Der hilbertsche Nullstellensatz stellt in der Mathematik in der klassischen algebraischen Geometrie die zentrale Verbindung zwischen Idealen und affinen algebraischen Varietaten her Er wurde von David Hilbert bewiesen 1 Inhaltsverzeichnis 1 Formulierungen des Satzes 2 Bedeutung 3 Weblinks 4 EinzelnachweiseFormulierungen des Satzes BearbeitenEs gibt verschiedene aquivalente Varianten den Nullstellensatz zu formulieren Man betrachte 2 den Polynomring k X 1 X n displaystyle k X 1 ldots X n nbsp definiert uber einem Korper k displaystyle k nbsp und sei K displaystyle K nbsp der algebraische Abschluss von k displaystyle k nbsp Weiter seien f f 1 f m displaystyle f f 1 ldots f m nbsp Polynome in k X 1 X n displaystyle k X 1 ldots X n nbsp wobei die f i displaystyle f i nbsp ein Ideal I displaystyle I nbsp aufspannen Eine Nullstelle dieser Polynome ist ein Element aus K n displaystyle K n nbsp Wenn jede gemeinsame Nullstelle der Polynome f 1 f m displaystyle f 1 ldots f m nbsp des Ideals I displaystyle I nbsp auch eine Nullstelle von f displaystyle f nbsp ist dann gibt es eine naturliche Zahl r displaystyle r nbsp so dass f r I displaystyle f r in I nbsp das heisst es gibt Polynome g 1 g m k X 1 X n displaystyle g 1 ldots g m in k X 1 ldots X n nbsp so dass f r g 1 f 1 g m f m displaystyle f r g 1 cdot f 1 cdot cdot cdot g m cdot f m nbsp dd Ist K displaystyle K nbsp ein algebraisch abgeschlossener Korper und a K X 1 X n displaystyle mathfrak a subsetneq K X 1 ldots X n nbsp ein echtes Ideal so gibt es ein x K n displaystyle x in K n nbsp so dassf x 1 x n 0 displaystyle f x 1 ldots x n 0 nbsp fur alle f a displaystyle f in mathfrak a nbsp dd x displaystyle x nbsp ist also eine gemeinsame Nullstelle aller Elemente von a displaystyle mathfrak a nbsp In dieser Formulierung ist es eine weitreichende Verallgemeinerung des Fundamentalsatzes der Algebra Ist K displaystyle K nbsp ein algebraisch abgeschlossener Korper und a displaystyle mathfrak a nbsp ein Ideal in K X 1 X n displaystyle K X 1 dots X n nbsp dann gilt a I V a displaystyle sqrt mathfrak a I V mathfrak a nbsp dd Hierbei bedeutet a displaystyle sqrt mathfrak a nbsp das Radikal von a displaystyle mathfrak a nbsp V a K n displaystyle V mathfrak a subseteq K n nbsp die Menge aller gemeinsamen Nullstellen von a displaystyle mathfrak a nbsp wie oben und I X displaystyle I X nbsp das Ideal aller Polynome die auf X K n displaystyle X subseteq K n nbsp verschwinden Die Inklusion a I V a displaystyle sqrt mathfrak a subset I V mathfrak a nbsp ist dabei trivial denn jede Nullstelle von f T r displaystyle f T r nbsp ist auch Nullstelle von f T displaystyle f T nbsp Es sei K displaystyle K nbsp ein Korper und m displaystyle mathfrak m nbsp ein maximales Ideal in A K X 1 X n displaystyle A K X 1 ldots X n nbsp Dann ist der Grad der Korpererweiterung A m K displaystyle A mathfrak m K nbsp endlich Jedes Primideal aus dem Ring k X 1 X n displaystyle k X 1 cdot cdot cdot X n nbsp Polynomring uber einem Korper k displaystyle k nbsp ist der Schnitt der maximalen Ideale die es enthalten Das wurde spater als definierende Eigenschaft des Jacobson Rings genommen 3 Es sei K displaystyle K nbsp ein algebraisch abgeschlossener Korper und m displaystyle mathfrak m nbsp ein maximales Ideal in K X 1 X n displaystyle K X 1 ldots X n nbsp Dann ist m X 1 a 1 X n a n displaystyle mathfrak m X 1 a 1 ldots X n a n nbsp fur einen Punkt a 1 a n K n displaystyle a 1 ldots a n in K n nbsp Es sei K displaystyle K nbsp ein Korper und L K displaystyle L K nbsp eine Korpererweiterung die als K displaystyle K nbsp Algebra endlich erzeugt ist Dann ist L K displaystyle L K nbsp endlich insbesondere ist die Erweiterung algebraisch Bedeutung BearbeitenAus dem hilbertschen Nullstellensatz folgt dass die Abbildungen V displaystyle V nbsp und I displaystyle I nbsp fur einen algebraisch abgeschlossenen Korper eine bijektive Beziehung zwischen affinen algebraischen Mengen in K n displaystyle K n nbsp und Radikalidealen in K X 1 X n displaystyle K X 1 ldots X n nbsp definieren Diese lasst sich einschranken auf bijektive Beziehungen zwischen irreduziblen algebraischen Mengen und Primidealen sowie zwischen Punkten in K n displaystyle K n nbsp und maximalen Idealen Affine Varietaten V displaystyle V nbsp werden durch die Ideale I displaystyle I nbsp definiert und die Nullstellen von I displaystyle I nbsp definieren zugehorige irreduzible affine algebraische Mengen V displaystyle V nbsp Der Nullstellensatz besagt dann dass jede nichtleere affine Varietat V displaystyle V nbsp einen algebraischen Punkt hat Eine effektive Version wurde von W Dale Brownawell 1987 fur Korper der Charakteristik Null und von Janos Kollar 1988 fur beliebige Charakteristik bewiesen Brownawell gab eine obere Schranke fur die Grade der Polynome g i displaystyle g i nbsp vergleiche die erste Version oben wobei diese exponentiell von der Anzahl der Variablen n displaystyle n nbsp abhangt Weblinks Bearbeiten nbsp Wikiversity Ein Beweis des Hilbertschen Nullstellensatzes Kursmaterialien Terence Tao Hilberts NullstellensatzEinzelnachweise Bearbeiten Hilbert Ueber die vollen Invariantensysteme Mathematische Annalen Band 42 1893 S 313 337 Formulierung des Satzes in V Danilov Hilbert s Nullstellen Satz Encyclopedia of Mathematics Springer Jacobson Ring Encyclopedia of Mathematics Springer Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Hilbertscher Nullstellensatz amp oldid 223018122
