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Primideal In der Ringtheorie ist ein eine Teilmenge eines Ringes die sich ähnlich wie eine Primzahl als Element der ganz

Primideal

In der Ringtheorie ist ein Primideal eine Teilmenge eines Ringes, die sich ähnlich wie eine Primzahl als Element der ganzen Zahlen verhält.

Definitionen Bearbeiten

Es sei ein Ring. Dann heißt ein zweiseitiges Ideal Primideal oder prim, falls echt ist, also , und wenn für alle Ideale gilt:

Außerdem heißt vollständiges Primideal oder vollprim, falls echt ist und wenn für alle gilt:

Äquivalente Definitionen Bearbeiten

  • Ein zweiseitiges Ideal ist genau dann prim, falls es echt ist und wenn für alle gilt:

Spektrum Bearbeiten

Die Menge aller (echten) Primideale eines Rings heißt Spektrum von und wird mit notiert.

Eigenschaften Bearbeiten

  • Jedes vollprime Ideal ist prim, aber nicht umgekehrt. Zum Beispiel ist das Nullideal im Ring der reellen -Matrizen prim, aber nicht vollprim.
  • In kommutativen Ringen sind prim und vollprim äquivalent.

In kommutativen Ringen mit Einselement gilt:

  • Ein Element ist genau dann ein Primelement, wenn das von erzeugte Hauptideal ein Primideal ist.
  • Ein Ideal ist genau dann prim, wenn der Faktorring ein Integritätsring ist.
  • Enthält ein Primideal einen Durchschnitt von endlich vielen Idealen von , so enthält es auch eines der Ideale .
  • Ein Ideal ist genau dann ein Primideal, wenn die Komplementärmenge multiplikativ abgeschlossen ist. Das führt zum Begriff der Lokalisierung nach , worunter man den Ring versteht, den man auch als schreibt.

Beispiele Bearbeiten

  • Die Menge der geraden ganzen Zahlen ist ein Primideal im Ring der ganzen Zahlen, da ein Produkt zweier ganzer Zahlen nur dann gerade ist, wenn wenigstens ein Faktor gerade ist.
  • Die Menge der durch 6 teilbaren ganzen Zahlen ist kein Primideal in , da 2·3 = 6 in der Teilmenge liegt, aber weder 2 noch 3.
  • Im Ring ist das maximale Ideal kein Primideal.
  • Ein maximales Ideal eines Ringes ist genau dann prim, wenn . Insbesondere ist prim, falls ein Einselement enthält.
  • Das Nullideal in einem kommutativen Ring mit Einselement ist genau dann ein Primideal, wenn ein Integritätsbereich ist. In einem nicht-kommutativen Ring gilt diese Äquivalenz nicht.
  • Allgemein ist das Urbild eines Primideals unter einem Ringhomomorphismus ein Primideal.

Lying Over und Going Down Bearbeiten

Im Folgenden sei stets ein kommutativer Ring und eine ganze Ringerweiterung. Dann existiert zu jedem Primideal ein Primideal , so dass über liegt, d. h.

In diesem Fall sagt man auch, dass die Lying Over Eigenschaft erfüllt. Ist zudem eine Einbettung von in , so ist die von induzierte Abbildung mit surjektiv.

Des Weiteren erfüllt die Going Down Eigenschaft, falls folgendes gilt: Ist

eine Kette von Primidealen in und

eine Kette von Primidealen in mit , so dass außerdem über liegt für alle , so lässt sich letztere zu einer Kette

ergänzen, so dass jedes über liegt. Diese ist unter anderem dann erfüllt, wenn Integritätsringe sind und ganzabgeschlossen ist.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), Definition 2.2.3'
  2. K. Meyberg: Algebra, Teil 1, Carl Hanser Verlag München (1975), ISBN 3-446-11965-5, Satz 3.6.5
  3. Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6, Kapitel III, § 4, Beispiel d) hinter Satz 3.5
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In der Ringtheorie ist ein Primideal eine Teilmenge eines Ringes die sich ahnlich wie eine Primzahl als Element der ganzen Zahlen verhalt Inhaltsverzeichnis 1 Definitionen 1 1 Aquivalente Definitionen 1 2 Spektrum 2 Eigenschaften 3 Beispiele 4 Lying Over und Going Down 5 EinzelnachweiseDefinitionen BearbeitenEs sei R displaystyle R nbsp ein Ring Dann heisst ein zweiseitiges Ideal p R displaystyle mathfrak p subseteq R nbsp Primideal oder prim falls p displaystyle mathfrak p nbsp echt ist also p R displaystyle mathfrak p neq R nbsp und wenn fur alle Ideale a b R displaystyle mathfrak a b subseteq R nbsp gilt 1 Aus a b p displaystyle mathfrak ab subseteq mathfrak p nbsp folgt a p displaystyle mathfrak a subseteq mathfrak p nbsp oder b p displaystyle mathfrak b subseteq mathfrak p nbsp Ausserdem heisst p displaystyle mathfrak p nbsp vollstandiges Primideal oder vollprim falls p displaystyle mathfrak p nbsp echt ist und wenn fur alle a b R displaystyle a b in R nbsp gilt Aus a b p displaystyle ab in mathfrak p nbsp folgt a p displaystyle a in mathfrak p nbsp oder b p displaystyle b in mathfrak p nbsp Aquivalente Definitionen Bearbeiten Ein zweiseitiges Ideal p R displaystyle mathfrak p subseteq R nbsp ist genau dann prim falls es echt ist und wenn fur alle a b R displaystyle a b in R nbsp gilt Aus a b p displaystyle ab in mathfrak p nbsp folgt a p displaystyle a in mathfrak p nbsp oder b p displaystyle b in mathfrak p nbsp Ein zweiseitiges Ideal p R displaystyle mathfrak p subseteq R nbsp ist genau dann vollprim falls es echt ist und wenn der Faktorring R p displaystyle R mathfrak p nbsp nullteilerfrei ist Spektrum Bearbeiten Die Menge aller echten Primideale eines Rings R displaystyle R nbsp heisst Spektrum von R displaystyle R nbsp und wird mit S p e c R displaystyle mathrm Spec R nbsp notiert Eigenschaften BearbeitenJedes vollprime Ideal ist prim aber nicht umgekehrt Zum Beispiel ist das Nullideal im Ring der reellen 2 2 displaystyle 2 times 2 nbsp Matrizen prim aber nicht vollprim In kommutativen Ringen sind prim und vollprim aquivalent In kommutativen Ringen R displaystyle R nbsp mit Einselement gilt Ein Element p R 0 displaystyle p in R backslash left 0 right nbsp ist genau dann ein Primelement wenn das von p displaystyle p nbsp erzeugte Hauptideal p displaystyle p nbsp ein Primideal ist 2 Ein Ideal p R displaystyle mathfrak p subset R nbsp ist genau dann prim wenn der Faktorring R p displaystyle R mathfrak p nbsp ein Integritatsring ist Enthalt ein Primideal einen Durchschnitt a 1 a n displaystyle mathfrak a 1 cap ldots cap mathfrak a n nbsp von endlich vielen Idealen von R displaystyle R nbsp so enthalt es auch eines der Ideale a i displaystyle mathfrak a i nbsp Ein Ideal p R displaystyle mathfrak p subset R nbsp ist genau dann ein Primideal wenn die Komplementarmenge S R p displaystyle S R setminus mathfrak p nbsp multiplikativ abgeschlossen ist Das fuhrt zum Begriff der Lokalisierung nach p displaystyle mathfrak p nbsp worunter man den Ring S 1 R displaystyle S 1 R nbsp versteht den man auch als R p displaystyle R mathfrak p nbsp schreibt 3 Beispiele BearbeitenDie Menge 2 Z displaystyle 2 mathbb Z nbsp der geraden ganzen Zahlen ist ein Primideal im Ring Z displaystyle mathbb Z nbsp der ganzen Zahlen da ein Produkt zweier ganzer Zahlen nur dann gerade ist wenn wenigstens ein Faktor gerade ist Die Menge 6 Z displaystyle 6 mathbb Z nbsp der durch 6 teilbaren ganzen Zahlen ist kein Primideal in Z displaystyle mathbb Z nbsp da 2 3 6 in der Teilmenge liegt aber weder 2 noch 3 Im Ring R 2 Z displaystyle R 2 mathbb Z nbsp ist das maximale Ideal m 4 Z displaystyle mathfrak m 4 mathbb Z nbsp kein Primideal Ein maximales Ideal m R displaystyle mathfrak m subseteq R nbsp eines Ringes R displaystyle R nbsp ist genau dann prim wenn R R m displaystyle RR nsubseteq mathfrak m nbsp Insbesondere ist m displaystyle mathfrak m nbsp prim falls R displaystyle R nbsp ein Einselement enthalt Das Nullideal 0 R displaystyle 0 subset R nbsp in einem kommutativen Ring R displaystyle R nbsp mit Einselement ist genau dann ein Primideal wenn R displaystyle R nbsp ein Integritatsbereich ist In einem nicht kommutativen Ring gilt diese Aquivalenz nicht Allgemein ist das Urbild eines Primideals unter einem Ringhomomorphismus ein Primideal Lying Over und Going Down BearbeitenIm Folgenden sei stets R displaystyle R nbsp ein kommutativer Ring und R S displaystyle R subset S nbsp eine ganze Ringerweiterung Dann existiert zu jedem Primideal p R displaystyle mathfrak p subset R nbsp ein Primideal q S displaystyle mathfrak q subset S nbsp so dass q displaystyle mathfrak q nbsp uber p displaystyle mathfrak p nbsp liegt d h p q R displaystyle mathfrak p mathfrak q cap R nbsp In diesem Fall sagt man auch dass S R displaystyle S R nbsp die Lying Over Eigenschaft erfullt Ist zudem f R S displaystyle f R hookrightarrow S nbsp eine Einbettung von R displaystyle R nbsp in S displaystyle S nbsp so ist die von f displaystyle f nbsp induzierte Abbildung f S p e c S S p e c R displaystyle f mathrm Spec S longrightarrow mathrm Spec R nbsp mit q f 1 q displaystyle mathfrak q longmapsto f 1 mathfrak q nbsp surjektiv Des Weiteren erfullt S R displaystyle S R nbsp die Going Down Eigenschaft falls folgendes gilt Ist p 1 p 2 p n displaystyle mathfrak p 1 supseteq mathfrak p 2 supseteq cdots supseteq mathfrak p n nbsp eine Kette von Primidealen in R displaystyle R nbsp und q 1 q 2 q m displaystyle mathfrak q 1 supseteq mathfrak q 2 supseteq cdots supseteq mathfrak q m nbsp eine Kette von Primidealen in S displaystyle S nbsp mit m lt n displaystyle m lt n nbsp so dass ausserdem q i displaystyle mathfrak q i nbsp uber p i displaystyle mathfrak p i nbsp liegt fur alle 1 i m displaystyle 1 leq i leq m nbsp so lasst sich letztere zu einer Kette q 1 q 2 q n displaystyle mathfrak q 1 supseteq mathfrak q 2 supseteq cdots supseteq mathfrak q n nbsp erganzen so dass jedes q i displaystyle mathfrak q i nbsp uber p i displaystyle mathfrak p i nbsp liegt Diese ist unter anderem dann erfullt wenn R S displaystyle R S nbsp Integritatsringe sind und R displaystyle R nbsp ganzabgeschlossen ist Einzelnachweise Bearbeiten Louis H Rowen Ring Theory Band 1 Academic Press Inc Boston u a 1988 ISBN 0 125 99841 4 Pure and Applied Mathematics 127 Definition 2 2 3 K Meyberg Algebra Teil 1 Carl Hanser Verlag Munchen 1975 ISBN 3 446 11965 5 Satz 3 6 5 Ernst Kunz Einfuhrung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie Vieweg 1980 ISBN 3 528 07246 6 Kapitel III 4 Beispiel d hinter Satz 3 5 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Primideal amp oldid 218714213