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Maximales Ideal

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Maximales Ideal ist ein Begriff aus der Algebra.

Definition Bearbeiten

Es sei ein Ring. Dann heißt ein Ideal maximal, wenn ein maximales Element ist in der durch die (mengentheoretische) Inklusion halbgeordneten Menge aller echten Ideale. D. h., für jedes echte Ideal gilt:

Mit anderen Worten:

Ein echtes Ideal wird maximal genannt, wenn es kein anderes echtes Ideal von gibt, das ganz enthält.

Bemerkungen Bearbeiten

  • Entsprechendes gilt jeweils für Links- bzw. Rechtsideale.
  • Mit Hilfe des Zornschen Lemmas kann man zeigen, dass jedes echte Ideal in einem Ring mit Einselement 1 in einem maximalen Ideal enthalten ist.
  • Daraus folgt wiederum, dass jedes Element eines kommutativen Ringes mit 1, das keine Einheit ist, in einem maximalen Ideal enthalten sein muss. In nichtkommutativen Ringen ist das i. A. falsch, wie das Beispiel der Matrizenringe über (Schief)Körpern zeigt.
  • Sei ein Ideal des kommutativen Ringes mit 1. Der Faktorring ist genau dann ein Körper, wenn maximal ist. Insbesondere heißt dies: Das Bild eines Ringhomomorphismus ist genau dann ein Körper, wenn dessen Kern maximal ist.
  • Ringe können mehrere maximale Ideale enthalten. Ein Ring, der nur ein einziges maximales Links- oder Rechtsideal besitzt, wird als lokaler Ring bezeichnet. Dies ist dann ein zweiseitiges Ideal, und der Faktorring wird als der Restklassenkörper des Rings bezeichnet.
  • Ein maximales (zweiseitiges) Ideal eines Ringes ist genau dann prim, wenn . Insbesondere ist prim, falls ein Einselement enthält.

Beispiele Bearbeiten

Mit anderen Worten: diejenige Abbildung, die jede Funktion an der Stelle 0 auswertet. Das Bild von ist , also ein Körper. Somit ist der Kern, also die Menge aller Funktionen mit , ein maximales Ideal.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Siegfried Bosch: Algebra. 7. Auflage 2009, Springer-Verlag, ISBN 3-540-40388-4, S. 40.
  2. Siegfried Bosch: Algebra. 7. Auflage 2009, Springer-Verlag, ISBN 3-540-40388-4, S. 41.
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Veröffentlichungsdatum:
Dieser Artikel oder nachfolgende Abschnitt ist nicht hinreichend mit Belegen beispielsweise Einzelnachweisen ausgestattet Angaben ohne ausreichenden Beleg konnten demnachst entfernt werden Bitte hilf Wikipedia indem du die Angaben recherchierst und gute Belege einfugst Maximales Ideal ist ein Begriff aus der Algebra Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Bemerkungen 3 Beispiele 4 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEs sei R displaystyle R nbsp ein Ring Dann heisst ein Ideal m R displaystyle mathfrak m subsetneq R nbsp maximal wenn m displaystyle mathfrak m nbsp ein maximales Element ist in der durch die mengentheoretische Inklusion displaystyle subseteq nbsp halbgeordneten Menge aller echten Ideale D h fur jedes echte Ideal a R displaystyle mathfrak a subsetneq R nbsp gilt Aus a m displaystyle mathfrak a supseteq mathfrak m nbsp folgt a m displaystyle mathfrak a mathfrak m nbsp Mit anderen Worten Ein echtes Ideal m R displaystyle mathfrak m subsetneq R nbsp wird maximal genannt wenn es kein anderes echtes Ideal von R displaystyle R nbsp gibt das m displaystyle mathfrak m nbsp ganz enthalt 1 Bemerkungen BearbeitenEntsprechendes gilt jeweils fur Links bzw Rechtsideale Mit Hilfe des Zornschen Lemmas kann man zeigen dass jedes echte Ideal in einem Ring mit Einselement 1 in einem maximalen Ideal enthalten ist Daraus folgt wiederum dass jedes Element eines kommutativen Ringes mit 1 das keine Einheit ist in einem maximalen Ideal enthalten sein muss In nichtkommutativen Ringen ist das i A falsch wie das Beispiel der Matrizenringe uber Schief Korpern zeigt Sei m displaystyle mathfrak m nbsp ein Ideal des kommutativen Ringes R displaystyle R nbsp mit 1 Der Faktorring R m displaystyle R mathfrak m nbsp ist genau dann ein Korper wenn m displaystyle mathfrak m nbsp maximal ist 2 Insbesondere heisst dies Das Bild eines Ringhomomorphismus ist genau dann ein Korper wenn dessen Kern maximal ist Ringe konnen mehrere maximale Ideale enthalten Ein Ring der nur ein einziges maximales Links oder Rechtsideal besitzt wird als lokaler Ring bezeichnet Dies ist dann ein zweiseitiges Ideal und der Faktorring R m displaystyle R mathfrak m nbsp wird als der Restklassenkorper des Rings R displaystyle R nbsp bezeichnet Ein maximales zweiseitiges Ideal m R displaystyle mathfrak m subseteq R nbsp eines Ringes R displaystyle R nbsp ist genau dann prim wenn R R m displaystyle RR nsubseteq mathfrak m nbsp Insbesondere ist m displaystyle mathfrak m nbsp prim falls R displaystyle R nbsp ein Einselement enthalt Beispiele BearbeitenIm Ring Z displaystyle mathbb Z nbsp der ganzen Zahlen ist jedes Primideal ausser dem Nullideal maximal Dies ist jedoch im Allgemeinen nicht richtig Integritatsringe mit dieser Eigenschaft heissen falls sie keine Korper sind eindimensional Alle Hauptidealringe haben diese Eigenschaft Sei C R displaystyle C mathbb R nbsp der Ring der stetigen Funktionen auf den reellen Zahlen mit der punktweisen Multiplikation Betrachte den Ringhomomorphismuse v 0 C R R f f 0 displaystyle mathrm ev 0 colon C mathbb R rightarrow mathbb R quad f mapsto f 0 nbsp dd Mit anderen Worten diejenige Abbildung die jede Funktion an der Stelle 0 auswertet Das Bild von e v 0 displaystyle mathrm ev 0 nbsp ist R displaystyle mathbb R nbsp also ein Korper Somit ist der Kern also die Menge aller Funktionen mit f 0 0 displaystyle f 0 0 nbsp ein maximales Ideal Einzelnachweise Bearbeiten Siegfried Bosch Algebra 7 Auflage 2009 Springer Verlag ISBN 3 540 40388 4 S 40 Siegfried Bosch Algebra 7 Auflage 2009 Springer Verlag ISBN 3 540 40388 4 S 41 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Maximales Ideal amp oldid 226317432