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Zielmenge In der Mathematik wird bei einer Funktion f A B displaystyle f colon A to B die die Elemente einer Menge A dis

Zielmenge

In der Mathematik wird bei einer Funktion , die die Elemente einer Menge auf Elemente einer Menge abbildet, als Zielmenge oder Wertevorrat der Funktion bezeichnet.

Abbildung 1: Eine Funktion von nach .

Häufig wird dafür auch das Wort Wertemenge oder Wertebereich benutzt; diese Wörter bezeichnen aber oft stattdessen die Bildmenge von . Es besteht also Verwechslungsgefahr. In Deutschland herrscht im Schulunterricht Klarheit; es wird nur die Bezeichnung Wertemenge (oder Wertebereich) im Sinne der Bildmenge benutzt. Die Zielmenge ist nur der Vorrat für mögliche Werte von ; es ist nicht zwingend erforderlich, dass diese auch tatsächlich alle durch angenommen werden.

Die Menge der Werte, die als Funktionswert von erscheinen, ist die Bildmenge. Ist die Bildmenge von gleich der Zielmenge von , so heißt surjektiv (rechtstotal).

Die Zielmenge ist ein unterscheidender Bestandteil einer Funktion. Funktionen mit gleichem Definitionsbereich und gleicher Funktionsvorschrift, aber verschiedener Zielmenge, sind nicht gleich.

Beispiel Bearbeiten

Gesucht ist eine Funktion , die jedem Punkt der euklidischen Ebene seinen Abstand vom Nullpunkt zuordnet. Die Lösung lautet:

Die Zielmenge der Funktion ist , die Menge der reellen Zahlen. Da der Abstand nie negativ sein kann, werden nicht alle möglichen Werte angenommen. Die Bildmenge besteht genau aus den nichtnegativen reellen Zahlen (oft mit bezeichnet).

Die Funktion mit hat denselben Definitionsbereich, dieselbe Funktionsvorschrift und dieselbe Bildmenge wie . Da aber die Zielmengen verschieden sind, gilt .

Zusammenhang zwischen den Mengen Bearbeiten

Anhand der einfachen Beispielfunktion aus Abbildung 1 sollen noch einmal die verschiedenen auftretenden Mengen erklärt werden:

  • Die Definitionsmenge () enthält die Elemente 1, 2, 3, 4.
  • Die Zielmenge () enthält die Elemente a, b, c, d.
  • Die Bildmenge besteht aus den Elementen b, c, d. Nur diese drei werden als Funktionswerte tatsächlich angenommen.
  • Definitionsbereich ist ein anderes Wort für Definitionsmenge.
  • Wertevorrat ist ein anderes Wort für Zielmenge.
  • Wertemenge und Wertebereich sind in ihrer Bedeutung nicht eindeutig festgelegt und können die Zielmenge oder auch die Bildmenge bezeichnen. In Deutschland herrscht im Schulunterricht Klarheit, es wird nur der Bezeichner Wertemenge (Wertebereich) im Sinne der Bildmenge benutzt.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Harro Heuser, Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 8. Auflage, B. G. Teubner, Stuttgart 1990. ISBN 3-519-12231-6. S. 104.
  2. G. Wittstock Vorlesungsskript zu Analysis 1 (PDF; 365 kB) Wintersemester 2000-2001. Bezeichnung 1.3.3, S. 19.
  3. ↑ Reinhard Dobbener: Analysis. Oldenbourg Wissenschaftsverlag 2007, ISBN 3486579991. S 12, Definition 1.12.
  4. (Memento vom 4. März 2016 im Internet Archive) Seite 13, Definition 1.18.
  5. Michael Ruzicka: Analysis I. Vorlesung vom Wintersemester 2004/2005. S 21 (PDF; 74 kB).
  6. Harro Heuser, Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 8. Auflage, B. G. Teubner, Stuttgart 1990, ISBN 3-519-12231-6, S. 106.
  7. Hlawka, Binder Schmitt: Grundbegriffe der Mathematik. Prugg Verlag Wien 1979, S. 27.
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In der Mathematik wird bei einer Funktion f A B displaystyle f colon A to B die die Elemente einer Menge A displaystyle A auf Elemente einer Menge B displaystyle B abbildet B displaystyle B als Zielmenge 1 oder Wertevorrat 2 3 der Funktion bezeichnet Abbildung 1 Eine Funktion von A displaystyle A nach B displaystyle B Haufig wird dafur auch das Wort Wertemenge 4 oder Wertebereich 3 5 benutzt diese Worter bezeichnen aber oft stattdessen die Bildmenge 6 von f displaystyle f Es besteht also Verwechslungsgefahr In Deutschland herrscht im Schulunterricht Klarheit es wird nur die Bezeichnung Wertemenge oder Wertebereich im Sinne der Bildmenge benutzt Die Zielmenge ist nur der Vorrat fur mogliche Werte von f displaystyle f es ist nicht zwingend erforderlich dass diese auch tatsachlich alle durch f displaystyle f angenommen werden Die Menge der Werte die als Funktionswert von f displaystyle f erscheinen ist die Bildmenge Ist die Bildmenge von f displaystyle f gleich der Zielmenge von f displaystyle f so heisst f displaystyle f surjektiv rechtstotal Die Zielmenge ist ein unterscheidender Bestandteil einer Funktion Funktionen mit gleichem Definitionsbereich und gleicher Funktionsvorschrift aber verschiedener Zielmenge sind nicht gleich 7 Beispiel BearbeitenGesucht ist eine Funktion f R 2 R displaystyle f colon mathbb R 2 to mathbb R nbsp die jedem Punkt der euklidischen Ebene seinen Abstand vom Nullpunkt zuordnet Die Losung lautet f a b a 2 b 2 displaystyle f a b sqrt a 2 b 2 nbsp Die Zielmenge der Funktion ist R displaystyle mathbb R nbsp die Menge der reellen Zahlen Da der Abstand nie negativ sein kann werden nicht alle moglichen Werte angenommen Die Bildmenge besteht genau aus den nichtnegativen reellen Zahlen oft mit R 0 displaystyle mathbb R 0 nbsp bezeichnet Die Funktion g R 2 R 0 displaystyle g colon mathbb R 2 to mathbb R 0 nbsp mit g a b a 2 b 2 displaystyle g a b sqrt a 2 b 2 nbsp hat denselben Definitionsbereich dieselbe Funktionsvorschrift und dieselbe Bildmenge wie f displaystyle f nbsp Da aber die Zielmengen verschieden sind gilt f g displaystyle f neq g nbsp Zusammenhang zwischen den Mengen BearbeitenAnhand der einfachen Beispielfunktion aus Abbildung 1 sollen noch einmal die verschiedenen auftretenden Mengen erklart werden Die Definitionsmenge A displaystyle A nbsp enthalt die Elemente 1 2 3 4 Die Zielmenge B displaystyle B nbsp enthalt die Elemente a b c d Die Bildmenge besteht aus den Elementen b c d Nur diese drei werden als Funktionswerte tatsachlich angenommen Definitionsbereich ist ein anderes Wort fur Definitionsmenge Wertevorrat ist ein anderes Wort fur Zielmenge Wertemenge und Wertebereich sind in ihrer Bedeutung nicht eindeutig festgelegt und konnen die Zielmenge oder auch die Bildmenge bezeichnen In Deutschland herrscht im Schulunterricht Klarheit es wird nur der Bezeichner Wertemenge Wertebereich im Sinne der Bildmenge benutzt Einzelnachweise Bearbeiten Harro Heuser Lehrbuch der Analysis Teil 1 8 Auflage B G Teubner Stuttgart 1990 ISBN 3 519 12231 6 S 104 G Wittstock Vorlesungsskript zu Analysis 1 PDF 365 kB Wintersemester 2000 2001 Bezeichnung 1 3 3 S 19 a b Reinhard Dobbener Analysis Oldenbourg Wissenschaftsverlag 2007 ISBN 3486579991 S 12 Definition 1 12 Andreas Gathmann Vorlesung Grundlagen der Mathematik Kapitel 1 Etwas Logik und Mengenlehre Memento vom 4 Marz 2016 im Internet Archive Seite 13 Definition 1 18 Michael Ruzicka Analysis I Vorlesung vom Wintersemester 2004 2005 S 21 PDF 74 kB Harro Heuser Lehrbuch der Analysis Teil 1 8 Auflage B G Teubner Stuttgart 1990 ISBN 3 519 12231 6 S 106 Hlawka Binder Schmitt Grundbegriffe der Mathematik Prugg Verlag Wien 1979 S 27 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Zielmenge amp oldid 235072334