www.wikidata.de-de.nina.az

Restklassenkörper spielen in verschiedenen Bereichen der Algebra und Zahlentheorie eine wichtige Rolle In ihrer einfachs

Restklassenkörper

Restklassenkörper spielen in verschiedenen Bereichen der Algebra und Zahlentheorie eine wichtige Rolle. In ihrer einfachsten Form sind sie die mathematische Abstraktion des Restes bei der Division durch eine Primzahl, in der algebraischen Geometrie treten sie auf, wenn die lokale Struktur eines geometrischen Objektes in einem Punkt beschrieben wird.

Definition Bearbeiten

Sei ein Ring mit einem maximalen Ideal . Dann heißt der Faktorring , der als Faktorring eines maximalen Ideals ein Körper ist, der Restklassenkörper von bezüglich .

Beispiele Bearbeiten

Restklassenkörper modulo einer Primzahl Bearbeiten

Sei der Ring der ganzen Zahlen. Da ein Hauptidealring ist, sind maximale Ideale von gerade die von Primelementen erzeugten Ideale. Ist also eine Primzahl, so ist der Restklassenring ein Körper, genauer ein endlicher Körper mit Elementen. Er wird Restklassenkörper modulo genannt und üblicherweise mit bezeichnet. Man beachte jedoch, dass es auch endliche Körper , gibt, die mit den jeweiligen Restklassenringen nichts zu tun haben.

Restklassenkörper sind spezielle Beispiele primer Restklassengruppen.

Für weitere Details zu endlichen Körpern siehe endlicher Körper.

Restklassenkörper lokaler Ringe Bearbeiten

Sei ein lokaler Ring, also ein Ring, in dem es nur ein maximales Ideal gibt. Dann gibt es zu nur einen Restklassenkörper, nämlich , und wir sprechen von dem Restklassenkörper von .

Restklassenkörper diskreter Bewertungsringe Bearbeiten

Sei der Bewertungsring eines diskret bewerteten Körpers . Dann ist ein lokaler Hauptidealring, sodass das maximale Ideal von von einem Element erzeugt wird. Ein solches Element nennt man ein uniformisierendes Element und man bezeichnet in diesem Fall auch als Restklassenkörper von .

Restklassenkörper von Punkten auf Schemata Bearbeiten

Sei ein Schema mit einem Punkt . Dann wird der Restklassenkörper des lokalen Ringes der Restklassenkörper von in genannt und wird üblicherweise mit bezeichnet.

Ist ein Schema über einem Körper , so sind alle Restklassenkörper von Körpererweiterungen von . Ist lokal endlichen Typs und ein abgeschlossener Punkt, so ist eine endliche Erweiterung von . Dies ist im Wesentlichen die Aussage des hilbertschen Nullstellensatzes.

wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Restklassenkorper spielen in verschiedenen Bereichen der Algebra und Zahlentheorie eine wichtige Rolle In ihrer einfachsten Form sind sie die mathematische Abstraktion des Restes bei der Division durch eine Primzahl in der algebraischen Geometrie treten sie auf wenn die lokale Struktur eines geometrischen Objektes in einem Punkt beschrieben wird Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 2 1 Restklassenkorper modulo einer Primzahl 2 2 Restklassenkorper lokaler Ringe 2 2 1 Restklassenkorper diskreter Bewertungsringe 2 2 2 Restklassenkorper von Punkten auf SchemataDefinition BearbeitenSei A displaystyle A nbsp ein Ring mit einem maximalen Ideal m displaystyle mathfrak m nbsp Dann heisst der Faktorring A m displaystyle A mathfrak m nbsp der als Faktorring eines maximalen Ideals ein Korper ist der Restklassenkorper von A displaystyle A nbsp bezuglich m displaystyle mathfrak m nbsp Beispiele BearbeitenRestklassenkorper modulo einer Primzahl Bearbeiten Sei A Z displaystyle A mathbb Z nbsp der Ring der ganzen Zahlen Da Z displaystyle mathbb Z nbsp ein Hauptidealring ist sind maximale Ideale von Z displaystyle mathbb Z nbsp gerade die von Primelementen erzeugten Ideale Ist also p displaystyle p nbsp eine Primzahl so ist der Restklassenring Z p Z displaystyle mathbb Z p mathbb Z nbsp ein Korper genauer ein endlicher Korper mit p displaystyle p nbsp Elementen Er wird Restklassenkorper modulo p displaystyle p nbsp genannt und ublicherweise mit F p displaystyle mathbb F p nbsp bezeichnet Man beachte jedoch dass es auch endliche Korper F p 2 displaystyle mathbb F p 2 nbsp F p 3 displaystyle mathbb F p 3 ldots nbsp gibt die mit den jeweiligen Restklassenringen nichts zu tun haben Restklassenkorper sind spezielle Beispiele primer Restklassengruppen Fur weitere Details zu endlichen Korpern siehe endlicher Korper Restklassenkorper lokaler Ringe Bearbeiten Sei A displaystyle A nbsp ein lokaler Ring also ein Ring in dem es nur ein maximales Ideal m displaystyle mathfrak m nbsp gibt Dann gibt es zu A displaystyle A nbsp nur einen Restklassenkorper namlich A m displaystyle A mathfrak m nbsp und wir sprechen von dem Restklassenkorper von A displaystyle A nbsp Restklassenkorper diskreter Bewertungsringe Bearbeiten Sei O displaystyle mathcal O nbsp der Bewertungsring eines diskret bewerteten Korpers K displaystyle K nbsp Dann ist O displaystyle mathcal O nbsp ein lokaler Hauptidealring sodass das maximale Ideal von O displaystyle mathcal O nbsp von einem Element p displaystyle pi nbsp erzeugt wird Ein solches Element nennt man ein uniformisierendes Element und man bezeichnet O p displaystyle mathcal O pi nbsp in diesem Fall auch als Restklassenkorper von K displaystyle K nbsp Restklassenkorper von Punkten auf Schemata Bearbeiten Sei X displaystyle X nbsp ein Schema mit einem Punkt x X displaystyle x in X nbsp Dann wird der Restklassenkorper des lokalen Ringes O X x displaystyle mathcal O X x nbsp der Restklassenkorper von X displaystyle X nbsp in x displaystyle x nbsp genannt und wird ublicherweise mit k x displaystyle kappa x nbsp bezeichnet Ist X displaystyle X nbsp ein Schema uber einem Korper k displaystyle k nbsp so sind alle Restklassenkorper von X displaystyle X nbsp Korpererweiterungen von k displaystyle k nbsp Ist X k displaystyle X k nbsp lokal endlichen Typs und x X displaystyle x in X nbsp ein abgeschlossener Punkt so ist k x displaystyle kappa x nbsp eine endliche Erweiterung von k displaystyle k nbsp Dies ist im Wesentlichen die Aussage des hilbertschen Nullstellensatzes Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Restklassenkorper amp oldid 235371216