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Diffeomorphismus In der Mathematik insbesondere in den Gebieten Analysis Differentialgeometrie und Differentialtopologie

Diffeomorphismus

In der Mathematik, insbesondere in den Gebieten Analysis, Differentialgeometrie und Differentialtopologie, ist ein Diffeomorphismus eine bijektive, stetig differenzierbare Abbildung, deren Umkehrabbildung auch stetig differenzierbar ist.

Dabei können die Definitions- und Zielbereiche der Abbildung offene Mengen des endlichdimensionalen reellen Vektorraums sein oder allgemeiner differenzierbare Mannigfaltigkeiten. Je nach Differenzierbarkeitsklasse spricht man von -Diffeomorphismen ().

Bild eines rechtwinkligen Netzes auf einem Quadrat unter einem Diffeomorphismus vom Quadrat auf sich selbst.

Definition Bearbeiten

Im Vektorraum Bearbeiten

Eine Abbildung zwischen offenen Teilmengen des reellen Vektorraums heißt Diffeomorphismus, falls gilt:

Sind und sogar -mal stetig differenzierbar („von der Klasse “, ), so nennt man einen -Diffeomorphismus. Sind und beliebig oft differenzierbar („von der Klasse “), so bezeichnet man als -Diffeomorphismus. Sind und beide reell-analytisch („von der Klasse “), so nennt man einen -Diffeomorphismus.

Eine Abbildung zwischen offenen Teilmengen heißt lokaler Diffeomorphismus, falls jeder Punkt eine offene Umgebung besitzt, so dass deren Bild offen und die Einschränkung von auf ein Diffeomorphismus ist.

Auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten Bearbeiten

Auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten wird der Begriff analog definiert:

Eine Abbildung zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und heißt Diffeomorphismus, falls sie bijektiv ist und sowohl als auch die Umkehrabbildung stetig differenzierbar sind. Wie oben werden die Begriffe -, - und -Diffeomorphismus und lokaler Diffeomorphismus definiert.

Zwei Mannigfaltigkeiten und heißen diffeomorph, falls es einen Diffeomorphismus von nach gibt. Mannigfaltigkeiten, die diffeomorph sind, unterscheiden sich bezüglich ihrer differenzierbaren Struktur nicht.

Damit ist die Diffeomorphie gerade die Isomorphie in der Kategorie der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten.

Eigenschaften Bearbeiten

  • Ein Diffeomorphismus ist immer auch ein Homöomorphismus, die Umkehrung gilt aber nicht.
  • Aus der Differenzierbarkeit der Umkehrabbildung folgt, dass in jedem Punkt die Ableitung von (als lineare Abbildung von nach bzw. vom Tangentialraum nach ) invertierbar (bijektiv, regulär, von maximalem Rang) ist.
  • Ist umgekehrt die Abbildung bijektiv und (-mal) stetig differenzierbar und ist ihre Ableitung an jeder Stelle invertierbar, so ist ein ()-Diffeomorphismus.

Eine stärkere Aussage enthält der Satz über die Umkehrabbildung:

Satz über die Umkehrabbildung Bearbeiten

Eine differenzierbare Abbildung mit invertierbarem Differential ist lokal ein Diffeomorphismus. Genauer formuliert:

Sei stetig differenzierbar und die Ableitung von sei an der Stelle invertierbar. Dann existiert eine offene Umgebung von in , so dass offen und die Einschränkung ein Diffeomorphismus ist.

Diese Aussage gilt sowohl für Abbildungen zwischen offenen Mengen des als auch für Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten.

Beispiele Bearbeiten

  • Die Abbildung , wobei , ist ein Diffeomorphismus zwischen der offenen Menge und der Menge der reellen Zahlen . Damit ist das offene Intervall diffeomorph zu .
  • Die Abbildung , , ist bijektiv und differenzierbar. Sie ist aber kein Diffeomorphismus, denn ist an der Stelle 0 nicht differenzierbar.

Diffeomorphie und Homöomorphie Bearbeiten

Bei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten in Dimension kleiner 4 impliziert Homöomorphie immer Diffeomorphie: Zwei differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Dimension kleiner oder gleich 3, die homöomorph sind, sind auch diffeomorph. D. h., wenn es einen Homöomorphismus gibt, dann gibt es auch einen Diffeomorphismus. Dies bedeutet nicht, dass jeder Homöomorphismus ein Diffeomorphismus wäre.

In höheren Dimensionen ist dies nicht unbedingt der Fall. Ein prominentes Beispiel sind die Milnor-Sphären, nach John Willard Milnor: Sie sind homöomorph zur normalen 7-dimensionalen Sphäre, aber nicht diffeomorph. Für diese Entdeckung erhielt Milnor 1962 die Fields-Medaille.

Literatur Bearbeiten

  • Klaus Jänich: Vektoranalysis. 5. Auflage. Springer Verlag, Berlin u. a. 2005, ISBN 3-540-23741-0 (Springer-Lehrbuch).
  • D. K. Arrowsmith, C. M. Place: An Introduction to Dynamical Systems. Cambridge University Press, Cambridge u. a. 1990, ISBN 0-521-30362-1.
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In der Mathematik insbesondere in den Gebieten Analysis Differentialgeometrie und Differentialtopologie ist ein Diffeomorphismus eine bijektive stetig differenzierbare Abbildung deren Umkehrabbildung auch stetig differenzierbar ist Dabei konnen die Definitions und Zielbereiche der Abbildung offene Mengen des endlichdimensionalen reellen Vektorraums R n displaystyle mathbb R n sein oder allgemeiner differenzierbare Mannigfaltigkeiten Je nach Differenzierbarkeitsklasse spricht man von C k displaystyle C k Diffeomorphismen k 1 2 w displaystyle k in 1 2 dots infty omega Bild eines rechtwinkligen Netzes auf einem Quadrat unter einem Diffeomorphismus vom Quadrat auf sich selbst Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Im Vektorraum 1 2 Auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten 2 Eigenschaften 2 1 Satz uber die Umkehrabbildung 3 Beispiele 4 Diffeomorphie und Homoomorphie 5 LiteraturDefinition BearbeitenIm Vektorraum Bearbeiten Eine Abbildung f U V displaystyle f colon U to V nbsp zwischen offenen Teilmengen U V displaystyle U V nbsp des reellen Vektorraums R n displaystyle mathbb R n nbsp heisst Diffeomorphismus falls gilt f displaystyle f nbsp ist bijektiv f displaystyle f nbsp ist uberall stetig differenzierbar die Umkehrabbildung f 1 displaystyle f 1 nbsp ist uberall stetig differenzierbar Sind f displaystyle f nbsp und f 1 displaystyle f 1 nbsp sogar k displaystyle k nbsp mal stetig differenzierbar von der Klasse C k displaystyle C k nbsp k 1 2 3 displaystyle k 1 2 3 dotsc nbsp so nennt man f displaystyle f nbsp einen C k displaystyle C k nbsp Diffeomorphismus Sind f displaystyle f nbsp und f 1 displaystyle f 1 nbsp beliebig oft differenzierbar von der Klasse C displaystyle C infty nbsp so bezeichnet man f displaystyle f nbsp als C displaystyle C infty nbsp Diffeomorphismus Sind f displaystyle f nbsp und f 1 displaystyle f 1 nbsp beide reell analytisch von der Klasse C w displaystyle C omega nbsp so nennt man f displaystyle f nbsp einen C w displaystyle C omega nbsp Diffeomorphismus Eine Abbildung f U V displaystyle f colon U to V nbsp zwischen offenen Teilmengen U V R n displaystyle U V subset mathbb R n nbsp heisst lokaler Diffeomorphismus falls jeder Punkt p U displaystyle p in U nbsp eine offene Umgebung W U displaystyle W subset U nbsp besitzt so dass deren Bild f W V displaystyle f W subset V nbsp offen und die Einschrankung f W W f W displaystyle f W colon W to f W nbsp von f displaystyle f nbsp auf W displaystyle W nbsp ein Diffeomorphismus ist Auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten Bearbeiten Auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten wird der Begriff analog definiert Eine Abbildung f M N displaystyle f colon M to N nbsp zwischen zwei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten M displaystyle M nbsp und N displaystyle N nbsp heisst Diffeomorphismus falls sie bijektiv ist und sowohl f displaystyle f nbsp als auch die Umkehrabbildung stetig differenzierbar sind Wie oben werden die Begriffe C k displaystyle C k nbsp C displaystyle C infty nbsp und C w displaystyle C omega nbsp Diffeomorphismus und lokaler Diffeomorphismus definiert Zwei Mannigfaltigkeiten M displaystyle M nbsp und N displaystyle N nbsp heissen diffeomorph falls es einen Diffeomorphismus f displaystyle f nbsp von M displaystyle M nbsp nach N displaystyle N nbsp gibt Mannigfaltigkeiten die diffeomorph sind unterscheiden sich bezuglich ihrer differenzierbaren Struktur nicht Damit ist die Diffeomorphie gerade die Isomorphie in der Kategorie der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten Eigenschaften BearbeitenEin Diffeomorphismus ist immer auch ein Homoomorphismus die Umkehrung gilt aber nicht Aus der Differenzierbarkeit der Umkehrabbildung folgt dass in jedem Punkt p displaystyle p nbsp die Ableitung von f displaystyle f nbsp als lineare Abbildung von R n displaystyle mathbb R n nbsp nach R n displaystyle mathbb R n nbsp bzw vom Tangentialraum T p M displaystyle T p M nbsp nach T f p N displaystyle T f p N nbsp invertierbar bijektiv regular von maximalem Rang ist Ist umgekehrt die Abbildung f displaystyle f nbsp bijektiv und k displaystyle k nbsp mal stetig differenzierbar und ist ihre Ableitung an jeder Stelle invertierbar so ist f displaystyle f nbsp ein C k displaystyle C k nbsp Diffeomorphismus Eine starkere Aussage enthalt der Satz uber die Umkehrabbildung Satz uber die Umkehrabbildung Bearbeiten Eine differenzierbare Abbildung mit invertierbarem Differential ist lokal ein Diffeomorphismus Genauer formuliert Sei f U V displaystyle f colon U to V nbsp stetig differenzierbar und die Ableitung von f displaystyle f nbsp sei an der Stelle p U displaystyle p in U nbsp invertierbar Dann existiert eine offene Umgebung W displaystyle W nbsp von p displaystyle p nbsp in U displaystyle U nbsp so dass f W displaystyle f W nbsp offen und die Einschrankung f W W f W displaystyle f W colon W to f W nbsp ein Diffeomorphismus ist Diese Aussage gilt sowohl fur Abbildungen zwischen offenen Mengen des R n displaystyle mathbb R n nbsp als auch fur Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten Beispiele BearbeitenDie Abbildung f 1 1 R displaystyle f colon 1 1 to mathbb R nbsp wobei f t tan t p 2 displaystyle f t tan left t cdot pi 2 right nbsp ist ein Diffeomorphismus zwischen der offenen Menge 1 1 displaystyle 1 1 nbsp und der Menge der reellen Zahlen R displaystyle mathbb R nbsp Damit ist das offene Intervall 1 1 displaystyle 1 1 nbsp diffeomorph zu R displaystyle mathbb R nbsp Die Abbildung f R R displaystyle f colon mathbb R to mathbb R nbsp f x x 3 displaystyle f x x 3 nbsp ist bijektiv und differenzierbar Sie ist aber kein Diffeomorphismus denn f 1 displaystyle f 1 nbsp ist an der Stelle 0 nicht differenzierbar Diffeomorphie und Homoomorphie BearbeitenBei differenzierbaren Mannigfaltigkeiten in Dimension kleiner 4 impliziert Homoomorphie immer Diffeomorphie Zwei differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Dimension kleiner oder gleich 3 die homoomorph sind sind auch diffeomorph D h wenn es einen Homoomorphismus gibt dann gibt es auch einen Diffeomorphismus Dies bedeutet nicht dass jeder Homoomorphismus ein Diffeomorphismus ware In hoheren Dimensionen ist dies nicht unbedingt der Fall Ein prominentes Beispiel sind die Milnor Spharen nach John Willard Milnor Sie sind homoomorph zur normalen 7 dimensionalen Sphare aber nicht diffeomorph Fur diese Entdeckung erhielt Milnor 1962 die Fields Medaille Literatur BearbeitenKlaus Janich Vektoranalysis 5 Auflage Springer Verlag Berlin u a 2005 ISBN 3 540 23741 0 Springer Lehrbuch D K Arrowsmith C M Place An Introduction to Dynamical Systems Cambridge University Press Cambridge u a 1990 ISBN 0 521 30362 1 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Diffeomorphismus amp oldid 226914841