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K monotone Funktion Eine ist eine Verallgemeinerung einer reellen monotonen Funktion auf Funktionen die vom R n displays

K-monotone Funktion

Eine K-monotone Funktion ist eine Verallgemeinerung einer reellen monotonen Funktion auf Funktionen, die vom nach abbilden. Dabei wird die Ordnung auf den reellen Zahlen mittels eines echten Kegels zu einer Halbordnung auf verallgemeinert. K-monotone Funktionen lassen sich als Spezialfall einer monotonen Abbildung auffassen.

Definition Bearbeiten

Gegeben sei eine Funktion mit und ein echter Kegel im sowie die von ihm definierte verallgemeinerte Ungleichung und die strikte verallgemeinerte Ungleichung . Dann heißt die Funktion

  • K-monoton wachsend oder K-monoton steigend, wenn für alle mit gilt, dass ist.
  • K-monoton fallend, wenn für alle mit gilt, dass ist.
  • strikt K-monoton wachsend oder strikt K-monoton steigend, wenn für alle mit gilt, dass ist.
  • strikt K-monoton fallend, wenn für alle mit gilt, dass ist.
  • strikt K-monoton, wenn sie entweder strikt K-monoton wachsend (strikt K-monoton steigend) oder strikt K-monoton fallend ist.
  • K-monoton, wenn sie entweder K-monoton wachsend (K-monoton steigend) oder K-monoton fallend ist.

Beispiele Bearbeiten

  • Jede monoton wachsende Funktion ist K-monoton wachsend bezüglich des Kegels .
  • Jede monoton fallende Funktion ist K-monoton wachsend bezüglich des Kegels . Die Angabe des Kegels ist also essentiell, um Verwechslungen vorzubeugen.
  • Sind die Funktionen monoton wachsend, so ist die Funktion

Eigenschaften Bearbeiten

Sei differenzierbar und eine konvexe Menge sowie der duale Kegel des Kegels . Dann gilt:

  • ist K-monoton wachsend auf genau dann, wenn für alle .
  • ist K-monoton fallend auf genau dann, wenn für alle .
  • Wenn für alle gilt, dann ist strikt K-monoton wachsend auf .
  • Wenn für alle gilt, dann ist strikt K-monoton fallend auf .

Matrix-monotone Funktionen Bearbeiten

Wählt man als Vektorraum anstelle des den (der Vektorraum aller reellen symmetrischen Matrizen), so nennt man die entsprechenden Funktionen Matrix-monotone Funktionen. Als Kegel wählt man hier den Kegel der semidefiniten Matrizen , was äquivalent zur Verwendung der Loewner-Halbordnung ist. Die Benennung folgt dem obigen Schema. So ist die Determinante strikt Matrix-monoton wachsend auf dem Kegel der positiv definiten Matrizen.

Verwendung Bearbeiten

K-monotone Funktionen finden Verwendung in der Theorie der konvexen Funktionen. So ist zum Beispiel die Verkettung einer K-monoton wachsenden konvexen Funktion und einer K-konvexen Funktion wieder konvex.

Literatur Bearbeiten

Stephen Boyd, Lieven Vandenberghe: Convex Optimization. Cambridge University Press, Cambridge, New York, Melbourne 2004, ISBN 978-0-521-83378-3 (online).

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Eine K monotone Funktion ist eine Verallgemeinerung einer reellen monotonen Funktion auf Funktionen die vom R n displaystyle mathbb R n nach R displaystyle mathbb R abbilden Dabei wird die Ordnung auf den reellen Zahlen mittels eines echten Kegels zu einer Halbordnung auf R n displaystyle mathbb R n verallgemeinert K monotone Funktionen lassen sich als Spezialfall einer monotonen Abbildung auffassen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Eigenschaften 4 Matrix monotone Funktionen 5 Verwendung 6 LiteraturDefinition BearbeitenGegeben sei eine Funktion f D R displaystyle f colon D to mathbb R nbsp mit D R n displaystyle D subset mathbb R n nbsp und ein echter Kegel K displaystyle K nbsp im R n displaystyle mathbb R n nbsp sowie die von ihm definierte verallgemeinerte Ungleichung K displaystyle preccurlyeq K nbsp und die strikte verallgemeinerte Ungleichung K displaystyle prec K nbsp Dann heisst die Funktion K monoton wachsend oder K monoton steigend wenn fur alle x y D displaystyle x y in D nbsp mit x K y displaystyle x preccurlyeq K y nbsp gilt dass f x f y displaystyle f x leq f y nbsp ist K monoton fallend wenn fur alle x y D displaystyle x y in D nbsp mit x K y displaystyle x preccurlyeq K y nbsp gilt dass f x f y displaystyle f x geq f y nbsp ist strikt K monoton wachsend oder strikt K monoton steigend wenn fur alle x y D x y displaystyle x y in D x neq y nbsp mit x K y displaystyle x preccurlyeq K y nbsp gilt dass f x lt f y displaystyle f x lt f y nbsp ist strikt K monoton fallend wenn fur alle x y D x y displaystyle x y in D x neq y nbsp mit x K y displaystyle x preccurlyeq K y nbsp gilt dass f x gt f y displaystyle f x gt f y nbsp ist strikt K monoton wenn sie entweder strikt K monoton wachsend strikt K monoton steigend oder strikt K monoton fallend ist K monoton wenn sie entweder K monoton wachsend K monoton steigend oder K monoton fallend ist Beispiele BearbeitenJede monoton wachsende Funktion ist K monoton wachsend bezuglich des Kegels K R 0 displaystyle K mathbb R 0 infty nbsp Jede monoton fallende Funktion ist K monoton wachsend bezuglich des Kegels K R 0 displaystyle K mathbb R infty 0 nbsp Die Angabe des Kegels ist also essentiell um Verwechslungen vorzubeugen Sind die Funktionen f i x i displaystyle f i x i nbsp monoton wachsend so ist die Funktionf x f 1 x 1 f n x n displaystyle f x f 1 x 1 dots f n x n nbsp K monoton wachsend bezuglich des positiven Orthanten R n displaystyle mathbb R n nbsp Dies folgt direkt aus der Monotonie der f i displaystyle f i nbsp Eigenschaften BearbeitenSei h R n D R displaystyle h mathbb R n supset D to R nbsp differenzierbar und D displaystyle D nbsp eine konvexe Menge sowie K D displaystyle K D nbsp der duale Kegel des Kegels K displaystyle K nbsp Dann gilt h displaystyle h nbsp ist K monoton wachsend auf D displaystyle D nbsp genau dann wenn h x K D 0 displaystyle nabla h x succcurlyeq K D 0 nbsp fur alle x D displaystyle x in D nbsp h displaystyle h nbsp ist K monoton fallend auf D displaystyle D nbsp genau dann wenn h x K D 0 displaystyle nabla h x preccurlyeq K D 0 nbsp fur alle x D displaystyle x in D nbsp Wenn h x K D 0 displaystyle nabla h x succ K D 0 nbsp fur alle x D displaystyle x in D nbsp gilt dann ist h displaystyle h nbsp strikt K monoton wachsend auf D displaystyle D nbsp Wenn h x K D 0 displaystyle nabla h x prec K D 0 nbsp fur alle x D displaystyle x in D nbsp gilt dann ist h displaystyle h nbsp strikt K monoton fallend auf D displaystyle D nbsp Matrix monotone Funktionen BearbeitenWahlt man als Vektorraum anstelle des R n displaystyle mathbb R n nbsp den S n displaystyle S n nbsp der Vektorraum aller reellen symmetrischen Matrizen so nennt man die entsprechenden Funktionen h S n R displaystyle h colon S n to mathbb R nbsp Matrix monotone Funktionen Als Kegel wahlt man hier den Kegel der semidefiniten Matrizen S n displaystyle S n nbsp was aquivalent zur Verwendung der Loewner Halbordnung ist Die Benennung folgt dem obigen Schema So ist die Determinante det S n R displaystyle det colon S n to mathbb R nbsp strikt Matrix monoton wachsend auf dem Kegel S n displaystyle S n nbsp der positiv definiten Matrizen Verwendung BearbeitenK monotone Funktionen finden Verwendung in der Theorie der konvexen Funktionen So ist zum Beispiel die Verkettung einer K monoton wachsenden konvexen Funktion und einer K konvexen Funktion wieder konvex Literatur BearbeitenStephen Boyd Lieven Vandenberghe Convex Optimization Cambridge University Press Cambridge New York Melbourne 2004 ISBN 978 0 521 83378 3 online Abgerufen von https de wikipedia org w index php title K monotone Funktion amp oldid 210633225 Matrix monotone Funktionen