Der Homomorphiesatz ist ein mathematischer Satz aus dem Gebiet der Algebra der in entsprechender Form fur Abbildungen zwischen Gruppen Vektorraumen und Ringen gilt Er stellt jeweils einen engen Zusammenhang zwischen Gruppenhomomorphismen und Normalteilern Vektorraumhomomorphismen und Untervektorraumen sowie Ringhomomorphismen und Idealen her Der Homomorphiesatz lautet Ist f A B displaystyle f colon A to B ein Homomorphismus und ker f displaystyle ker f der Kern von f displaystyle f dann ist der Quotient A ker f displaystyle A ker f isomorph zum Bild f A displaystyle f A Inhaltsverzeichnis 1 Gruppe 1 1 Aussage 1 2 Beweis 1 3 Beispiele 2 Ring 3 Vektorraum 3 1 Aussage 3 2 Beispiel 4 Verallgemeinerungen 5 LiteraturGruppe BearbeitenAussage Bearbeiten Ist f G H displaystyle f colon left G circ right to left H star right nbsp ein Gruppenhomomorphismus dann ist der Kern N ker f displaystyle N colon ker left f right nbsp ein Normalteiler von G displaystyle G nbsp und die Faktorgruppe G N displaystyle G N nbsp ist isomorph zum Bild f G displaystyle f left G right nbsp Ein entsprechender Isomorphismus ist gegeben durch f G N f G g N f g displaystyle tilde f colon G N rightarrow f G gN mapsto f left g right nbsp Beweis Bearbeiten Es reicht zu zeigen dass die Abbildung f displaystyle tilde f nbsp ein Gruppenisomorphismus ist f displaystyle tilde f nbsp ist wohldefiniert und injektiv da a N b N b 1 a N f b 1 a e f a N f a f b f b N displaystyle aN bN Leftrightarrow b 1 a in N Leftrightarrow f b 1 a e Leftrightarrow tilde f aN f a f b tilde f bN nbsp f displaystyle tilde f nbsp ist ein Gruppenhomomorphismus da fur alle Nebenklassen a N displaystyle aN nbsp und b N displaystyle bN nbsp gilt f a N b N f a b N f a b f a f b f a N f b N displaystyle tilde f left aN circ bN right tilde f left abN right f ab f a star f b tilde f aN star tilde f bN nbsp f displaystyle tilde f nbsp surjektiv da fur jedes g f g f G displaystyle g colon f left g right in f left G right nbsp gilt f g N f g g displaystyle tilde f left g N right f left g right g nbsp Hieraus folgt dass f G N f G displaystyle tilde f colon G N rightarrow f G nbsp ein Gruppenisomorphismus ist und somit G N f G displaystyle G N cong f left G right nbsp Beispiele Bearbeiten Es stehe GL n K displaystyle operatorname GL n K nbsp fur die allgemeine lineare Gruppe dargestellt durch regulare Matrizen uber einem Korper K displaystyle K nbsp Die Determinantedet GL n K K K 0 displaystyle det colon operatorname GL n K to K K setminus 0 nbsp dd ist ein Gruppenhomomorphismus dessen Kern aus der speziellen linearen Gruppe SL n K displaystyle operatorname SL n K nbsp der n n displaystyle n times n nbsp Matrizen mit Determinante 1 displaystyle 1 nbsp besteht Nach dem Homomorphiesatz giltGL n K SL n K K displaystyle operatorname GL n K operatorname SL n K cong K nbsp dd Hieraus folgt insbesondere dass im Gegensatz zur linearen Gruppe GL n K displaystyle operatorname GL n K nbsp die Faktorgruppe GL n K SL n K displaystyle operatorname GL n K operatorname SL n K nbsp abelsch ist Analog zeigt man O n K SO n K 1 1 displaystyle operatorname O n K operatorname SO n K cong left 1 1 right nbsp dd wobei O n K displaystyle operatorname O n K nbsp fur die orthogonale Gruppe und SO n K displaystyle operatorname SO n K nbsp fur die spezielle orthogonale Gruppe steht Es stehe S n displaystyle S n nbsp fur die symmetrische Gruppe Die Signum Abbildung sign S n 1 1 displaystyle operatorname sign colon S n to left 1 1 right nbsp definiert einen Gruppenhomomorphismus mit ker sign Alt n displaystyle operatorname ker left operatorname sign right operatorname Alt n nbsp alternierende Gruppe der fur n 2 displaystyle n geq 2 nbsp surjektiv ist Nach dem Homomorphiesatz gilt also fur n 2 displaystyle n geq 2 nbsp S n Alt n 1 1 displaystyle S n operatorname Alt n cong left 1 1 right nbsp Ring BearbeitenIst f R S displaystyle f colon R to S nbsp ein Ringhomomorphismus dann ist der Kern ker f displaystyle ker f nbsp ein Ideal von R displaystyle R nbsp und der Faktorring R ker f displaystyle R ker f nbsp ist isomorph zum Bild im f displaystyle operatorname im f nbsp Der Beweis verlauft analog zum Beweis fur Gruppen es muss nur noch gezeigt werden f a N b N f a b N f a b f a f b f a N f b N displaystyle tilde f left aN cdot bN right tilde f left left a cdot b right N right f left a cdot b right f left a right cdot f left b right tilde f left aN right cdot tilde f left bN right nbsp Vektorraum BearbeitenAussage Bearbeiten Ist f displaystyle f nbsp ein Vektorraumhomomorphismus d h eine lineare Abbildung von V displaystyle V nbsp nach W displaystyle W nbsp dann ist der Kern ker f displaystyle ker f nbsp ein Untervektorraum von V displaystyle V nbsp und der Faktorraum V ker f displaystyle V ker f nbsp ist isomorph zum Bild im f displaystyle operatorname im f nbsp Beispiel Bearbeiten Der Differentialoperator d d x C 1 R C 0 R f x d d x f x f x displaystyle frac mathrm d mathrm d x colon C 1 mathbb R rightarrow C 0 mathbb R quad f x mapsto frac mathrm d mathrm d x f x f x nbsp ist ein Homomorphismus vom Vektorraum der auf R displaystyle mathbb R nbsp stetig differenzierbaren Funktionen C 1 R displaystyle C 1 mathbb R nbsp in den Vektorraum der auf R displaystyle mathbb R nbsp stetigen Funktionen C 0 R displaystyle C 0 mathbb R nbsp Sein Kern ist die Menge der konstanten Funktionen die hier als R displaystyle mathbb R nbsp notiert wird Nach dem Homomorphiesatz gilt C 1 R R C 0 R displaystyle C 1 mathbb R mathbb R cong C 0 mathbb R nbsp Der Isomorphismus ist dabei der induzierte Homomorphismus d d x C 1 R R C 0 R f x R f x displaystyle widetilde frac mathrm d mathrm d x C 1 mathbb R mathbb R rightarrow C 0 mathbb R quad f x mathbb R mapsto f x nbsp Sein inverser Homomorphismus ist die unbestimmte Integration d x C 0 R C 1 R R g x g x d x G x R displaystyle int cdot mathrm d x colon C 0 mathbb R rightarrow C 1 mathbb R mathbb R quad g x mapsto int g x mathrm d x G x mathbb R nbsp wobei G x displaystyle G x nbsp eine beliebige Stammfunktion von g x displaystyle g x nbsp ist Verallgemeinerungen BearbeitenHomomorphiesatz fur algebraische Strukturen Sind A f i i 1 n displaystyle A f i i in 1 dotsc n nbsp und B g i i 1 n displaystyle B g i i in 1 dotsc n nbsp zwei algebraische Strukturen gleicher Art und ist f A B displaystyle varphi colon A to B nbsp ein Homomorphismus dieser Art mit Kern 8 f displaystyle theta varphi nbsp so gilt A 8 f f A displaystyle A theta varphi simeq varphi A nbsp Der Satz gilt allgemein in jeder abelschen Kategorie Der Satz gilt beispielsweise auch in der Kategorie der topologischen Gruppen allerdings ist das Bild dann auch im kategoriellen Sinne zu verstehen es handelt sich also im Allgemeinen nicht um das mengentheoretische Bild mit der induzierten Topologie Auch ist ein bijektiver stetiger Homomorphismus nur dann ein kategorieller Isomorphismus wenn auch seine Umkehrung stetig ist d h wenn er auch ein Homoomorphismus ist Literatur BearbeitenChristian Karpfinger Kurt Meyberg Algebra Gruppen Ringe Korper Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg 2009 ISBN 978 3 8274 2018 3 S 54 S 167 168 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Homomorphiesatz amp oldid 234023253
