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Faktorring In der Algebra bezeichnet man eine bestimmte Art von Ringen als oder Quotientenring oder Restklassenring Es h

Faktorring

In der Algebra bezeichnet man eine bestimmte Art von Ringen als Faktorring oder Quotientenring oder Restklassenring. Es handelt sich dabei um eine Verallgemeinerung der Restklassenringe ganzer Zahlen.

Definition Bearbeiten

Ist ein Ring und ein (beidseitiges) Ideal von , dann bildet die Menge der Äquivalenzklassen modulo mit folgenden Verknüpfungen einen Ring:

wobei definiert ist als .

Diesen Ring nennt man den Faktorring modulo oder Restklassenring oder Quotientenring. (Er hat jedoch nichts mit den Begriffen Quotientenkörper bzw. Totalquotientenring zu tun; diese sind Lokalisierungen.)

Beispiele Bearbeiten

  • Die Menge aller ganzzahligen Vielfachen von ist ein Ideal in , und der Faktorring ist der Restklassenring modulo .
  • Betrachten wir das Polynom über dem Körper der reellen Zahlen, so ist der Faktorring isomorph zum Körper der komplexen Zahlen; die Äquivalenzklasse von entspricht dabei der imaginären Einheit .

Eigenschaften Bearbeiten

  • Ist ein kommutativer Ring mit Einselement, so ist ein Ideal genau dann ein Primideal, wenn ein Integritätsring ist.
  • Ist ein kommutativer Ring mit Einselement, so ist ein Ideal genau dann ein maximales Ideal, wenn ein Körper ist.
  • Ist ein Körper und ein irreduzibles Polynom über , dann ist ein maximales Ideal in und deshalb ist ein Körper. Dieser Körper ist ein Oberkörper von , in dem eine Nullstelle hat (die Restklasse von ). Die Körpererweiterung ist endlich und algebraisch, ihr Grad stimmt mit dem Grad von überein. Wiederholt man das Verfahren mit den über nicht-linearen irreduziblen Teilern von , so erhält man schließlich einen Körper, in dem in Linearfaktoren zerfällt: Den Zerfällungskörper von .

Idealtheorie Bearbeiten

Sei ein kommutativer Ring mit Einselement und ein Ideal. Dann sind

  • die Ideale des Rings genau die Ideale von , die enthalten (also )
  • die Primideale des Rings genau die Primideale von , die enthalten
  • die Maximalideale des Rings genau die Maximalideale von , die enthalten

Bemerkung Bearbeiten

Der Begriff ist zu unterscheiden vom faktoriellen Ring, in dem die eindeutige Primfaktorzerlegung existiert.

Literatur Bearbeiten

  • Kurt Meyberg, Algebra I, Carl Hanser Verlag (1980), ISBN 3-446-13079-9, Kapitel 3: "Ringe"
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Veröffentlichungsdatum:
In der Algebra bezeichnet man eine bestimmte Art von Ringen als Faktorring oder Quotientenring oder Restklassenring Es handelt sich dabei um eine Verallgemeinerung der Restklassenringe ganzer Zahlen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Eigenschaften 4 Idealtheorie 5 Bemerkung 6 LiteraturDefinition BearbeitenIst R displaystyle R cdot nbsp ein Ring und I displaystyle I nbsp ein beidseitiges Ideal von R displaystyle R nbsp dann bildet die Menge R I a I a R displaystyle R I left a I mid a in R right nbsp der Aquivalenzklassen modulo I displaystyle I nbsp mit folgenden Verknupfungen einen Ring a I b I a b I displaystyle a I b I a b I nbsp a I b I a b I displaystyle a I cdot b I a cdot b I nbsp wobei a I displaystyle a I nbsp definiert ist als a r r I displaystyle a r r in I nbsp Diesen Ring nennt man den Faktorring R displaystyle R nbsp modulo I displaystyle I nbsp oder Restklassenring oder Quotientenring Er hat jedoch nichts mit den Begriffen Quotientenkorper bzw Totalquotientenring zu tun diese sind Lokalisierungen Beispiele BearbeitenDie Menge n Z displaystyle n mathbb Z nbsp aller ganzzahligen Vielfachen von n displaystyle n nbsp ist ein Ideal in Z displaystyle mathbb Z nbsp und der Faktorring Z n Z displaystyle mathbb Z n mathbb Z nbsp ist der Restklassenring modulo n displaystyle n nbsp Ist f R X displaystyle f in R X nbsp ein Polynom uber einem kommutativen unitarem Ring R displaystyle R nbsp dann ist die Menge R X f f displaystyle R X cdot f f nbsp aller Polynom Vielfachen von f displaystyle f nbsp ein Ideal im Polynomring R X displaystyle R X nbsp und R X f g f g R X displaystyle R X f left g f mid g in R X right nbsp ist der Faktorring R X displaystyle R X nbsp modulo f displaystyle f nbsp Betrachten wir das Polynom f X 2 1 displaystyle f X 2 1 nbsp uber dem Korper R displaystyle mathbb R nbsp der reellen Zahlen so ist der Faktorring R X f displaystyle mathbb R X f nbsp isomorph zum Korper der komplexen Zahlen die Aquivalenzklasse von X displaystyle X nbsp entspricht dabei der imaginaren Einheit i displaystyle mathrm i nbsp Rechenbeispiele Das Polynom X 2 displaystyle X 2 nbsp liegt wegen X 2 f 1 displaystyle X 2 f 1 nbsp in derselben Aquivalenzklasse modulo f displaystyle f nbsp wie 1 displaystyle 1 nbsp Fur das Produkt X 1 X 2 displaystyle X 1 cdot X 2 nbsp ermitteln wir X 1 X 2 X 1 X 2 X 2 3 X 2 3 X 1 displaystyle X 1 cdot X 2 X 1 cdot X 2 X 2 3X 2 3X 1 nbsp Man erhalt alle endlichen Korper als Faktorringe der Polynomringe uber den Restklassenkorpern F p Z p Z displaystyle mathbb F p mathbb Z p mathbb Z nbsp mit p displaystyle p nbsp Primzahl Eigenschaften BearbeitenIst R displaystyle R nbsp ein kommutativer Ring mit Einselement so ist ein Ideal I displaystyle I nbsp genau dann ein Primideal wenn R I displaystyle R I nbsp ein Integritatsring ist Ist R displaystyle R nbsp ein kommutativer Ring mit Einselement so ist ein Ideal I displaystyle I nbsp genau dann ein maximales Ideal wenn R I displaystyle R I nbsp ein Korper ist Ist K displaystyle K nbsp ein Korper und f displaystyle f nbsp ein irreduzibles Polynom uber K displaystyle K nbsp dann ist f displaystyle f nbsp ein maximales Ideal in K X displaystyle K X nbsp und deshalb ist L K X f displaystyle L colon K X f nbsp ein Korper Dieser Korper ist ein Oberkorper von K displaystyle K nbsp in dem f displaystyle f nbsp eine Nullstelle hat die Restklasse von X displaystyle X nbsp Die Korpererweiterung L K displaystyle L K nbsp ist endlich und algebraisch ihr Grad stimmt mit dem Grad von f displaystyle f nbsp uberein Wiederholt man das Verfahren mit den uber L displaystyle L nbsp nicht linearen irreduziblen Teilern von f displaystyle f nbsp so erhalt man schliesslich einen Korper in dem f displaystyle f nbsp in Linearfaktoren zerfallt Den Zerfallungskorper von f displaystyle f nbsp Idealtheorie BearbeitenSei R displaystyle R nbsp ein kommutativer Ring mit Einselement und I R displaystyle I subseteq R nbsp ein Ideal Dann sind die Ideale des Rings R I displaystyle R I nbsp genau die Ideale J displaystyle J nbsp von R displaystyle R nbsp die I displaystyle I nbsp enthalten also I J displaystyle I subseteq J nbsp die Primideale des Rings R I displaystyle R I nbsp genau die Primideale von R displaystyle R nbsp die I displaystyle I nbsp enthalten die Maximalideale des Rings R I displaystyle R I nbsp genau die Maximalideale von R displaystyle R nbsp die I displaystyle I nbsp enthaltenBemerkung BearbeitenDer Begriff ist zu unterscheiden vom faktoriellen Ring in dem die eindeutige Primfaktorzerlegung existiert Literatur BearbeitenKurt Meyberg Algebra I Carl Hanser Verlag 1980 ISBN 3 446 13079 9 Kapitel 3 Ringe Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Faktorring amp oldid 201680584