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Hauptideal Das ist ein Begriff aus der Ringtheorie einem Teilgebiet der Algebra Es stellt eine Verallgemeinerung der aus

Hauptideal

Das Hauptideal ist ein Begriff aus der Ringtheorie, einem Teilgebiet der Algebra. Es stellt eine Verallgemeinerung der aus der Schulmathematik bekannten Teilmengen der ganzen Zahlen dar, die Vielfache einer Zahl sind. Beispiele für solche Teilmengen sind die geraden Zahlen oder die Vielfachen der Zahl 3.

Definition Bearbeiten

Ein Hauptideal eines Ringes ist ein von einem einzigen Element erzeugtes Ideal.

Eigenschaften Bearbeiten

Mit den Komplexprodukten

und

gilt jeweils für das von erzeugte

  • Haupt-Linksideal:
  • Haupt-Rechtsideal:
  • (zweiseitige) Hauptideal:

Falls der Ring ein Einselement 1 besitzt, folgt für das

  • Haupt-Linksideal:
  • Haupt-Rechtsideal:
  • (zweiseitige) Hauptideal:

Bemerkungen Bearbeiten

  • Es ist durchaus geläufig, mit das von erzeugte Hauptideal zu bezeichnen (und nicht nur das darin enthaltene Komplexprodukt).
  • In kommutativen Ringen stimmen alle drei Arten von Hauptidealen überein, im Allgemeinen jedoch nicht.
  • Nicht jedes Ideal eines Ringes muss ein Hauptideal sein. Als Beispiel betrachten wir den kommutativen Ring aller Polynome in zwei Unbestimmten über einem Körper . Das von den beiden Polynomen und erzeugte Ideal besteht aus allen Polynomen aus , deren Absolutglied gleich ist. Dieses Ideal ist kein Hauptideal, denn wäre ein Polynom ein Erzeuger von , dann müsste ein Teiler sowohl von als auch von sein, was nur auf die konstanten Polynome ungleich zutrifft. Diese sind aber in nicht enthalten.

Verwandter Begriff Bearbeiten

Ein Integritätsring, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt Hauptidealring.

Literatur Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Principal ideal. Encyclopedia of Mathematics. URL: https://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Principal_ideal&oldid=35049, abgerufen am 12. April 2018.
  2. Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-12-599841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), Seite 21
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Veröffentlichungsdatum:
Das Hauptideal ist ein Begriff aus der Ringtheorie einem Teilgebiet der Algebra Es stellt eine Verallgemeinerung der aus der Schulmathematik bekannten Teilmengen der ganzen Zahlen dar die Vielfache einer Zahl sind Beispiele fur solche Teilmengen sind die geraden Zahlen oder die Vielfachen der Zahl 3 Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 2 1 Bemerkungen 3 Verwandter Begriff 4 Literatur 5 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEin Hauptideal eines Ringes R displaystyle R nbsp ist ein von einem einzigen Element a R displaystyle a in R nbsp erzeugtes Ideal a a displaystyle a left left a right right nbsp Eigenschaften BearbeitenMit den Komplexprodukten R a r a r R displaystyle Ra ra mid r in R nbsp a R a r r R displaystyle aR ar mid r in R nbsp und R a R r a s r s R displaystyle RaR ras mid r s in R nbsp gilt jeweils fur das von a R displaystyle a in R nbsp erzeugte Haupt Linksideal a a 1 a n n N und a 1 a n a R a displaystyle a a 1 ldots a n n in mathbb N mbox und a 1 ldots a n in pm a cup Ra nbsp Haupt Rechtsideal a a 1 a n n N und a 1 a n a a R displaystyle a a 1 ldots a n n in mathbb N mbox und a 1 ldots a n in pm a cup aR nbsp zweiseitige Hauptideal a a 1 a n n N und a i a R a a R R a R displaystyle a a 1 dotsb a n mid n in mathbb N mbox und a i in pm a cup Ra cup aR cup RaR nbsp Falls der Ring R displaystyle R nbsp ein Einselement 1 besitzt folgt fur das Haupt Linksideal a R a displaystyle left a right Ra nbsp Haupt Rechtsideal a a R displaystyle left a right aR nbsp zweiseitige Hauptideal a a 1 a n n N und a i R a R displaystyle a a 1 dotsb a n mid n in mathbb N mbox und a i in RaR nbsp Bemerkungen Bearbeiten Es ist durchaus gelaufig mit R a R displaystyle RaR nbsp das von a displaystyle a nbsp erzeugte Hauptideal zu bezeichnen 1 2 und nicht nur das darin enthaltene Komplexprodukt In kommutativen Ringen stimmen alle drei Arten von Hauptidealen uberein im Allgemeinen jedoch nicht Nicht jedes Ideal eines Ringes muss ein Hauptideal sein Als Beispiel betrachten wir den kommutativen Ring K X Y displaystyle K X Y nbsp aller Polynome in zwei Unbestimmten uber einem Korper K displaystyle K nbsp Das von den beiden Polynomen X displaystyle X nbsp und Y displaystyle Y nbsp erzeugte Ideal X Y displaystyle X Y nbsp besteht aus allen Polynomen aus K X Y displaystyle K X Y nbsp deren Absolutglied gleich 0 displaystyle 0 nbsp ist Dieses Ideal ist kein Hauptideal denn ware ein Polynom P displaystyle P nbsp ein Erzeuger von X Y displaystyle X Y nbsp dann musste P displaystyle P nbsp ein Teiler sowohl von X displaystyle X nbsp als auch von Y displaystyle Y nbsp sein was nur auf die konstanten Polynome ungleich 0 displaystyle 0 nbsp zutrifft Diese sind aber in X Y displaystyle X Y nbsp nicht enthalten Verwandter Begriff BearbeitenEin Integritatsring in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist heisst Hauptidealring Literatur BearbeitenSiegfried Bosch Algebra 7 Auflage 2009 Springer Verlag ISBN 3 540 40388 4 doi 10 1007 978 3 540 92812 6 Jens Carsten Jantzen Joachim Schwermer Algebra Springer 2005 ISBN 3 540 21380 5 doi 10 1007 3 540 29287 X Bernhard Hornfeck Algebra 3 Auflage De Gruyter 1976 ISBN 3 11 006784 6 Gisbert Wustholz Algebra Vieweg 2004 ISBN 3 528 07291 1 doi 10 1007 978 3 322 85035 5 Einzelnachweise Bearbeiten Principal ideal Encyclopedia of Mathematics URL https encyclopediaofmath org index php title Principal ideal amp oldid 35049 abgerufen am 12 April 2018 Louis H Rowen Ring Theory Band 1 Academic Press Inc Boston u a 1988 ISBN 0 12 599841 4 Pure and Applied Mathematics 127 Seite 21 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Hauptideal amp oldid 238572528