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Monotone Abbildung Eine monotone Abbildung ist in der Mathematik eine Abbildung zwischen zwei halbgeordneten Mengen bei

Monotone Abbildung

Eine monotone Abbildung ist in der Mathematik eine Abbildung zwischen zwei halbgeordneten Mengen, bei der aus der Ordnung zweier Elemente der Definitionsmenge auf die Ordnung der jeweiligen Bildelemente der Zielmenge geschlossen werden kann. Bleibt die Ordnung der Elemente erhalten, spricht man von einer isotonen oder ordnungserhaltenden Abbildung oder auch von einem Ordnungshomomorphismus. Kehrt sich die Ordnung um, spricht man von einer antitonen oder ordnungsumkehrenden Abbildung.

Eine monoton steigende reelle Funktion (rot) ist isoton und eine monoton fallende reelle Funktion (blau) ist antiton bezüglich der ≤-Ordnung auf den reellen Zahlen

Bekannte Beispiele monotoner Abbildungen sind (nicht notwendigerweise streng) monotone reelle Funktionen. Der Monotoniebegriff wird aber allgemeiner auch auf vektorwertige Funktionen, Operatoren, Zahlenfolgen, Mengenfolgen und Funktionenfolgen angewandt.

Definition Bearbeiten

Sind und zwei halbgeordnete Mengen, dann heißt eine Abbildung isoton, ordnungserhaltend oder ein Ordnungshomomorphismus, wenn für alle Elemente

gilt, und antiton oder ordnungsumkehrend, wenn für alle

gilt. Eine Abbildung heißt monoton, wenn sie isoton oder antiton ist. Sind die entsprechenden strikten Ordnungen und definiert, so heißt eine Abbildung strikt isoton, wenn für alle Elemente

gilt, und strikt antiton, wenn für alle

gilt. Eine Abbildung heißt strikt monoton, wenn sie strikt isoton oder strikt antiton ist.

Beispiele Bearbeiten

Monotone Folgen Bearbeiten

  • Eine Abbildung von nach definiert durch ist genau dann monoton, wenn die Folge eine monotone Folge ist.
  • Ist eine beliebige Menge und ihre Potenzmenge, so lässt sich auf der Potenzmenge eine Ordnungsrelation durch die Teilmengenbeziehung definieren. Eine Abbildung von nach definiert durch ist genau dann monoton, wenn die Mengenfolge eine monotone Mengenfolge ist.
  • Auf einer Menge von reellwertigen Funktionen mit Definitionsbereich lässt sich eine Ordnung definieren durch

Monotone Funktionen Bearbeiten

Eigenschaften Bearbeiten

Eine isotone Abbildung stellt einen Ordnungs-Homomorphismus dar, eine antitone Abbildung hingegen einen Ordnungs-Antihomomorphismus. Eine bijektive isotone Abbildung, deren Inverse ebenfalls isoton ist, ist ein Ordnungs-Isomorphismus, eine bijektive antitone Abbildung mit antitoner Inverser ein Ordnungs-Antiisomorphismus.

Die Inverse einer bijektiven isotonen Abbildung muss nicht notwendigerweise selbst wieder isoton sein. Sind beispielsweise mit und mit sowie die (identische) Abbildung , dann ist zwar isoton, aber nicht, denn impliziert nicht . Gleiches gilt für die Antitonie der Inversen einer bijektiven antitonen Abbildung. Daher muss hier bei Iso- und Antiisomorphismen die Isotonie beziehungsweise die Antitonie der Inversen explizit gefordert werden.

Die Hintereinanderausführung zweier isotoner Abbildungen und ist wieder isoton. Nachdem auch die identische Abbildung isoton ist, stellt die Menge der isotonen Selbstabbildungen mit der Hintereinanderausführung als Verknüpfung ein Monoid (das Endomorphismenmonoid) dar. Allgemeiner bilden halbgeordnete Mengen zusammen mit isotonen Abbildungen eine (kartesisch abgeschlossene) Kategorie. Die bijektiven isotonen Selbstabbildungen mit isotonen Inversen bilden mit der Hintereinanderausführung als Verknüpfung entsprechend eine Gruppe (die Automorphismengruppe). Die Hintereinanderausführung zweier antitoner Abbildungen ist jedoch nicht wieder antiton, sondern isoton. Die Hintereinanderausführung einer isotonen mit einer antitonen Abbildung ist unabhängig von der Reihenfolge stets antiton.

Verwandte Begriffe Bearbeiten

Eine Abbildung zwischen zwei halbgeordneten Mengen und , für die die Umkehrung

für alle gilt, heißt ordnungsreflektierend. Eine ordnungsreflektierende Abbildung ist stets injektiv. Eine sowohl ordnungserhaltende als auch ordnungsreflektierende Abbildung, für die also

für alle gilt, wird Ordnungseinbettung genannt. Eine surjektive Ordnungseinbettung ist ein Ordnungsisomorphismus und man schreibt dann . Für eine Ordnungseinbettung gilt lediglich .

Literatur Bearbeiten

  • Rudolf Berghammer: Ordnungen und Verbände. Grundlagen, Vorgehensweisen und Anwendungen. Springer Vieweg, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-02710-0, doi:10.1007/978-3-658-02711-7.
  • Steven Roman: Lattices and Ordered Sets. Springer, 2008, ISBN 978-0-387-78900-2, doi:10.1007/978-0-387-78901-9.
  • Bernhard Ganter: Diskrete Mathematik: Geordnete Mengen, Springer, 2013, ISBN 978-3-642-37500-2
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Eine monotone Abbildung ist in der Mathematik eine Abbildung zwischen zwei halbgeordneten Mengen bei der aus der Ordnung zweier Elemente der Definitionsmenge auf die Ordnung der jeweiligen Bildelemente der Zielmenge geschlossen werden kann Bleibt die Ordnung der Elemente erhalten spricht man von einer isotonen oder ordnungserhaltenden Abbildung oder auch von einem Ordnungshomomorphismus Kehrt sich die Ordnung um spricht man von einer antitonen oder ordnungsumkehrenden Abbildung Eine monoton steigende reelle Funktion rot ist isoton und eine monoton fallende reelle Funktion blau ist antiton bezuglich der Ordnung auf den reellen ZahlenBekannte Beispiele monotoner Abbildungen sind nicht notwendigerweise streng monotone reelle Funktionen Der Monotoniebegriff wird aber allgemeiner auch auf vektorwertige Funktionen Operatoren Zahlenfolgen Mengenfolgen und Funktionenfolgen angewandt Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 2 1 Monotone Folgen 2 2 Monotone Funktionen 3 Eigenschaften 4 Verwandte Begriffe 5 LiteraturDefinition BearbeitenSind G G displaystyle G mathrel leq G nbsp und H H displaystyle H mathrel leq H nbsp zwei halbgeordnete Mengen dann heisst eine Abbildung ϕ G H displaystyle phi colon G rightarrow H nbsp isoton ordnungserhaltend oder ein Ordnungshomomorphismus wenn fur alle Elemente a b G displaystyle a b in G nbsp a G b ϕ a H ϕ b displaystyle a mathrel leq G b Rightarrow phi a mathrel leq H phi b nbsp gilt und antiton oder ordnungsumkehrend wenn fur alle a b G displaystyle a b in G nbsp a G b ϕ b H ϕ a displaystyle a mathrel leq G b Rightarrow phi b mathrel leq H phi a nbsp gilt Eine Abbildung heisst monoton wenn sie isoton oder antiton ist Sind die entsprechenden strikten Ordnungen lt G displaystyle mathrel lt G nbsp und lt H displaystyle mathrel lt H nbsp definiert so heisst eine Abbildung ϕ displaystyle phi nbsp strikt isoton wenn fur alle Elemente a b G displaystyle a b in G nbsp a lt G b ϕ a lt H ϕ b displaystyle a mathrel lt G b Rightarrow phi a mathrel lt H phi b nbsp gilt und strikt antiton wenn fur alle a b G displaystyle a b in G nbsp a lt G b ϕ b lt H ϕ a displaystyle a mathrel lt G b Rightarrow phi b mathrel lt H phi a nbsp gilt Eine Abbildung heisst strikt monoton wenn sie strikt isoton oder strikt antiton ist Beispiele BearbeitenMonotone Folgen Bearbeiten Eine Abbildung von N displaystyle mathbb N leq nbsp nach R displaystyle mathbb R leq nbsp definiert durch ps i a i displaystyle psi i a i nbsp ist genau dann monoton wenn die Folge a i i N displaystyle a i i in mathbb N nbsp eine monotone Folge ist Ist M displaystyle M nbsp eine beliebige Menge und P M displaystyle mathcal P M nbsp ihre Potenzmenge so lasst sich auf der Potenzmenge eine Ordnungsrelation durch die Teilmengenbeziehung displaystyle subset nbsp definieren Eine Abbildung von N displaystyle mathbb N leq nbsp nach P M displaystyle mathcal P M subset nbsp definiert durch ps i A i displaystyle psi i A i nbsp ist genau dann monoton wenn die Mengenfolge A i i N displaystyle A i i in mathbb N nbsp eine monotone Mengenfolge ist Auf einer Menge von reellwertigen Funktionen F displaystyle F nbsp mit Definitionsbereich D displaystyle D nbsp lasst sich eine Ordnung definieren durchf 1 f f 2 f 1 x f 2 x fur alle x D displaystyle f 1 leq f f 2 iff f 1 x leq f 2 x text fur alle x in D nbsp Eine Abbildung von N displaystyle mathbb N leq nbsp nach F f displaystyle F leq f nbsp definiert durch ps i f i displaystyle psi i f i nbsp ist genau dann monoton wenn die Funktionenfolge f i i N displaystyle f i i in mathbb N nbsp eine monotone Funktionenfolge ist Monotone Funktionen Bearbeiten Die monotonen Abbildungen von R displaystyle mathbb R leq nbsp nach R displaystyle mathbb R leq nbsp sind genau die monotonen reellen Funktionen Betrachtet man auf dem R n displaystyle mathbb R n nbsp Ordnungen die durch verallgemeinerte Ungleichung K displaystyle preccurlyeq K nbsp definiert werden so sind monotonen Abbildungen von R n K displaystyle mathbb R n preccurlyeq K nbsp nach R displaystyle mathbb R leq nbsp genau die K monotonen Funktionen Monotone Abbildungen die von dem Raum der symmetrischen reellen Matrizen S n displaystyle S n nbsp versehen mit der Loewner Halbordnung nach R displaystyle mathbb R leq nbsp abbilden heissen matrix monotone Funktionen Masse auf einer s displaystyle sigma nbsp Algebra A displaystyle mathcal A nbsp uber einer Grundmenge W displaystyle Omega nbsp sind monotone Abbildungen von A displaystyle mathcal A subset nbsp nach 0 displaystyle 0 infty leq nbsp Aussere Masse auf der Grundmenge W displaystyle Omega nbsp sind monotone Abbildungen von P W displaystyle mathcal P Omega subset nbsp nach 0 displaystyle 0 infty leq nbsp Eigenschaften BearbeitenEine isotone Abbildung stellt einen Ordnungs Homomorphismus dar eine antitone Abbildung hingegen einen Ordnungs Antihomomorphismus Eine bijektive isotone Abbildung deren Inverse ebenfalls isoton ist ist ein Ordnungs Isomorphismus eine bijektive antitone Abbildung mit antitoner Inverser ein Ordnungs Antiisomorphismus Die Inverse ϕ 1 displaystyle phi 1 nbsp einer bijektiven isotonen Abbildung ϕ displaystyle phi nbsp muss nicht notwendigerweise selbst wieder isoton sein Sind beispielsweise G a b c displaystyle G a b c nbsp mit a b a c displaystyle a leq b a leq c nbsp und H a b c displaystyle H a b c nbsp mit a b c displaystyle a preceq b preceq c nbsp sowie ϕ G H displaystyle phi colon G to H nbsp die identische Abbildung ϕ a a ϕ b b ϕ c c displaystyle phi a a phi b b phi c c nbsp dann ist ϕ displaystyle phi nbsp zwar isoton aber ϕ 1 displaystyle phi 1 nbsp nicht denn b c displaystyle b preceq c nbsp impliziert nicht b c displaystyle b leq c nbsp Gleiches gilt fur die Antitonie der Inversen einer bijektiven antitonen Abbildung Daher muss hier bei Iso und Antiisomorphismen die Isotonie beziehungsweise die Antitonie der Inversen explizit gefordert werden Die Hintereinanderausfuhrung ps ϕ displaystyle psi circ phi nbsp zweier isotoner Abbildungen ϕ F G displaystyle phi colon F to G nbsp und ps G H displaystyle psi colon G to H nbsp ist wieder isoton Nachdem auch die identische Abbildung id G G displaystyle operatorname id colon G to G nbsp isoton ist stellt die Menge der isotonen Selbstabbildungen ϕ G G displaystyle phi colon G to G nbsp mit der Hintereinanderausfuhrung als Verknupfung ein Monoid das Endomorphismenmonoid dar Allgemeiner bilden halbgeordnete Mengen zusammen mit isotonen Abbildungen eine kartesisch abgeschlossene Kategorie Die bijektiven isotonen Selbstabbildungen mit isotonen Inversen bilden mit der Hintereinanderausfuhrung als Verknupfung entsprechend eine Gruppe die Automorphismengruppe Die Hintereinanderausfuhrung zweier antitoner Abbildungen ist jedoch nicht wieder antiton sondern isoton Die Hintereinanderausfuhrung einer isotonen mit einer antitonen Abbildung ist unabhangig von der Reihenfolge stets antiton Verwandte Begriffe BearbeitenEine Abbildung ϕ G H displaystyle phi colon G rightarrow H nbsp zwischen zwei halbgeordneten Mengen G displaystyle G leq nbsp und H displaystyle H preceq nbsp fur die die Umkehrung a b ϕ a ϕ b displaystyle a leq b Leftarrow phi a preceq phi b nbsp fur alle a b G displaystyle a b in G nbsp gilt heisst ordnungsreflektierend Eine ordnungsreflektierende Abbildung ist stets injektiv Eine sowohl ordnungserhaltende als auch ordnungsreflektierende Abbildung fur die also a b ϕ a ϕ b displaystyle a leq b Leftrightarrow phi a preceq phi b nbsp fur alle a b G displaystyle a b in G nbsp gilt wird Ordnungseinbettung genannt Eine surjektive Ordnungseinbettung ist ein Ordnungsisomorphismus und man schreibt dann G H displaystyle G leq cong H preceq nbsp Fur eine Ordnungseinbettung gilt lediglich G ϕ G displaystyle G leq cong phi G preceq nbsp Literatur BearbeitenRudolf Berghammer Ordnungen und Verbande Grundlagen Vorgehensweisen und Anwendungen Springer Vieweg Wiesbaden 2013 ISBN 978 3 658 02710 0 doi 10 1007 978 3 658 02711 7 Steven Roman Lattices and Ordered Sets Springer 2008 ISBN 978 0 387 78900 2 doi 10 1007 978 0 387 78901 9 Bernhard Ganter Diskrete Mathematik Geordnete Mengen Springer 2013 ISBN 978 3 642 37500 2 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Monotone Abbildung amp oldid 224993038