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Adjunktion Algebra Unter Adjunktion versteht man im mathematischen Teilgebiet der Algebra das Hinzufügen von weiteren El

Adjunktion (Algebra)

Unter Adjunktion versteht man im mathematischen Teilgebiet der Algebra das Hinzufügen von weiteren Elementen zu einem Körper oder Ring. Bei Körpern spricht man speziell von der Körperadjunktion und bei Ringen entsprechend von der Ringadjunktion.

Adjunktion algebraischer Elemente zu einem Körper Bearbeiten

Es sei ein Körper und ein irreduzibles Polynom. Dann ist der Faktorring

nach dem von erzeugten Ideal ein Körper.

Das Polynom hat in eine Nullstelle, nämlich das Bild von . Man sagt deshalb: entsteht aus durch Adjunktion einer Nullstelle von , und schreibt .

Häufig ist nur implizit in der Notation enthalten, zum Beispiel ist bei das Polynom gemeint. Normiert man den Leitkoeffizienten von auf , so ist durch die Bedingung der Irreduzibilität eindeutig bestimmt. Es findet sich für diesen Fall eine explizite Darstellung des Körpers:

Ist der Grad von gleich , so lassen sich die Elemente von eindeutig in der Form

schreiben.

Der Grad der Körpererweiterung ist gleich .

Adjunktion transzendenter Elemente zu einem Körper Bearbeiten

Möchte man einen Körper um ein Element erweitern, das nicht algebraisch sein soll, spricht man von der Adjunktion einer Unbestimmten oder eines transzendenten Elementes . Der so entstehende Körper ist definiert als der Quotientenkörper des Polynomringes . Seine Elemente sind formale rationale Funktionen

Ringadjunktion Bearbeiten

Liegt an Stelle eines Körpers allgemeiner ein kommutativer unitärer Ring vor, so spricht man auch von Erweiterung durch Adjunktion. Die Erweiterungen sind von der Form mit einer Unbestimmten und einem Polynom . Dabei hängt das Verhalten einer derartigen Erweiterung entscheidend davon ab, ob der Leitkoeffizient von eine Einheit des Ringes ist oder nicht, siehe Ganzes Element.

Beim Übergang von einem Ring zum Polynomring spricht man von der Adjunktion einer Unbestimmten.

Beispiele Bearbeiten

  • , der Ring der rationalen Zahlen, deren Nenner eine Zweierpotenz ist.
  • , der Ring der Elemente von , die die Form
haben.
  • ; Ringhomomorphismen von diesem Ring in einen Ring entsprechen den -ten Einheitswurzeln in .

Siehe auch Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Unter Adjunktion versteht man im mathematischen Teilgebiet der Algebra das Hinzufugen von weiteren Elementen zu einem Korper oder Ring Bei Korpern spricht man speziell von der Korperadjunktion und bei Ringen entsprechend von der Ringadjunktion Inhaltsverzeichnis 1 Adjunktion algebraischer Elemente zu einem Korper 2 Adjunktion transzendenter Elemente zu einem Korper 3 Ringadjunktion 3 1 Beispiele 4 Siehe auchAdjunktion algebraischer Elemente zu einem Korper BearbeitenEs sei K displaystyle K nbsp ein Korper und f K X displaystyle f in K X nbsp ein irreduzibles Polynom Dann ist der Faktorring L K X f displaystyle L K X f nbsp nach dem von f displaystyle f nbsp erzeugten Ideal ein Korper Das Polynom f displaystyle f nbsp hat in L displaystyle L nbsp eine Nullstelle namlich das Bild 3 X f displaystyle xi X f nbsp von X displaystyle X nbsp Man sagt deshalb L displaystyle L nbsp entsteht aus K displaystyle K nbsp durch Adjunktion einer Nullstelle 3 displaystyle xi nbsp von f displaystyle f nbsp und schreibt K 3 L displaystyle K xi L nbsp Haufig ist f displaystyle f nbsp nur implizit in der Notation enthalten zum Beispiel ist bei Q 2 displaystyle mathbb Q sqrt 2 nbsp das Polynom f X 2 2 displaystyle f X 2 2 nbsp gemeint Normiert man den Leitkoeffizienten von f displaystyle f nbsp auf 1 displaystyle 1 nbsp so ist f displaystyle f nbsp durch die Bedingung der Irreduzibilitat eindeutig bestimmt Es findet sich fur diesen Fall eine explizite Darstellung des Korpers Q 2 a b 2 a b Q displaystyle mathbb Q sqrt 2 a b cdot sqrt 2 a b in mathbb Q nbsp Ist der Grad von f displaystyle f nbsp gleich n displaystyle n nbsp so lassen sich die Elemente von K 3 displaystyle K xi nbsp eindeutig in der Form a n 1 3 n 1 a 1 3 a 0 displaystyle a n 1 xi n 1 ldots a 1 xi a 0 nbsp mit a i K displaystyle a i in K nbsp fur i 0 1 n 1 displaystyle i 0 1 ldots n 1 nbsp schreiben Der Grad K 3 K displaystyle K xi K nbsp der Korpererweiterung ist gleich n displaystyle n nbsp Adjunktion transzendenter Elemente zu einem Korper BearbeitenMochte man einen Korper K displaystyle K nbsp um ein Element erweitern das nicht algebraisch sein soll spricht man von der Adjunktion einer Unbestimmten oder eines transzendenten Elementes T displaystyle T nbsp Der so entstehende Korper K T displaystyle K T nbsp ist definiert als der Quotientenkorper des Polynomringes K T displaystyle K T nbsp Seine Elemente sind formale rationale Funktionen a n T n a 1 T a 0 b m T m b 1 T b 0 displaystyle frac a n T n ldots a 1 T a 0 b m T m ldots b 1 T b 0 nbsp Ringadjunktion BearbeitenLiegt an Stelle eines Korpers allgemeiner ein kommutativer unitarer Ring R displaystyle R nbsp vor so spricht man auch von Erweiterung durch Adjunktion Die Erweiterungen sind von der Form R X f displaystyle R X f nbsp mit einer Unbestimmten X displaystyle X nbsp und einem Polynom f R X displaystyle f in R X nbsp Dabei hangt das Verhalten einer derartigen Erweiterung entscheidend davon ab ob der Leitkoeffizient von f displaystyle f nbsp eine Einheit des Ringes ist oder nicht siehe Ganzes Element Beim Ubergang von einem Ring R displaystyle R nbsp zum Polynomring R X displaystyle R X nbsp spricht man von der Adjunktion einer Unbestimmten Beispiele Bearbeiten Z 1 2 Z X 2 X 1 displaystyle mathbb Z left frac 1 2 right mathbb Z X 2X 1 nbsp der Ring der rationalen Zahlen deren Nenner eine Zweierpotenz ist Z 2 Z X X 2 2 displaystyle mathbb Z sqrt 2 mathbb Z X X 2 2 nbsp der Ring der Elemente von Q 2 displaystyle mathbb Q sqrt 2 nbsp die die Form a b 2 a b Z displaystyle a b sqrt 2 mid a b in mathbb Z nbsp dd haben Z X X n 1 displaystyle mathbb Z X X n 1 nbsp Ringhomomorphismen von diesem Ring in einen Ring R displaystyle R nbsp entsprechen den n displaystyle n nbsp ten Einheitswurzeln in R displaystyle R nbsp Siehe auch BearbeitenAdjunktion Einselement Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Adjunktion Algebra amp oldid 225011675