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Ringhomomorphismus In der Ringtheorie betrachtet man spezielle Abbildungen zwischen Ringen die man Ringhomomorphismen ne

Ringhomomorphismus

In der Ringtheorie betrachtet man spezielle Abbildungen zwischen Ringen, die man Ringhomomorphismen nennt. Ein Ringhomomorphismus ist eine strukturerhaltende Abbildung zwischen Ringen, und damit ein spezieller Homomorphismus.

Definition Bearbeiten

Gegeben seien zwei Ringe und . Eine Funktion heißt Ringhomomorphismus, wenn für alle Elemente von gilt:

Die Gleichung besagt, dass der Homomorphismus strukturerhaltend ist: Es ist egal, ob man erst zwei Elemente verknüpft, und das Ergebnis abbildet, oder erst die zwei Elemente abbildet, und dann die Bilder verknüpft.

Erklärung Bearbeiten

Anders ausgedrückt, ist ein Ringhomomorphismus eine Abbildung zwischen zwei Ringen, die sowohl Gruppenhomomorphismus bezüglich der additiven Gruppen der beiden Ringe, als auch Halbgruppenhomomorphismus bezüglich der multiplikativen Halbgruppen der beiden Ringe ist.

Für einen „Homomorphismus von Ringen mit Eins“ wird meist zusätzlich gefordert. Beispielsweise ist die Nullabbildung von nach zwar ein Ringhomomorphismus, aber kein Homomorphismus von Ringen mit Eins, da die besondere Struktur der Eins durch die Abbildung verloren geht: Die Eins wird (wie alle anderen Elemente) zur Null.

Für einen Ringhomomorphismus sind die beiden Mengen

definiert; aus dem Englischen und Lateinischen schreibt man auch statt Kern ker und statt Bild img, im oder schlicht I (großes i). ist ein Unterring von , ist ein Ideal in . Ein Ringhomomorphismus ist genau dann injektiv (also ein Ringmonomorphismus), wenn gilt.

Beispiele Bearbeiten

Folgende Abbildungen sind Ringhomomorphismen:

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Gerd Fischer: Lineare Algebra. 14. durchgesehene Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03217-0, (Vieweg Studium. Grundkurs Mathematik), S. 145

Literatur Bearbeiten

  • Gerd Fischer: Lineare Algebra. 14. durchgesehene Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03217-0, (Vieweg Studium. Grundkurs Mathematik).
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In der Ringtheorie betrachtet man spezielle Abbildungen zwischen Ringen die man Ringhomomorphismen nennt Ein Ringhomomorphismus ist eine strukturerhaltende Abbildung zwischen Ringen und damit ein spezieller Homomorphismus Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Erklarung 3 Beispiele 4 Einzelnachweise 5 LiteraturDefinition BearbeitenGegeben seien zwei Ringe R displaystyle R cdot nbsp und S displaystyle S oplus otimes nbsp Eine Funktion f R S displaystyle varphi colon R to S nbsp heisst Ringhomomorphismus wenn fur alle Elemente a b displaystyle a b nbsp von R displaystyle R nbsp gilt f a b f a f b displaystyle varphi a b varphi a oplus varphi b nbsp und f a b f a f b displaystyle varphi a cdot b varphi a otimes varphi b nbsp 1 Die Gleichung besagt dass der Homomorphismus strukturerhaltend ist Es ist egal ob man erst zwei Elemente verknupft und das Ergebnis abbildet oder erst die zwei Elemente abbildet und dann die Bilder verknupft Erklarung BearbeitenAnders ausgedruckt ist ein Ringhomomorphismus eine Abbildung zwischen zwei Ringen die sowohl Gruppenhomomorphismus bezuglich der additiven Gruppen der beiden Ringe als auch Halbgruppenhomomorphismus bezuglich der multiplikativen Halbgruppen der beiden Ringe ist Fur einen Homomorphismus von Ringen mit Eins wird meist zusatzlich f 1 R 1 S displaystyle varphi 1 R 1 S nbsp gefordert Beispielsweise ist die Nullabbildung von Z displaystyle mathbb Z nbsp nach Z displaystyle mathbb Z nbsp zwar ein Ringhomomorphismus aber kein Homomorphismus von Ringen mit Eins da die besondere Struktur der Eins durch die Abbildung verloren geht Die Eins wird wie alle anderen Elemente zur Null Fur einen Ringhomomorphismus f displaystyle operatorname varphi nbsp sind die beiden Mengen Kern f x R f x 0 displaystyle operatorname Kern operatorname varphi lbrace x in R mid operatorname varphi x 0 rbrace nbsp und Bild f f R f x S x R displaystyle operatorname Bild operatorname varphi operatorname varphi R lbrace operatorname varphi x in S mid x in R rbrace nbsp definiert aus dem Englischen und Lateinischen schreibt man auch statt Kern ker und statt Bild img im oder schlicht I grosses i Bild f displaystyle operatorname Bild operatorname varphi nbsp ist ein Unterring von S displaystyle S nbsp Kern f displaystyle operatorname Kern operatorname varphi nbsp ist ein Ideal in R displaystyle R nbsp Ein Ringhomomorphismus ist genau dann injektiv also ein Ringmonomorphismus wenn Kern f 0 displaystyle operatorname Kern operatorname varphi lbrace 0 rbrace nbsp gilt Beispiele BearbeitenFolgende Abbildungen sind Ringhomomorphismen Die Nullabbildung f 0 R S r 0 displaystyle f 0 colon R to S r mapsto 0 nbsp Die Inklusionsabbildung i P N P M A A displaystyle i colon P left N right to P left M right A mapsto A nbsp fur festes N M displaystyle N subsetneq M nbsp Die komplexe Konjugation C C z z displaystyle mathbb C to mathbb C z mapsto bar z nbsp Die Konjugation f a R R r a r a 1 displaystyle f a colon R to R r mapsto a cdot r cdot a 1 nbsp fur eine feste Einheit a R displaystyle a in R nbsp f Z Z n Z displaystyle varphi colon mathbb Z to mathbb Z mathit n mathbb Z nbsp bzw z z mod n displaystyle mathit z mapsto mathit z operatorname mod mathit n nbsp Es handelt sich hier um die Restklassen modulo n deren Verknupfungen mit jenen aus Z displaystyle mathbb Z nbsp vertraglich sind Einzelnachweise Bearbeiten Gerd Fischer Lineare Algebra 14 durchgesehene Auflage Vieweg Wiesbaden 2003 ISBN 3 528 03217 0 Vieweg Studium Grundkurs Mathematik S 145Literatur BearbeitenGerd Fischer Lineare Algebra 14 durchgesehene Auflage Vieweg Wiesbaden 2003 ISBN 3 528 03217 0 Vieweg Studium Grundkurs Mathematik Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Ringhomomorphismus amp oldid 183547686