Dieser Artikel oder nachfolgende Abschnitt ist nicht hinreichend mit Belegen beispielsweise Einzelnachweisen ausgestattet Angaben ohne ausreichenden Beleg konnten demnachst entfernt werden Bitte hilf Wikipedia indem du die Angaben recherchierst und gute Belege einfugst In der Mathematik ist eine Abbildung zwischen zwei Mengen die nicht verschieden sein mussen und die Strukturen der gleichen Art besitzen dann mit deren Strukturen vertraglich wenn sie die Elemente aus der einen Menge so in die andere Menge abbildet dass sich ihre Bilder dort hinsichtlich der Relationen sowie Abbildungen der Struktur ebenso verhalten wie sich deren Urbilder in der Ausgangsstruktur verhalten Ein wichtiger Sonderfall hierfur sind die Distributivgesetze als Charakterisierung von zweistelligen Verknupfungen die linksvertraglich bzw rechtsvertraglich mit anderen Verknupfungen sind Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Distributivitat 4 Beispiele 5 Literatur 6 AnmerkungenDefinition BearbeitenGegeben seien zwei nichtleere Mengen A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp sowie beliebige nichtleere Indexmengen I J K displaystyle I J K nbsp und J i displaystyle J i nbsp fur jedes i I displaystyle i in I nbsp die im Folgenden immer auch unendlich sein konnen Weiterhin seien R A J displaystyle R subseteq A J nbsp und S B J displaystyle S subseteq B J nbsp zwei Relationen 1 mit gleichen Eigenschaften sowie F i i I displaystyle F i i in I nbsp und G i i I displaystyle G i i in I nbsp zwei Familien von Relationen F i A J i displaystyle F i subseteq A J i nbsp und G i B J i displaystyle G i subseteq B J i nbsp die fur jeden Index i I displaystyle i in I nbsp jeweils gleiche Eigenschaften haben sodass A F i i I displaystyle A F i i in I nbsp und B G i i I displaystyle B G i i in I nbsp zwei Strukturen der gleichen Art sind Eine Relation ϱ A B displaystyle varrho subseteq A times B nbsp heisst dann vertraglich mit den Relationen R displaystyle R nbsp und S displaystyle S nbsp wenn fur alle a j b j ϱ j J displaystyle a j b j in varrho j in J nbsp gilt a j j J R b j j J S displaystyle a j j in J in R implies b j j in J in S nbsp Demnach ist insbesondere eine Abbildung f A B a f a displaystyle varphi colon A to B a mapsto varphi a nbsp vertraglich mit den Relationen R displaystyle R nbsp und S displaystyle S nbsp wenn gilt a R f a S displaystyle alpha in R implies varphi circ alpha in S nbsp f displaystyle varphi nbsp ist vertraglich mit den Strukturen A F i i I displaystyle A F i i in I nbsp und B G i i I displaystyle B G i i in I nbsp 2 wenn fur jeden Index i I displaystyle i in I nbsp die Abbildung f displaystyle varphi nbsp vertraglich ist mit F i displaystyle F i nbsp und G i displaystyle G i nbsp Man nennt dann f displaystyle varphi nbsp auch einen Homomorphismus oder kurz Morphismus dieser Strukturart Nun sei x A K A displaystyle chi colon A K to A nbsp eine innere Verknupfung auf A displaystyle A nbsp K displaystyle K nbsp darf auch unendlich sein und R A J displaystyle R subseteq A J nbsp sodass auf A K displaystyle A K nbsp komponentenweise die Relation S a a k R fur alle k K A K J displaystyle S bigl alpha bigr hat alpha k in R text fur alle k in K bigl subseteq bigl A K bigr bigr J nbsp auf A displaystyle A nbsp gegeben ist x displaystyle chi nbsp heisst dann vertraglich mit R displaystyle R nbsp wenn x displaystyle chi nbsp vertraglich ist mit S displaystyle S nbsp und R displaystyle R nbsp Hierbei und auch im Folgenden fur beliebige A K J a displaystyle A K J alpha nbsp sei fur a A K J displaystyle alpha in bigl A K bigr J nbsp das a A J K displaystyle hat alpha in bigl A J bigr K nbsp definiert per a k j a j k displaystyle hat alpha k j alpha j k nbsp Eigenschaften BearbeitenSind zwei Relationen mit gleichen Eigenschaften R A A I A displaystyle R A subseteq A I times A nbsp und R B B I B displaystyle R B subseteq B I times B nbsp Abbildungen d h linkstotal und rechtseindeutig f A A I A displaystyle f A colon A I to A nbsp und f B B I B displaystyle f B colon B I to B nbsp so ist eine Abbildung f A B displaystyle varphi colon A to B nbsp genau dann vertraglich mit den Abbildungen f A displaystyle f A nbsp und f B displaystyle f B nbsp wennf f A a f B f a displaystyle varphi left f A alpha right f B left varphi circ alpha right nbsp fur alle a A I displaystyle alpha in A I nbsp dd Zwei nullstellige Abbildungen f A A 0 A f A displaystyle f A colon A 0 to A mapsto f A nbsp und f B B 0 B f B displaystyle f B colon B 0 to B mapsto f B nbsp konnen stets als die einelementigen einstelligen Relationen R A f A A displaystyle R A f A subseteq A nbsp und R B f B B displaystyle R B f B subseteq B nbsp aufgefasst werden Eine Abbildung f A B displaystyle varphi colon A to B nbsp ist daher genau dann vertraglich mit den Abbildungen f A displaystyle f A nbsp und f B displaystyle f B nbsp wenn f displaystyle varphi nbsp die Konstanten f A displaystyle f A nbsp und f B displaystyle f B nbsp aufeinander abbildet f f A f B displaystyle varphi f A f B nbsp dd x A K A displaystyle chi colon A K to A nbsp ist genau dann vertraglich mit einer Abbildung f A A I A displaystyle f A colon A I to A nbsp wenn gilt x f A a f A x a displaystyle chi left f A circ hat alpha right f A left chi circ alpha right nbsp fur alle a A K I displaystyle alpha in bigl A K bigr I nbsp dd Distributivitat BearbeitenSei nun zusatzlich eine nichtleere Menge C displaystyle C nbsp gegeben Man nennt dann eine zweistellige Verknupfung C A B c a c a displaystyle star colon C times A to B c a mapsto c star a nbsp linksvertraglich mit R A displaystyle R A nbsp und R B displaystyle R B nbsp wenn fur jedes c C displaystyle c in C nbsp die Linkstransformation t c A B a t c a c a displaystyle tau c star colon A to B a mapsto tau c star a c star a nbsp nach obiger Definition mit R A displaystyle R A nbsp und R B displaystyle R B nbsp vertraglich ist Ebenso nennt man eine zweistellige Verknupfung A C B a c a c displaystyle colon A times C to B a c mapsto a c nbsp rechtsvertraglich mit R A displaystyle R A nbsp und R B displaystyle R B nbsp wenn fur jedes c C displaystyle c in C nbsp die Rechtstransformation t c A B a t c a a c displaystyle tau c colon A to B a mapsto tau c a a c nbsp mit R A displaystyle R A nbsp und R B displaystyle R B nbsp vertraglich ist Falls displaystyle star nbsp linksvertraglich ist sowie displaystyle nbsp rechtsvertraglich ist mit Abbildungen f A A I A displaystyle f A colon A I to A nbsp und f B B I B displaystyle f B colon B I to B nbsp dann sagt man auch dass displaystyle star nbsp linksdistributiv ist bzw displaystyle nbsp rechtsdistributiv ist uber f A displaystyle f A nbsp und f B displaystyle f B colon nbsp c f A a i i I f B c a i i I displaystyle c star f A a i i in I f B c star a i i in I nbsp bzw f A a i i I c f B a i c i I displaystyle f A a i i in I c f B a i c i in I nbsp fur alle c C displaystyle c in C nbsp und fur alle a i i I A I displaystyle a i i in I in A I nbsp Eine innere zweistellige Verknupfung A A A displaystyle cdot colon A times A to A nbsp auf A displaystyle A nbsp heisst distributiv uber f A displaystyle f A nbsp wenn displaystyle cdot nbsp links und rechtsdistributiv uber f A displaystyle f A nbsp ist Beispiele BearbeitenDie mit geordneten Strukturen A displaystyle A leq nbsp und B displaystyle B sqsubseteq nbsp vertraglichen Abbildungen f A B displaystyle varphi colon A to B nbsp heissen isoton oder auch monoton steigend a 1 a 2 f a 1 f a 2 displaystyle a 1 leq a 2 implies varphi a 1 sqsubseteq varphi a 2 nbsp fur alle a 1 a 2 A displaystyle a 1 a 2 in A nbsp dd Eine Kongruenzrelation ist eine auf einer algebraischen Struktur A f i displaystyle left A f i right nbsp derart erklarte Aquivalenzrelation A 2 displaystyle sim subseteq A 2 nbsp dass alle inneren Verknupfungen f i displaystyle f i nbsp vertraglich sind mit displaystyle sim nbsp Die mit algebraischen Strukturen vertraglichen Abbildungen sind algebraische Homomorphismen Vollstandige Verbandshomomorphismen von unendlichen vollstandigen Verbanden sind Beispiele fur unendlichstellige Homomorphismen Die Topologie O displaystyle mathcal O nbsp eines topologischen Raums X O displaystyle X mathcal O nbsp ist eindeutig durch das Hullensystem A displaystyle mathcal A nbsp aller abgeschlossenen Mengen des Raumes gegeben und ebenso ist A displaystyle mathcal A nbsp durch das Kernsystem O displaystyle mathcal O nbsp eindeutig bestimmt denn jede offene Menge O O displaystyle O in mathcal O nbsp ist das absolute Komplement einer abgeschlossenen Menge A A displaystyle A in mathcal A nbsp und umgekehrt Jede abgeschlossene Menge A A displaystyle A in mathcal A nbsp lasst sich wiederum dadurch charakterisieren dass jeder Punkt a X displaystyle a in X nbsp genau dann in A displaystyle A nbsp liegt wenn gegen ihn ein Netz a i i I displaystyle a i i in I nbsp konvergiert mit a i A displaystyle a i in A nbsp fur alle i I displaystyle i in I nbsp Die Topologie O displaystyle mathcal O nbsp und das Konvergenzverhalten aller Netze in X displaystyle X nbsp sind also aquivalent Mit der gemeinsamen topologischen Struktur zweier topologischer Raume X O displaystyle X mathcal O nbsp und Y P displaystyle Y mathcal P nbsp ist daher eine Abbildung f X Y displaystyle varphi colon X to Y nbsp genau dann vertraglich oder stetig falls sie fur jeden Punkt x X displaystyle x in X nbsp mit allen gegen x displaystyle x nbsp konvergenten Netzen vertraglich ist x i i I X x f x i i I Y f x displaystyle x i i in I longrightarrow X x implies left varphi x i right i in I longrightarrow Y varphi x nbsp fur alle Netze x i i I displaystyle x i i in I nbsp mit x i X displaystyle x i in X nbsp fur alle i I displaystyle i in I nbsp dd Mit Kategorien vertragliche Abbildungen nennt man Funktoren Die Distributivitat spielt bei vielen algebraischen Strukturen eine wichtige Rolle Literatur BearbeitenGarrett Birkhoff Lattice Theory 3rd Edition AMS Providence RI 1973 ISBN 0 8218 1025 1 Marcel Erne Einfuhrung in die Ordnungstheorie Bibliographisches Institut Mannheim 1982 ISBN 3 411 01638 8 Hans Hermes Einfuhrung in die Verbandstheorie 2 Auflage Springer Berlin Heidelberg 1967 Wilhelm Klingenberg Lineare Algebra und Geometrie Springer Berlin Heidelberg 1984 ISBN 3 540 13427 1 Boto von Querenburg Mengentheoretische Topologie 3 neu bearb und erw Auflage Springer Berlin Heidelberg New York 2001 ISBN 3 540 67790 9 F Reinhardt H Soeder dtv Atlas Mathematik 11 Auflage Band 1 Grundlagen Algebra und Geometrie Deutscher Taschenbuchverlag Munchen 1998 ISBN 3 423 03007 0 Heinrich Werner Einfuhrung in die allgemeine Algebra Bibliographisches Institut Mannheim 1978 ISBN 3 411 00120 8 Anmerkungen Bearbeiten Die Menge A J displaystyle A J nbsp aller Familien in A displaystyle A nbsp mit Indexmenge J displaystyle J nbsp wird falls J displaystyle J nbsp endlich ist und genau n displaystyle n nbsp Elemente enthalt ebenso mit A n a 0 a n 1 a 0 a n 1 A displaystyle A n a 0 ldots a n 1 mid a 0 ldots a n 1 in A nbsp oder fur n 1 n displaystyle underline n 1 ldots n nbsp mit A n displaystyle A underline n nbsp identifiziert wobei man zwischen A n displaystyle A n nbsp und A n displaystyle A underline n nbsp in der Regel nicht unterscheidet Eine Struktur A k k K R i i I displaystyle A k k in K R i i in I nbsp mit einem Tupel bzw einer Familie von mehreren Tragermengen A k displaystyle A k nbsp und mit Relationen R i displaystyle R i nbsp in auch verschiedenen kartesischen Produkten dieser Tragermengen lasst sich als eine Struktur mit der Tragermenge A A k k K displaystyle A bigcup A k k in K nbsp auffassen da stets jede Relation R i displaystyle R i nbsp auch Teilmenge eines kartesischen Produkts von A displaystyle A nbsp ist Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Vertraglichkeit Mathematik amp oldid 228174388
