Index Gruppentheorie Im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie ist der Index einer Untergruppe ein Maß für die rel

Index (Gruppentheorie)

Im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie ist der Index einer Untergruppe ein Maß für die relative Größe zur gesamten Gruppe.

Definition Bearbeiten

Es sei eine Gruppe und eine Untergruppe. Dann sind die Menge der Linksnebenklassen und die Menge der Rechtsnebenklassen gleichmächtig. Ihre Mächtigkeit ist der Index von in und wird mit , manchmal auch oder , bezeichnet.

Eigenschaften Bearbeiten

Es gilt . (Dabei bezeichnet die Ordnung von .)
Der Index ist multiplikativ, d. h. ist eine Untergruppe von und eine Untergruppe von , so gilt
Der Spezialfall wird oft als Satz von Lagrange (nach J.-L. Lagrange) bezeichnet:
Im Fall von endlichen Gruppen kann man den Index einer Untergruppe also als

berechnen.
Ist ein Normalteiler, so ist der Index von in gerade die Ordnung der Faktorgruppe , also
Eine Untergruppe vom Index 2 ist ein Normalteiler, da von den zwei (Links)nebenklassen die eine die Untergruppe selbst und die andere deren Komplement ist.
Allgemeiner: Ist eine Untergruppe von und ihr Index, der zugleich der kleinste Teiler der Ordnung ist, dann ist ein Normalteiler in .

Topologische Gruppen Bearbeiten

Im Kontext von topologischen Gruppen spielen Untergruppen von endlichem Index eine Sonderrolle:

Eine Untergruppe von endlichem Index ist genau dann offen, wenn sie abgeschlossen ist. (Offene Untergruppen sind stets abgeschlossen.)
Jede offene Untergruppe einer kompakten Gruppe hat endlichen Index.

Siehe auch Bearbeiten

Der Index des Zentralisators eines Gruppenelements entspricht der Mächtigkeit seiner Konjugationsklasse.
In der Galoistheorie ist durch die Galoiskorrespondenz ein Zusammenhang zwischen den relativen Indizes von Untergruppen der Galoisgruppe und den relativen Graden von Körpererweiterungen gegeben.

Literatur Bearbeiten

Index in der Gruppentheorie:

Thomas W. Hungerford: Algebra. 5. Auflage. Springer, New York 1989, ISBN 0-387-90518-9, S. 38 ff.

In topologischen Gruppen:

Lew Pontrjagin: Topologische Gruppen. Teubner, Leipzig 1957 (russisch: Nepreryvnye gruppy. Übersetzt von Viktor Ziegler).

Einzelnachweise Bearbeiten

Hungerford (1989), S. 89
Hungerford (1989), S. 247

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Veröffentlichungsdatum: November 25, 2023, 14:38 pm

Im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie ist der Index einer Untergruppe ein Mass fur die relative Grosse zur gesamten Gruppe Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Topologische Gruppen 4 Siehe auch 5 Literatur 6 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEs sei G displaystyle G nbsp eine Gruppe und U displaystyle U nbsp eine Untergruppe Dann sind die Menge G U displaystyle G U nbsp der Linksnebenklassen und die Menge U G displaystyle U backslash G nbsp der Rechtsnebenklassen gleichmachtig Ihre Machtigkeit ist der Index von U displaystyle U nbsp in G displaystyle G nbsp und wird mit G U displaystyle G colon U nbsp manchmal auch G U displaystyle G colon U nbsp oder G U displaystyle G colon U nbsp bezeichnet Eigenschaften BearbeitenEs gilt G 1 G displaystyle G colon 1 G nbsp Dabei bezeichnet G displaystyle G nbsp die Ordnung von G displaystyle G nbsp Der Index ist multiplikativ d h ist U displaystyle U nbsp eine Untergruppe von G displaystyle G nbsp und V displaystyle V nbsp eine Untergruppe von U displaystyle U nbsp so gilt G V G U U V displaystyle G colon V G colon U cdot U colon V nbsp Der Spezialfall V 1 displaystyle V 1 nbsp wird oft als Satz von Lagrange nach J L Lagrange bezeichnet Fur eine Gruppe G displaystyle G nbsp und eine Untergruppe U displaystyle U nbsp gilt G G U U displaystyle G G colon U cdot U nbsp dd Im Fall von endlichen Gruppen kann man den Index einer Untergruppe also als G U G U displaystyle G colon U frac G U nbsp dd berechnen Ist N G displaystyle N vartriangleleft G nbsp ein Normalteiler so ist der Index von N displaystyle N nbsp in G displaystyle G nbsp gerade die Ordnung der Faktorgruppe G N displaystyle G N nbsp also G N G N displaystyle G colon N left G N right nbsp Eine Untergruppe vom Index 2 ist ein Normalteiler da von den zwei Links nebenklassen die eine die Untergruppe selbst und die andere deren Komplement ist Allgemeiner Ist U displaystyle U nbsp eine Untergruppe von G displaystyle G nbsp und p gt 1 displaystyle p gt 1 nbsp ihr Index der zugleich der kleinste Teiler der Ordnung G displaystyle G nbsp ist dann ist U displaystyle U nbsp ein Normalteiler in G displaystyle G nbsp Topologische Gruppen BearbeitenIm Kontext von topologischen Gruppen spielen Untergruppen von endlichem Index eine Sonderrolle Eine Untergruppe von endlichem Index ist genau dann offen wenn sie abgeschlossen ist Offene Untergruppen sind stets abgeschlossen Jede offene Untergruppe einer kompakten Gruppe hat endlichen Index Siehe auch BearbeitenDer Index des Zentralisators eines Gruppenelements entspricht der Machtigkeit seiner Konjugationsklasse 1 In der Galoistheorie ist durch die Galoiskorrespondenz ein Zusammenhang zwischen den relativen Indizes von Untergruppen der Galoisgruppe und den relativen Graden von Korpererweiterungen gegeben 2 Literatur BearbeitenIndex in der Gruppentheorie Thomas W Hungerford Algebra 5 Auflage Springer New York 1989 ISBN 0 387 90518 9 S 38 ff In topologischen Gruppen Lew Pontrjagin Topologische Gruppen Teubner Leipzig 1957 russisch Nepreryvnye gruppy Ubersetzt von Viktor Ziegler Einzelnachweise Bearbeiten Hungerford 1989 S 89 Hungerford 1989 S 247 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Index Gruppentheorie amp oldid 139557367