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Komplexprodukt Das meist einfach Produkt genannt ist ein Begriff aus einem mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie

Komplexprodukt

Das Komplexprodukt, meist einfach Produkt genannt, ist ein Begriff aus einem mathematischen Teilgebiet, der Gruppentheorie.

Ist ein Magma (zum Beispiel eine Gruppe) und sind und Teilmengen von , dann ist das Komplexprodukt von mit definiert als

Es sind außerdem die Kurzschreibweisen

üblich, wobei Elemente des Magmas sind.

Weil das Komplexprodukt auf den Teilmengen von eine innere Verknüpfung definiert, macht es die Potenzmenge selbst zum Magma.

Eigenschaften Bearbeiten

  • Ist das Magma M assoziativ (solche Magmen nennt man Halbgruppen), so ist auch mit dem Komplexprodukt assoziativ (also eine Halbgruppe).
  • Ist das Magma M kommutativ, so ist auch mit dem Komplexprodukt kommutativ.
  • Ist das Magma M ein Monoid, so ist auch mit dem Komplexprodukt ein Monoid. Das neutrale Element ist , wobei das neutrale Element von ist.
  • Ist das Magma M eine Gruppe, so ist mit dem Komplexprodukt jedoch keine Gruppe, sondern nur ein Monoid. Dies sieht man zum Beispiel daran, dass die leere Menge in absorbierend ist.
  • Das Komplexprodukt zweier Untergruppen und einer Gruppe ist eine Vereinigung von Linksnebenklassen von und eine Vereinigung von Rechtsnebenklassen von :
  • Sind und endliche Untergruppen einer Gruppe, dann gilt für die Mächtigkeit des Komplexprodukts die Gleichung
  • Das Komplexprodukt eines Normalteilers mit einer Untergruppe einer Gruppe ergibt eine Untergruppe. Genauer gesagt gilt für alle Untergruppen und , dass genau dann eine Untergruppe ist, wenn gilt. Ist oder ein Normalteiler, so ist dies erfüllt. Insbesondere ist also in abelschen Gruppen das Komplexprodukt von Untergruppen eine Untergruppe.
  • Das Komplexprodukt von Nebenklassen und eines Normalteilers ist . Mit diesem Produkt bilden die Nebenklassen von Normalteilern eine Gruppe, die Faktorgruppe von nach .
  • Ist Normalteiler und Untergruppe von , die die Eigenschaften und haben, dann ist das innere semidirekte Produkt von mit . Zur Existenz einer solchen Untergruppe bei gegebenem Normalteiler sei auf den Satz von Schur-Zassenhaus verwiesen.

Literatur Bearbeiten

  • Thomas W. Hungerford: Algebra. 5. print. Springer-Verlag, 1989, ISBN 0-387-90518-9
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Das Komplexprodukt meist einfach Produkt genannt ist ein Begriff aus einem mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie Ist M displaystyle M cdot ein Magma zum Beispiel eine Gruppe und sind X displaystyle X und Y displaystyle Y Teilmengen von M displaystyle M dann ist das Komplexprodukt von X displaystyle X mit Y displaystyle Y definiert als X Y x y x X y Y displaystyle X cdot Y x cdot y mid x in X y in Y Es sind ausserdem die Kurzschreibweisen X Y X Y x Y x Y X y X y displaystyle begin aligned XY amp X cdot Y xY amp x cdot Y Xy amp X cdot y end aligned ublich wobei x y displaystyle x y Elemente des Magmas sind Weil das Komplexprodukt auf den Teilmengen von M displaystyle M eine innere Verknupfung definiert macht es die Potenzmenge P M displaystyle P M selbst zum Magma Eigenschaften BearbeitenIst das Magma M assoziativ solche Magmen nennt man Halbgruppen so ist auch P M displaystyle P M nbsp mit dem Komplexprodukt assoziativ also eine Halbgruppe Ist das Magma M kommutativ so ist auch P M displaystyle P M nbsp mit dem Komplexprodukt kommutativ Ist das Magma M ein Monoid so ist auch P M displaystyle P M nbsp mit dem Komplexprodukt ein Monoid Das neutrale Element ist e displaystyle e nbsp wobei e M displaystyle e in M nbsp das neutrale Element von M displaystyle M nbsp ist Ist das Magma M eine Gruppe so ist P M displaystyle P M nbsp mit dem Komplexprodukt jedoch keine Gruppe sondern nur ein Monoid Dies sieht man zum Beispiel daran dass die leere Menge in P M displaystyle P M nbsp absorbierend ist Das Komplexprodukt U V displaystyle UV nbsp zweier Untergruppen U displaystyle U nbsp und V displaystyle V nbsp einer Gruppe ist eine Vereinigung von Linksnebenklassen von V displaystyle V nbsp und eine Vereinigung von Rechtsnebenklassen von U displaystyle U nbsp U V u U u V v V U v displaystyle UV bigcup u in U uV bigcup v in V Uv nbsp Sind U displaystyle U nbsp und V displaystyle V nbsp endliche Untergruppen einer Gruppe dann gilt fur die Machtigkeit des Komplexprodukts die Gleichung U V U V U V displaystyle UV frac U cdot V U cap V nbsp Das Komplexprodukt eines Normalteilers mit einer Untergruppe einer Gruppe ergibt eine Untergruppe Genauer gesagt gilt fur alle Untergruppen U displaystyle U nbsp und V displaystyle V nbsp dass U V displaystyle UV nbsp genau dann eine Untergruppe ist wenn U V V U displaystyle UV VU nbsp gilt Ist U displaystyle U nbsp oder V displaystyle V nbsp ein Normalteiler so ist dies erfullt Insbesondere ist also in abelschen Gruppen das Komplexprodukt von Untergruppen eine Untergruppe Das Komplexprodukt von Nebenklassen g N displaystyle gN nbsp und h N displaystyle hN nbsp eines Normalteilers N displaystyle N nbsp ist g N h N g h N displaystyle gN cdot hN gh N nbsp Mit diesem Produkt bilden die Nebenklassen von Normalteilern eine Gruppe die Faktorgruppe von G displaystyle G nbsp nach N displaystyle N nbsp Ist N displaystyle N nbsp Normalteiler und U displaystyle U nbsp Untergruppe von G displaystyle G nbsp die die Eigenschaften N U e displaystyle N cap U e nbsp und N U G displaystyle N cdot U G nbsp haben dann ist G displaystyle G nbsp das innere semidirekte Produkt von N displaystyle N nbsp mit U displaystyle U nbsp Zur Existenz einer solchen Untergruppe bei gegebenem Normalteiler sei auf den Satz von Schur Zassenhaus verwiesen Literatur BearbeitenThomas W Hungerford Algebra 5 print Springer Verlag 1989 ISBN 0 387 90518 9 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Komplexprodukt amp oldid 217696141