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Rationaler Funktionenkörper Ein rationaler Funktionenkörper ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Algebr

Rationaler Funktionenkörper

Ein rationaler Funktionenkörper ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Algebra. Dieses Objekt hat die algebraische Struktur eines Körpers.

Definition Bearbeiten

Der rationale Funktionenkörper ist der Quotientenkörper des Polynomrings über einem Körper . Die Konstruktion von ist analog zu jener der rationalen Zahlen aus den ganzen Zahlen. Die Elemente können also als mit Polynomen , wobei nicht das Nullpolynom ist, geschrieben werden.

Anmerkungen und Eigenschaften Bearbeiten

Die Namensgebung ist traditionell, aber mit etwas Vorsicht zu genießen:

  • Erstens muss man die Unterschiede zwischen Polynomen und Polynomfunktionen betrachten. Jedes Polynom induziert eine Polynomfunktion, aber die Zuordnung Polynom Polynomfunktion ist nur dann injektiv, wenn der Körper unendlich ist. Beispiel: Ist der Körper mit 2 Elementen, so induzieren und die gleiche Funktion auf . Trotzdem sind sie als Elemente des rationalen Funktionenkörpers nicht gleich.
  • Zweitens hat in der Regel der Nenner Nullstellen. Dementsprechend ist die rationale Funktion nicht auf ganz definiert, sondern nur auf einer Zariski-offenen Teilmenge.

Beispiel: Für gilt zwar als rationale Funktion auf im Sinne der obigen Definition – aber der Definitionsbereich ist leer.

Die Körpererweiterung ist rein transzendent und damit insbesondere unendlich. Es lässt sich mit Hilfe der verallgemeinerten Partialbruchzerlegung sogar eine -Basis des -Vektorraums angeben.

In mehreren Variablen Bearbeiten

Definition Bearbeiten

Der rationale Funktionenkörper in den Variablen ist analog definiert als der Quotientenkörper des Polynomrings .

Konstruktion Bearbeiten

Der rationale Funktionenkörper kann durch sukzessives Adjungieren einer Variablen und anschließendes Bilden des Quotientenkörpers konstruiert werden. Also:

Funktionenkörper in der algebraischen Geometrie Bearbeiten

In der algebraischen Geometrie werden Funktionenkörper von affinen Varietäten betrachtet: Sei der Körper algebraisch abgeschlossen und eine affine Varietät im . Dann ist das Ideal ein Primideal im Polynomring , weshalb der Koordinatenring , d. h. der Quotientenring , ein Integritätsbereich ist.

Der Quotientenkörper des Koordinatenrings heißt dann Funktionenkörper von . Seine Elemente heißen rationale Funktionen auf und dürfen tatsächlich als Funktionen auf (nicht leeren) offenen Teilmengen von betrachtet werden.

Literatur Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Ein rationaler Funktionenkorper ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Algebra Dieses Objekt hat die algebraische Struktur eines Korpers Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Anmerkungen und Eigenschaften 3 In mehreren Variablen 3 1 Definition 3 2 Konstruktion 4 Funktionenkorper in der algebraischen Geometrie 5 LiteraturDefinition BearbeitenDer rationale Funktionenkorper K X displaystyle K X nbsp ist der Quotientenkorper des Polynomrings K X displaystyle K X nbsp uber einem Korper K displaystyle K nbsp Die Konstruktion von K X displaystyle K X nbsp ist analog zu jener der rationalen Zahlen aus den ganzen Zahlen Die Elemente r K X displaystyle r in K X nbsp konnen also als r f g displaystyle r tfrac f g nbsp mit Polynomen f g K X displaystyle f g in K X nbsp wobei g displaystyle g nbsp nicht das Nullpolynom ist geschrieben werden Anmerkungen und Eigenschaften BearbeitenDie Namensgebung ist traditionell aber mit etwas Vorsicht zu geniessen Erstens muss man die Unterschiede zwischen Polynomen und Polynomfunktionen betrachten Jedes Polynom induziert eine Polynomfunktion aber die Zuordnung Polynom displaystyle rightarrow nbsp Polynomfunktion ist nur dann injektiv wenn der Korper K displaystyle K nbsp unendlich ist Beispiel Ist K F 2 displaystyle K mathbb F 2 nbsp der Korper mit 2 Elementen so induzieren X displaystyle X nbsp und X 2 displaystyle X 2 nbsp die gleiche Funktion auf K displaystyle K nbsp Trotzdem sind sie als Elemente des rationalen Funktionenkorpers nicht gleich Zweitens hat in der Regel der Nenner g displaystyle g nbsp Nullstellen Dementsprechend ist die rationale Funktion nicht auf ganz K displaystyle K nbsp definiert sondern nur auf einer Zariski offenen Teilmenge Beispiel Fur K F 3 displaystyle K mathbb F 3 nbsp gilt zwar 1 X 3 X displaystyle tfrac 1 X 3 X nbsp als rationale Funktion auf K displaystyle K nbsp im Sinne der obigen Definition aber der Definitionsbereich ist leer Die Korpererweiterung K X K displaystyle K X K nbsp ist rein transzendent und damit insbesondere unendlich Es lasst sich mit Hilfe der verallgemeinerten Partialbruchzerlegung sogar eine K displaystyle K nbsp Basis des K displaystyle K nbsp Vektorraums K X displaystyle K X nbsp angeben In mehreren Variablen BearbeitenDefinition Bearbeiten Der rationale Funktionenkorper K X 1 X n displaystyle displaystyle K X 1 ldots X n nbsp in den Variablen X 1 X n displaystyle displaystyle X 1 ldots X n nbsp ist analog definiert als der Quotientenkorper des Polynomrings K X 1 X n displaystyle displaystyle K X 1 ldots X n nbsp Konstruktion Bearbeiten Der rationale Funktionenkorper kann durch sukzessives Adjungieren einer Variablen X i displaystyle displaystyle X i nbsp und anschliessendes Bilden des Quotientenkorpers konstruiert werden Also K X 1 X n displaystyle displaystyle K X 1 ldots X n nbsp ist der Quotientenkorper des Polynomrings K X 1 X n 1 X n displaystyle displaystyle K X 1 ldots X n 1 X n nbsp also des Polynomrings uber dem Korper K X 1 X n 1 displaystyle displaystyle K X 1 ldots X n 1 nbsp in der Variable X n displaystyle displaystyle X n nbsp Funktionenkorper in der algebraischen Geometrie BearbeitenIn der algebraischen Geometrie werden Funktionenkorper von affinen Varietaten betrachtet Sei der Korper K displaystyle K nbsp algebraisch abgeschlossen und V displaystyle V nbsp eine affine Varietat im K n displaystyle K n nbsp Dann ist das Ideal I V displaystyle I V nbsp ein Primideal im Polynomring K X 1 X n displaystyle K X 1 ldots X n nbsp weshalb der Koordinatenring K V displaystyle K V nbsp d h der Quotientenring K X 1 X n I V displaystyle K X 1 ldots X n I V nbsp ein Integritatsbereich ist Der Quotientenkorper K V displaystyle K V nbsp des Koordinatenrings K V displaystyle K V nbsp heisst dann Funktionenkorper von V displaystyle V nbsp Seine Elemente heissen rationale Funktionen auf V displaystyle V nbsp und durfen tatsachlich als Funktionen auf nicht leeren offenen Teilmengen von V displaystyle V nbsp betrachtet werden Literatur BearbeitenSiegfried Bosch Algebra 8 Auflage Springer Spektrum Berlin 2013 ISBN 978 3 642 39566 6 S 63 doi 10 1007 978 3 642 39567 3 K X displaystyle K X nbsp und K X 1 X n displaystyle K X 1 ldots X n nbsp Klaus Hulek Elementare Algebraische Geometrie 2 Auflage Springer Spektrum Wiesbaden 2012 ISBN 978 3 8348 1964 2 S 41 doi 10 1007 978 3 8348 2348 9 Algebraische Geometrie Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Rationaler Funktionenkorper amp oldid 229085869