Im mathematischen Teilgebiet der algebraischen Topologie sind die Barratt-Milnor-Sphären ein Beispiel eines kompakten endlich-dimensionalen Raumes, dessen Homologiegruppen in beliebig hohen Graden nicht verschwinden und sogar überabzählbare Dimension haben. Sie sind nach Michael Barratt und John Milnor benannt.
Definition Bearbeiten
Die -dimensionale Barratt-Milnor-Sphäre kann definiert werden als
Es handelt sich also um eine abzählbare Vereinigung von -Sphären, die einen einzelnen Punkt gemeinsam haben und deren Topologie von einer Metrik kommt, in der die Durchmesser der Sphären mit wachsendem gegen Null konvergieren.
Für erhält man den Hawaiischen Ohrring. Die Bezeichnung Barratt-Milnor-Sphäre wird nur für verwendet.
Homologiegruppen Bearbeiten
Für sind die singulären Homologiegruppen nicht Null und sogar überabzählbar.
Eigenschaften Bearbeiten
Die -dimensionalen Barratt-Milnor-Sphären sind -zusammenhängend und lokal -zusammenhängend.
Sie sind aber nicht semilokal -zusammenhängend.
Sie sind kompakt und -dimensional.
Sie sind die Einpunkt-Kompaktifizierung einer abzählbaren Vereinigung von s.
Literatur Bearbeiten
- M. Barratt, J. Milnor: An example of anomalous singular homology, Proc. Amer. Math. Soc. 13, 293–297 (1962)