Die Faktorgruppe oder Quotientengruppe ist eine Gruppe die mittels einer Standardkonstruktion aus einer gegebenen Gruppe G displaystyle G unter Zuhilfenahme eines Normalteilers N G displaystyle N trianglelefteq G gebildet wird Sie wird mit G N displaystyle G N bezeichnet und ist die Menge der Nebenklassen Inhaltsverzeichnis 1 Konstruktion 2 Beispiele 2 1 Jede Gruppe 2 2 Beispiel ℤ6 2 3 Restklassengruppe der additiven Gruppe der ganzen Zahlen 2 4 Faktorgruppe nach Kernen von Homomorphismen 3 Universelle Eigenschaft der Faktorgruppe 4 Konstruktion von Gruppen 4 1 Kommutatorgruppe 4 2 Relationen 5 Siehe auch 6 LiteraturKonstruktion BearbeitenDie Elemente von G N displaystyle G N nbsp sind die Nebenklassen bezuglich N displaystyle N nbsp also G N g N g G displaystyle G N gN g in G nbsp Die innere Verknupfung G N G N G N displaystyle circ colon G N times G N rightarrow G N nbsp wird definiert als g N h N g h N displaystyle gN circ hN gh N nbsp Man kann mit Hilfe der Normalteilereigenschaft von N displaystyle N nbsp zeigen dass diese Verknupfung wohldefiniert ist und dass G N displaystyle G N circ nbsp eine Gruppe ist Diese Gruppe heisst Faktorgruppe von G displaystyle G nbsp nach N displaystyle N nbsp Das neutrale Element von G N displaystyle G N nbsp ist N displaystyle N nbsp und das zu g N displaystyle gN nbsp inverse Element ist durch g 1 N displaystyle g 1 N nbsp gegeben Das Produkt g N h N g h N displaystyle gN circ hN gh N nbsp stimmt mit dem Komplexprodukt g N h N displaystyle gN cdot hN nbsp uberein Umgekehrt kann man zeigen dass eine Untergruppe U displaystyle U nbsp einer Gruppe G displaystyle G cdot nbsp ein Normalteiler ist wenn fur alle g h G displaystyle g h in G nbsp die Gleichheit g U h U g h U displaystyle gU cdot hU gh U nbsp gilt In abelschen Gruppen ist jede Untergruppe Normalteiler Somit lasst sich dort nach jeder Untergruppe die Faktorgruppe bilden welche dann wiederum abelsch ist Die Ordnung der Faktorgruppe G N displaystyle G N nbsp ist gerade die Anzahl der Nebenklassen von N displaystyle N nbsp Diese Anzahl wird Index von N displaystyle N nbsp in G displaystyle G nbsp genannt und mit G N displaystyle G N nbsp bezeichnet Ist G displaystyle G nbsp eine endliche Gruppe so gilt nach dem Satz von Lagrange G N G N G N displaystyle G N G N tfrac G N nbsp Beispiele BearbeitenJede Gruppe Bearbeiten Jede Gruppe kann als Faktorgruppe aufgefasst werden denn fur jede Gruppe G displaystyle G nbsp ist e G displaystyle e trianglelefteq G nbsp ein Normalteiler und es gilt G G e displaystyle G cong G e nbsp Beispiel ℤ6 Bearbeiten Sei Z displaystyle mathbb Z nbsp die Gruppe der ganzen Zahlen mit der Addition als Gruppenoperation und sei 6 Z displaystyle 6 mathbb Z nbsp die Untergruppe von Z displaystyle mathbb Z nbsp die aus allen Vielfachen von 6 besteht Die Gruppe Z displaystyle mathbb Z nbsp ist abelsch und somit ist jede Untergruppe ein Normalteiler Die Faktorgruppe Z 6 Z displaystyle mathbb Z 6 mathbb Z nbsp besteht nun als Restklassengruppe aus allen Nebenklassen der Untergruppe 6 Z displaystyle 6 mathbb Z nbsp diese sind 6 Z 0 18 12 6 0 6 12 18 displaystyle 6 mathbb Z 0 dotsc 18 12 6 0 6 12 18 dotsc nbsp 6 Z 1 17 11 5 1 7 13 19 displaystyle 6 mathbb Z 1 dotsc 17 11 5 1 7 13 19 dotsc nbsp 6 Z 2 16 10 4 2 8 14 20 displaystyle 6 mathbb Z 2 dotsc 16 10 4 2 8 14 20 dotsc nbsp 6 Z 3 15 9 3 3 9 15 21 displaystyle 6 mathbb Z 3 dotsc 15 9 3 3 9 15 21 dotsc nbsp 6 Z 4 14 8 2 4 10 16 22 displaystyle 6 mathbb Z 4 dotsc 14 8 2 4 10 16 22 dotsc nbsp 6 Z 5 13 7 1 5 11 17 23 displaystyle 6 mathbb Z 5 dotsc 13 7 1 5 11 17 23 dotsc nbsp Dies sind alle Nebenklassen von 6 Z displaystyle 6 mathbb Z nbsp wie man leicht sehen kann da sie die Gruppe Z displaystyle mathbb Z nbsp partitionieren und 6 Z 6 6 Z 0 displaystyle 6 mathbb Z 6 6 mathbb Z 0 nbsp 6 Z 7 6 Z 1 displaystyle 6 mathbb Z 7 6 mathbb Z 1 nbsp 6 Z 8 6 Z 2 displaystyle 6 mathbb Z 8 6 mathbb Z 2 nbsp und so weiter Da die Operation in Z displaystyle mathbb Z nbsp die Addition ist nennt man die Addition der Nebenklassen auch Addition und es gilt beispielsweise 6 Z 3 6 Z 4 6 Z 7 6 Z 1 displaystyle 6 mathbb Z 3 6 mathbb Z 4 6 mathbb Z 7 6 mathbb Z 1 nbsp Schreibt man abkurzend 0 6 Z 0 displaystyle 0 6 mathbb Z 0 nbsp 1 6 Z 1 displaystyle 1 6 mathbb Z 1 nbsp 2 6 Z 2 displaystyle 2 6 mathbb Z 2 nbsp 3 6 Z 3 displaystyle 3 6 mathbb Z 3 nbsp 4 6 Z 4 displaystyle 4 6 mathbb Z 4 nbsp 5 6 Z 5 displaystyle 5 6 mathbb Z 5 nbsp so besteht Z 6 Z displaystyle mathbb Z 6 mathbb Z nbsp aus den 6 Elementen 0 1 2 3 4 5 displaystyle 0 1 2 3 4 5 nbsp und ergibt sich folgende Verknupfungstabelle fur die Faktorgruppe Z 6 displaystyle mathbb Z 6 nbsp displaystyle nbsp 0 displaystyle 0 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 2 displaystyle 2 nbsp 3 displaystyle 3 nbsp 4 displaystyle 4 nbsp 5 displaystyle 5 nbsp 0 displaystyle 0 nbsp 0 displaystyle 0 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 2 displaystyle 2 nbsp 3 displaystyle 3 nbsp 4 displaystyle 4 nbsp 5 displaystyle 5 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 2 displaystyle 2 nbsp 3 displaystyle 3 nbsp 4 displaystyle 4 nbsp 5 displaystyle 5 nbsp 0 displaystyle 0 nbsp 2 displaystyle 2 nbsp 2 displaystyle 2 nbsp 3 displaystyle 3 nbsp 4 displaystyle 4 nbsp 5 displaystyle 5 nbsp 0 displaystyle 0 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 3 displaystyle 3 nbsp 3 displaystyle 3 nbsp 4 displaystyle 4 nbsp 5 displaystyle 5 nbsp 0 displaystyle 0 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 2 displaystyle 2 nbsp 4 displaystyle 4 nbsp 4 displaystyle 4 nbsp 5 displaystyle 5 nbsp 0 displaystyle 0 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 2 displaystyle 2 nbsp 3 displaystyle 3 nbsp 5 displaystyle 5 nbsp 5 displaystyle 5 nbsp 0 displaystyle 0 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp 2 displaystyle 2 nbsp 3 displaystyle 3 nbsp 4 displaystyle 4 nbsp Damit hat man ein Verfahren mit dem man Untergruppen wie Z 6 displaystyle mathbb Z 6 nbsp konstruieren kann Restklassengruppe der additiven Gruppe der ganzen Zahlen Bearbeiten Das vorhergehende Beispiel lasst sich verallgemeinern Fur jedes n N displaystyle n in mathbb N nbsp ist n Z displaystyle n mathbb Z nbsp eine Untergruppe der abelschen Gruppe Z displaystyle mathbb Z nbsp also insbesondere ein Normalteiler Die Faktorgruppe Z n Z displaystyle mathbb Z n mathbb Z nbsp wird Restklassengruppe modulo n displaystyle n nbsp genannt und kurz mit Z n displaystyle mathbb Z n nbsp bezeichnet Sie hat genau n displaystyle n nbsp Elemente Ihre Elemente werden als k n k k n Z k m m n Z k n z z Z displaystyle k n k k n mathbb Z k m m in n mathbb Z k nz z in mathbb Z nbsp geschrieben und heissen Kongruenzklassen bezuglich der Addition modulo n displaystyle n nbsp Es ist also Z n Z 0 1 n 1 displaystyle mathbb Z n mathbb Z 0 1 ldots n 1 nbsp Die innere Verknupfung von Z n Z displaystyle mathbb Z n mathbb Z nbsp wird ublicherweise wieder mit displaystyle nbsp bezeichnet In Z 5 Z displaystyle mathbb Z 5 mathbb Z nbsp gilt beispielsweise 3 5 4 5 3 4 2 2 5 displaystyle 3 5 4 5 3 4 2 2 5 nbsp da 3 4 7 2 5 displaystyle 3 4 7 2 5 nbsp also 3 4 5 Z 2 5 Z displaystyle 3 4 5 mathbb Z 2 5 mathbb Z nbsp Faktorgruppe nach Kernen von Homomorphismen Bearbeiten Seien G displaystyle G nbsp und H displaystyle H nbsp zwei Gruppen und f G H displaystyle varphi G rightarrow H nbsp ein Gruppenhomomorphismus Dann ist der Kern von f displaystyle varphi nbsp ein Normalteiler von G displaystyle G nbsp und daher kann die Faktorgruppe G ker f displaystyle G ker varphi nbsp gebildet werden Nach dem Homomorphiesatz fur Gruppen ist diese Faktorgruppe isomorph zum Bild von f displaystyle varphi nbsp das eine Untergruppe von H displaystyle H nbsp ist Universelle Eigenschaft der Faktorgruppe BearbeitenIst H displaystyle H nbsp ein Normalteiler von G displaystyle G nbsp dann ist die Abbildung p G G H displaystyle pi colon G rightarrow G H nbsp mit g g H displaystyle g mapsto gH nbsp mit Kern H displaystyle H nbsp ein Epimorphismus also ein surjektiver Homomorphismus Die universelle Eigenschaft besagt nun dass zu jedem Gruppenhomomorphismus f G G displaystyle varphi colon G rightarrow G nbsp mit H ker f displaystyle H subseteq ker varphi nbsp genau ein Gruppenhomomorphismus f G H G displaystyle varphi colon G H rightarrow G nbsp mit f f p displaystyle varphi varphi circ pi nbsp existiert Beispiel Sei p Z Z 6 Z displaystyle pi colon mathbb Z rightarrow mathbb Z 6 mathbb Z nbsp die naturliche Projektion der ganzen Zahlen auf die Restklassengruppe modulo 6 Sei f Z Z 3 Z displaystyle varphi colon mathbb Z rightarrow mathbb Z 3 mathbb Z nbsp Gruppenhomomorphismus Dann liegt 6 Z displaystyle 6 mathbb Z nbsp im Kern von f displaystyle varphi nbsp und f Z 6 Z Z 3 Z displaystyle varphi colon mathbb Z 6 mathbb Z rightarrow mathbb Z 3 mathbb Z nbsp ergibt sich zu f 0 6 0 3 displaystyle varphi 0 6 0 3 nbsp f 1 6 1 3 displaystyle varphi 1 6 1 3 nbsp f 2 6 2 3 displaystyle varphi 2 6 2 3 nbsp f 3 6 0 3 displaystyle varphi 3 6 0 3 nbsp f 4 6 1 3 displaystyle varphi 4 6 1 3 nbsp f 5 6 2 3 displaystyle varphi 5 6 2 3 nbsp Konstruktion von Gruppen BearbeitenDurch den Ubergang zur Faktorgruppe erreicht man dass samtliche Elemente des Normalteilers auf das neutrale Element abgebildet werden Dadurch kann man das Bestehen gewisser Identitaten erzwingen Kommutatorgruppe Bearbeiten Die von allen Kommutatoren erzeugte Gruppe G G displaystyle G G nbsp ist ein Normalteiler der Gruppe G displaystyle G nbsp In der Faktorgruppe G G G displaystyle G G G nbsp werden daher alle Kommutatoren trivial das heisst die Faktorgruppe ist abelsch Man nennt dies die Abelisierung der Gruppe Relationen Bearbeiten Allgemeiner kann man das Bestehen beliebiger Gleichungen Relationen in einer Gruppe erzwingen Kommen in den gewunschten Gleichungen Elemente x 1 x n displaystyle x 1 ldots x n nbsp vor so betrachte in der freien Gruppe F n displaystyle F n nbsp uber n displaystyle n nbsp Elementen den kleinsten Normalteiler N displaystyle N nbsp der alle Ausdrucke in x 1 x n displaystyle x 1 ldots x n nbsp enthalt die gleich dem neutralen Element sein sollen Die Faktorgruppe F n N displaystyle F n N nbsp leistet das Verlangte Genaueres entnehme man dem Artikel Prasentation einer Gruppe Siehe auch BearbeitenKorrespondenzsatz Gruppentheorie Untergruppen in einer Faktorgruppe Quotientenabbildung Abbildung G G N displaystyle G to G N nbsp Restklassenring Analoge Konstruktion fur RingeLiteratur BearbeitenKurt Meyberg Algebra Band 1 2 Auflage Carl Hanser Munchen u a 1980 ISBN 3 446 13079 9 Jens Carsten Jantzen Joachim Schwermer Algebra Springer Berlin u a 2006 ISBN 3 540 21380 5 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Faktorgruppe amp oldid 225567218
