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Bijektivitat zum Adjektiv bijektiv welches etwa umkehrbar eindeutig auf bedeutet daher auch der Begriff eineindeutig bzw substantivisch entsprechend Eineindeutigkeit ist ein mathematischer Begriff aus dem Bereich der Mengenlehre Er bezeichnet eine spezielle Eigenschaft von Abbildungen und Funktionen Bijektive Abbildungen und Funktionen nennt man auch Bijektionen Die zu einer mathematischen Struktur auftretenden Bijektionen haben oft eigene Namen wie Isomorphismus Diffeomorphismus Homoomorphismus Spiegelung oder Ahnliches Hier sind dann in der Regel noch zusatzliche Forderungen in Hinblick auf die Erhaltung der jeweils betrachteten Struktur zu erfullen Eine bijektive FunktionZur Veranschaulichung kann man sagen dass bei einer Bijektion eine vollstandige Paarbildung zwischen den Elementen von Definitionsmengen und Zielmengen stattfindet Bijektionen behandeln ihren Definitionsbereich und ihren Wertebereich also symmetrisch deshalb hat eine bijektive Funktion immer eine Umkehrfunktion Bei einer Bijektion haben die Definitionsmenge und die Zielmenge dieselbe Machtigkeit im Falle endlicher Mengen also gleich viele Elemente Die Bijektion einer Menge auf sich selbst heisst auch Permutation Auch hier gibt es in mathematischen Strukturen vielfach eigene Namen Hat die Bijektion daruber hinausgehend strukturerhaltende Eigenschaften spricht man von einem Automorphismus Eine Bijektion zwischen zwei Mengen wird manchmal auch eine bijektive Korrespondenz genannt 1 2 Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Grafische Veranschaulichungen 3 Beispiele und Gegenbeispiele 4 Eigenschaften 5 Geschichte des Begriffs 6 Literatur 7 Weblinks 8 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenSeien X displaystyle X und Y displaystyle Y Mengen und sei f displaystyle f eine Abbildung oder eine Funktion die von X displaystyle X nach Y displaystyle Y abbildet also f X Y displaystyle f colon X to Y Dann heisst f displaystyle f bijektiv wenn fur alle y Y displaystyle y in Y genau ein x X displaystyle x in X mit f x y displaystyle f left x right y existiert formal y Y x X f x y displaystyle forall y in Y exists x in X quad f x y Das bedeutet f displaystyle f ist bijektiv dann und nur dann wenn f displaystyle f sowohl 1 injektiv ist Kein Wert der Zielmenge Y displaystyle Y wird mehrfach angenommen Mit anderen Worten Das Urbild jedes Elements der Zielmenge Y displaystyle Y besteht aus hochstens einem Element von X displaystyle X Aus f x 1 f x 2 displaystyle f x 1 f x 2 folgt daher immer x 1 x 2 displaystyle x 1 x 2 dd als auch 2 surjektiv ist Jedes Element der Zielmenge Y displaystyle Y wird angenommen Mit anderen Worten Die Zielmenge Y displaystyle Y und die Bildmenge f X displaystyle f X stimmen uberein also f X Y displaystyle f left X right Y Fur jedes y displaystyle y aus Y displaystyle Y existiert daher mindestens ein x displaystyle x aus X displaystyle X mit f x y displaystyle f x y dd Grafische Veranschaulichungen Bearbeiten Das Prinzip der Bijektivitat Jeder Punkt in der Zielmenge Y wird genau einmal getroffen Vier bijektive streng monoton steigende reelle stetige Funktionen Vier bijektive streng monoton fallende reelle stetige Funktionen Beispiele und Gegenbeispiele BearbeitenDie Menge der reellen Zahlen wird hier mit R displaystyle mathbb R bezeichnet die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen mit R 0 displaystyle mathbb R 0 Die Funktion f R R x x a displaystyle f colon mathbb R to mathbb R x mapsto x a ist bijektiv mit der Umkehrfunktion f 1 R R x x a displaystyle f 1 colon mathbb R to mathbb R x mapsto x a Ebenso ist fur a 0 displaystyle a neq 0 die Funktion g R R x a x displaystyle g colon mathbb R to mathbb R x mapsto ax bijektiv mit der Umkehrfunktion g 1 R R x x a displaystyle g 1 colon mathbb R to mathbb R x mapsto frac x a Beispiel Ordnet man jedem monogam verheirateten Menschen seinen Ehepartner bzw seine Ehepartnerin zu ist dies eine Bijektion der Menge aller verheirateten Menschen auf sich selbst Dies ist sogar ein Beispiel fur eine selbstinverse Abbildung Die folgenden vier Quadratfunktionen unterscheiden sich nur in ihren Definitions bzw Wertemengen f 1 R R x x 2 displaystyle f 1 colon mathbb R rightarrow mathbb R x mapsto x 2 f 2 R 0 R x x 2 displaystyle f 2 colon mathbb R 0 rightarrow mathbb R x mapsto x 2 f 3 R R 0 x x 2 displaystyle f 3 colon mathbb R rightarrow mathbb R 0 x mapsto x 2 f 4 R 0 R 0 x x 2 displaystyle f 4 colon mathbb R 0 rightarrow mathbb R 0 x mapsto x 2 dd Mit diesen Definitionen istf 1 displaystyle f 1 nicht injektiv nicht surjektiv nicht bijektiv f 2 displaystyle f 2 injektiv nicht surjektiv nicht bijektiv f 3 displaystyle f 3 nicht injektiv surjektiv nicht bijektiv f 4 displaystyle f 4 injektiv surjektiv bijektiv dd Eigenschaften BearbeitenSind A displaystyle A und B displaystyle B endliche Mengen mit gleich vielen Elementen und ist f A B displaystyle f colon A to B eine Funktion dann gilt Ist f displaystyle f injektiv dann ist f displaystyle f bereits bijektiv Ist f displaystyle f surjektiv dann ist f displaystyle f bereits bijektiv Insbesondere gilt also fur Funktionen f A A displaystyle f colon A to A von einer endlichen Menge A displaystyle A in sich selbst f displaystyle f ist injektiv f displaystyle f ist surjektiv f displaystyle f ist bijektiv Fur unendliche Mengen ist das im Allgemeinen falsch Diese konnen injektiv auf echte Teilmengen abgebildet werden ebenso gibt es surjektive Abbildungen einer unendlichen Menge auf sich selbst die keine Bijektionen sind Solche Uberraschungen werden im Artikel Hilberts Hotel detaillierter beschrieben siehe dazu auch Dedekind Unendlichkeit Sind die Funktionen f A B displaystyle f colon A to B und g B C displaystyle g colon B to C bijektiv dann gilt dies auch fur die Verkettung g f A C displaystyle g circ f colon A to C Die Umkehrfunktion von g f displaystyle g circ f ist dann f 1 g 1 displaystyle f 1 circ g 1 Ist g f displaystyle g circ f bijektiv dann ist f displaystyle f injektiv und g displaystyle g surjektiv Ist f A B displaystyle f colon A to B eine Funktion und gibt es eine Funktion g B A displaystyle g colon B to A die die beiden Gleichungeng f id A displaystyle g circ f operatorname id A id A displaystyle operatorname id A Identitat auf der Menge A displaystyle A f g id B displaystyle f circ g operatorname id B id B displaystyle operatorname id B Identitat auf der Menge B displaystyle B dd dd erfullt dann ist f displaystyle f bijektiv und g displaystyle g ist die Umkehrfunktion von f displaystyle f also g f 1 displaystyle g f 1 Die Menge der Permutationen einer gegebenen Grundmenge A displaystyle A bildet zusammen mit der Komposition als Verknupfung eine Gruppe die sogenannte symmetrische Gruppe von A displaystyle A Geschichte des Begriffs BearbeitenNachdem man lange mit Formulierungen wie eineindeutig ausgekommen war kam schliesslich Mitte des 20 Jahrhunderts im Zuge der durchgehend mengentheoretischen Darstellung aller mathematischen Teilgebiete das Bedurfnis nach einer pragnanteren Bezeichnung auf Die Begriffe bijektiv injektiv und surjektiv wurden in den 1950ern von der Autorengruppe Nicolas Bourbaki gepragt 3 Literatur BearbeitenHeinz Dieter Ebbinghaus Einfuhrung in die Mengenlehre 4 Auflage Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg u a 2003 ISBN 3 8274 1411 3 Gerd Fischer Lineare Algebra 17 Auflage Vieweg Teubner Wiesbaden 2010 ISBN 978 3 8348 0996 4 Walter Gellert Herbert Kastner Siegfried Neuber Hrsg Fachlexikon ABC Mathematik Verlag Harri Deutsch Thun und Frankfurt Main 1978 ISBN 3 87144 336 0 Weblinks Bearbeiten Wikibooks Beweisarchiv Mengenlehre Lern und LehrmaterialienEinzelnachweise Bearbeiten Don Zagier Zetafunktionen und quadratische Korper Eine Einfuhrung in die hohere Zahlentheorie Springer 1981 ISBN 3 540 10603 0 hier S 94 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche abgerufen am 7 Juni 2017 Gernot Stroth Algebra Einfuhrung in die Galoistheorie de Gruyter Berlin 1998 ISBN 3 11 015534 6 hier S 100 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche abgerufen am 7 Juni 2017 Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Bijektive Funktion amp oldid 236280035