2 e x f y 1 x y 2 a x 2 b x c y 3 x y 4 d x 2 e x f displaystyle frac tx 3 ux 2 vx w ax 2 bx c dx 2 ex f frac y 1 x y 2 ax 2 bx c frac y 3 x y 4 dx 2 ex f nbsp Fur diese Form muss folgendes Produkt von reziproker Matrix und Vektor ermittelt werden y 1 y 2 y 3 y 4 d 0 a 0 e d b a f e c b 0 f 0 c 1 t u v w displaystyle begin bmatrix y 1 y 2 y 3 y 4 end bmatrix begin bmatrix d amp 0 amp a amp 0 e amp d amp b amp a f amp e amp c amp b 0 amp f amp 0 amp c end bmatrix 1 begin bmatrix t u v w end bmatrix nbsp Beispielsweise soll folgender Bruch zerlegt werden x 3 2 x 2 4 x 6 3 x 2 5 x 7 11 x 2 13 x 17 displaystyle frac x 3 2x 2 4x 6 3x 2 5x 7 11x 2 13x 17 nbsp Hierfur muss nach diesem Verfahren folgende Rechnung durchgefuhrt werden y 1 y 2 y 3 y 4 11 0 3 0 13 11 5 3 17 13 7 5 0 17 0 7 1 1 2 4 6 1 290 82 57 204 387 displaystyle begin bmatrix y 1 y 2 y 3 y 4 end bmatrix begin bmatrix 11 amp 0 amp 3 amp 0 13 amp 11 amp 5 amp 3 17 amp 13 amp 7 amp 5 0 amp 17 amp 0 amp 7 end bmatrix 1 begin bmatrix 1 2 4 6 end bmatrix frac 1 290 begin bmatrix 82 57 204 387 end bmatrix nbsp Daraus folgt x 3 2 x 2 4 x 6 3 x 2 5 x 7 11 x 2 13 x 17 82 x 57 290 3 x 2 5 x 7 204 x 387 290 11 x 2 13 x 17 displaystyle frac x 3 2x 2 4x 6 3x 2 5x 7 11x 2 13x 17 frac 82x 57 290 3x 2 5x 7 frac 204x 387 290 11x 2 13x 17 nbsp Der Hauptsatz der Partialbruchzerlegung BearbeitenReellwertige Funktionen Bearbeiten Jede rationale Funktion R D R R displaystyle R colon D subset mathbb R to mathbb R nbsp mit den m displaystyle m nbsp verschiedenen reellen Polstellen x i displaystyle x i nbsp der Ordnung r i displaystyle r i nbsp und den n displaystyle n nbsp bis auf Konjugation verschiedenen komplexen Polstellen z i displaystyle z i nbsp der Ordnung s i displaystyle s i nbsp hat eine eindeutig bestimmte Darstellung R x P x i 1 m j 1 r i a i j x x i j i 1 n j 1 s i b i j x c i j x z i j x z i j displaystyle R x P x sum i 1 m sum j 1 r i frac a ij x x i j sum i 1 n sum j 1 s i frac b ij x c ij x z i j x overline z i j nbsp mit einer Polynomfunktion P displaystyle P nbsp und reellen Konstanten a i j displaystyle a ij nbsp b i j displaystyle b ij nbsp und c i j displaystyle c ij nbsp Diese wird die Partialbruchzerlegung abgekurzt PBZ von R displaystyle R nbsp genannt Die Bruche a i j x x i j displaystyle tfrac a ij x x i j nbsp heissen Partial oder Teilbruche 1 Art die Bruche b i j x c i j x z i j x z i j displaystyle tfrac b ij x c ij x z i j x overline z i j nbsp Partial oder Teilbruche 2 Art Komplexwertige Funktionen Bearbeiten Jede rationale Funktion R D C C displaystyle R colon D subset mathbb C to mathbb C nbsp mit den n displaystyle n nbsp verschiedenen Polstellen z i displaystyle z i nbsp der Ordnung r i displaystyle r i nbsp hat eine eindeutig bestimmte Darstellung R z P z i 1 n j 1 r i a i j z z i j displaystyle R z P z sum i 1 n sum j 1 r i frac a ij z z i j nbsp mit einer Polynomfunktion P displaystyle P nbsp und komplexen Konstanten a i j displaystyle a ij nbsp Dieser Satz lasst sich fur Polynome uber jedem anderen algebraisch abgeschlossenen Schiefkorper verallgemeinern Anwendungen BearbeitenDie Partialbruchzerlegung wird unter anderem zum Integrieren rationaler Funktionen benutzt Da die Integrale samtlicher Partialbruche bekannt sind ist die Integration immer moglich wenn sich die Polstellen der betrachteten Funktion angeben lassen 2 Des Weiteren wird die Partialbruchzerlegung bei der Laplace und der z Transformation verwendet Die Transformierten der einzelnen Partialbruche konnen in Tabellen nachgeschlagen werden Somit erspart man sich eine analytische Berechnung wenn der zu transformierende Term in entsprechende Summanden zerlegt werden kann Integration der Partialbruche BearbeitenBeim Auffinden der Stammfunktionen von Partialbruchen lassen sich sechs Falle unterscheiden je nachdem ob der Zahlergrad 0 oder 1 ist ob die Polstellen also die Nullstellen des Nenners reell oder nicht reell sind und ob sie einfach oder mehrfach sind Partialbruche mit reellen Polstellen Bearbeiten Bei Partialbruchen mit reellen Polstellen gibt es zwei Falle da der Zahler nur den Grad 0 haben kann Damit ergibt sich bei reellen und einfachen Polstellen 1 A x a d x A ln x a c displaystyle 1 qquad int frac A x a dx A cdot ln x a c nbsp und bei reellen und mehrfachen Polstellen n 1 displaystyle n neq 1 nbsp 2 A x a n d x A x a n 1 n 1 c displaystyle 2 qquad int frac A x a n dx frac A cdot x a n 1 n 1 c nbsp Partialbruche mit komplexen Polstellen Bearbeiten Bei Partialbruchen mit komplexen Polstellen gibt es vier Falle da der Zahlergrad sowohl 0 als auch 1 sein kann Damit ergibt sich bei komplexen und einfachen Polstellen und Zahlergrad 0 3 B x 2 p x q d x 2 B 4 q p 2 arctan 2 x p 4 q p 2 c displaystyle 3 qquad int frac B x 2 px q dx frac 2B sqrt 4q p 2 cdot arctan left frac 2x p sqrt 4q p 2 right c nbsp Der Fall mit komplexen und einfachen Polstellen und Zahlergrad 1 lasst sich auf 3 zuruckfuhren 4 B x C x 2 p x q d x B 2 ln x 2 p x q C p B 2 1 x 2 p x q d x c displaystyle 4 qquad int frac Bx C x 2 px q dx frac B 2 cdot ln x 2 px q left C frac pB 2 right cdot int frac 1 x 2 px q dx c nbsp Fur die beiden Falle mit mehrfachen Polstellen lassen sich nicht direkt Stammfunktionen bestimmen es lassen sich jedoch Rekursionsvorschriften finden Damit ergibt sich fur den Fall mit komplexen und mehrfachen Polstellen n 0 displaystyle n neq 0 nbsp und Zahlergrad 0 5 B x 2 p x q n 1 d x B 4 q p 2 n 2 x p x 2 p x q n 2 4 q p 2 2 n 1 n B x 2 p x q n d x c displaystyle 5 qquad int frac B x 2 px q n 1 dx frac B 4q p 2 cdot n cdot frac 2x p x 2 px q n frac 2 4q p 2 cdot frac 2n 1 n cdot int frac B x 2 px q n dx c nbsp Der Fall mit komplexen und mehrfachen Polstellen und Zahlergrad 1 lasst sich auf 5 zuruckfuhren n 1 displaystyle n neq 1 nbsp 6 B x C x 2 p x q n d x B 2 n 1 1 x 2 p x q n 1 C p B 2 1 x 2 p x q n d x c displaystyle 6 qquad int frac Bx C x 2 px q n dx frac B 2 n 1 cdot frac 1 x 2 px q n 1 left C frac pB 2 right cdot int frac 1 x 2 px q n dx c nbsp Laurent Reihen Entwicklung BearbeitenIst fur jede Polstelle eine Laurent Reihen Entwicklung der Funktion bekannt so erhalt man die Partialbruchzerlegung sehr einfach als Summe der Hauptteile dieser Laurent Reihen Dieser Weg steht im Zusammenhang mit dem Residuenkalkul Verallgemeinerung auf rationale Funktionenkorper BearbeitenDie Partialbruchzerlegung lasst sich fur einen Korper K displaystyle K nbsp auf den rationalen Funktionenkorper K X displaystyle K X nbsp verallgemeinern Bezeichnet man die normierten irreduziblen Polynome im Polynomring K X displaystyle K X nbsp mit P displaystyle P nbsp so sind die rationalen Funktionen der Form X i p j displaystyle tfrac X i p j nbsp mit p P j N 0 i lt deg p displaystyle p in P j in mathbb N 0 leq i lt deg p nbsp linear unabhangig und bilden mit den Monomen X i i N displaystyle X i i in mathbb N nbsp eine K displaystyle K nbsp Basis des K displaystyle K nbsp Vektorraums K X displaystyle K X nbsp 3 Literatur BearbeitenSchulerduden Mathematik II Bibliographisches Institut amp F A Brockhaus 2004 ISBN 3 411 04275 3 S 316 317 Charles D Miller Margaret L Lial David I Schneider Fundamentals of College Algebra 3 Auflage Scott amp Foresman Little amp Brown Higher Education 1990 ISBN 0 673 38638 4 S 364 370 L D Kudryavtsev Undetermined coefficients method of In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Eric W Weisstein Partial Fraction Decomposition In MathWorld englisch Gunter Scheja Uwe Storch Lehrbuch der Algebra Teubner Stuttgart 1988 ISBN 3 519 02212 5 Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Partial Fraction Decomposition In MathWorld englisch Facharbeit Partialbruchzerlegung und ihre Anwendung bei der Integration Online Rechner und kommentierte interaktive Beispiele Arndt Brunner Video Integration durch Partialbruchzerlegung Jorn Loviscach 2011 zur Verfugung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek TIB doi 10 5446 9912 Video Partielle Integration Substitutionsregel Integration durch Partialbruchzerlegung Jorn Loviscach 2012 zur Verfugung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek TIB doi 10 5446 9987 Einzelnachweise Bearbeiten Heinz Wilhelm Alten 4000 Jahre Algebra Geschichte Kulturen Menschen Springer Berlin u a 2003 ISBN 3 540 43554 9 S 285 286 Christoph Bock Elemente der Analysis PDF 2 2 MB Abschnitt 8 35 Gunter Scheja Uwe Storch Lehrbuch der Algebra Teubner Stuttgart 1988 ISBN 3 519 02212 5 S 148 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Partialbruchzerlegung amp oldid 219980018