Dualer Kegel Der duale Kegel ist ein spezieller Kegel der jedem Kegel zugeordnet werden kann Er spielt beispielsweise be

Dualer Kegel

Der duale Kegel ist ein spezieller Kegel, der jedem Kegel zugeordnet werden kann. Er spielt beispielsweise bei den Dualitätsaussagen der Lagrange-Dualität in der mathematischen Optimierung eine Rolle. Er ist eng mit dem polaren Kegel verwandt.

Definition Bearbeiten

In Hilberträumen Bearbeiten

Gegeben sei ein Hilbertraum (also ein vollständiger Vektorraum mit Skalarprodukt ) und ein Kegel in diesem Vektorraum. Dann heißt die dem Kegel zugeordnete Menge

der duale Kegel von . Anschaulich sind dies dann alle Vektoren, die mit allen Elementen des Kegels einen Winkel von höchstens 90° einschließen. Gelegentlich wird der duale Kegel auch mit oder bezeichnet.

Allgemeiner Fall Bearbeiten

Ist der Dualraum von und ist ein Kegel in , dann ist der duale Kegel definiert durch

Dabei bezeichnet die duale Paarung, das heißt, es gilt .

Bemerkung Bearbeiten

Teilweise wird schon in unvollständigen Prähilberträumen die erste Form der Definition verwendet, um die entstehenden Mengen als Kegel im Ursprungsraum auffassen zu können.

Beispiele Bearbeiten

Betrachtet man in versehen mit dem Standardskalarprodukt den Kegel mit , so ist der duale Kegel die rechte Halbebene . Ist nämlich , so ist und dies soll sein für alle , daher muss sein.

Entsprechend der obigen Identität ist dann der polare Kegel die linke Halbebene.

Versieht man den mit dem Skalarprodukt , wobei die symmetrische positiv definite Matrix

ist, so ist der duale Kegel

Dies ist die Halbebene, die von der Geraden begrenzt wird und den ersten Quadranten enthält. Das verwendete Skalarprodukt ist also ausschlaggebend für die Erzeugung des dualen (und polaren) Kegels.

Ein Beispiel für einen selbstdualen Kegel ist .

Eigenschaften Bearbeiten

Der duale und der polare Kegel sind konvex, unabhängig davon, ob diese Eigenschaft bereits dem ursprünglichen Kegel zukam oder nicht.
Ist ein topologischer Vektorraum – mit dem topologischen Dualraum – so sind der polare und duale Kegel stets abgeschlossen.

Literatur Bearbeiten

Boyd, Stephen; Vandenberghe, Lieven (2004). Convex Optimization. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83378-3. (online)
Florian Jarre, Josef Stoer: Optimierung. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-43575-1.
Peter Knabner, Wolf Barth: Lineare Algebra. Grundlagen und Anwendungen (= Springer-Lehrbuch). Springer Spektrum, Berlin u. a. 2013, ISBN 978-3-642-32185-6.

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Veröffentlichungsdatum: Dezember 02, 2023, 20:22 pm

Der duale Kegel ist ein spezieller Kegel der jedem Kegel zugeordnet werden kann Er spielt beispielsweise bei den Dualitatsaussagen der Lagrange Dualitat in der mathematischen Optimierung eine Rolle Er ist eng mit dem polaren Kegel verwandt Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 In Hilbertraumen 1 2 Allgemeiner Fall 1 3 Bemerkung 2 Verwandte Begriffsbildungen 2 1 Polarer Kegel 2 2 Selbstdualer Kegel 2 3 Bemerkung 3 Beispiele 4 Eigenschaften 5 LiteraturDefinition BearbeitenIn Hilbertraumen Bearbeiten Gegeben sei ein Hilbertraum V displaystyle V nbsp also ein vollstandiger Vektorraum mit Skalarprodukt displaystyle langle rangle nbsp und ein Kegel K displaystyle mathcal K nbsp in diesem Vektorraum Dann heisst die dem Kegel zugeordnete Menge dual K y V x K y x 0 displaystyle operatorname dual mathcal K y in V forall x in mathcal K colon langle y x rangle geq 0 nbsp der duale Kegel von K displaystyle mathcal K nbsp Anschaulich sind dies dann alle Vektoren die mit allen Elementen des Kegels einen Winkel von hochstens 90 einschliessen Gelegentlich wird der duale Kegel auch mit K displaystyle mathcal K nbsp oder K D displaystyle mathcal K D nbsp bezeichnet Allgemeiner Fall Bearbeiten Ist V displaystyle V nbsp der Dualraum von V displaystyle V nbsp und ist K displaystyle mathcal K nbsp ein Kegel in V displaystyle V nbsp dann ist der duale Kegel definiert durch dual K y V x K y x 0 displaystyle operatorname dual mathcal K y in V forall x in mathcal K colon langle y x rangle geq 0 nbsp Dabei bezeichnet displaystyle langle rangle nbsp die duale Paarung das heisst es gilt y x y x displaystyle langle y x rangle y x nbsp Bemerkung Bearbeiten Teilweise wird schon in unvollstandigen Prahilbertraumen die erste Form der Definition verwendet um die entstehenden Mengen als Kegel im Ursprungsraum V displaystyle V nbsp auffassen zu konnen Verwandte Begriffsbildungen BearbeitenPolarer Kegel Bearbeiten Analog lasst sich der Begriff des polaren Kegels formulieren pol K y V x K y x 0 displaystyle operatorname pol mathcal K y in V forall x in mathcal K colon langle y x rangle leq 0 nbsp In einem Hilbertraum gilt dann pol K y V x K y x 0 displaystyle operatorname pol mathcal K y in V forall x in mathcal K colon langle y x rangle leq 0 nbsp Das ist die Menge aller Vektoren die mit allen Kegelelementen einen Winkel von mindestens 90 haben und deshalb gilt K pol K 0 V displaystyle mathcal K cap operatorname pol mathcal K 0 V nbsp Fur beide Versionen der Definition ergibt sich die Beziehung pol K dual K displaystyle operatorname pol mathcal K operatorname dual mathcal K nbsp im jeweiligen Vektorraum Dies lasst sich auch als Definition nutzen Selbstdualer Kegel Bearbeiten Ein Kegel heisst selbstdual wenn dual K K displaystyle operatorname dual mathcal K mathcal K nbsp gilt Bemerkung Bearbeiten Gelegentlich wird der duale Kegel wie der polare Kegel definiert und umgekehrt hier ist die Literatur nicht eindeutig Es gilt also die Richtung der Ungleichung zu beachten Beispiele BearbeitenBetrachtet man in R 2 displaystyle mathbb R 2 nbsp versehen mit dem Standardskalarprodukt den Kegel K x R 2 x 1 0 x 2 0 l 1 0 T displaystyle mathcal K x in mathbb R 2 x 1 geq 0 x 2 0 lambda 1 0 T nbsp mit l 0 displaystyle lambda geq 0 nbsp so ist der duale Kegel die rechte Halbebene dual K R R displaystyle operatorname dual mathcal K mathbb R times mathbb R nbsp Ist namlich x K displaystyle x in mathcal K nbsp so ist x T y l y 1 displaystyle x T y lambda y 1 nbsp und dies soll 0 displaystyle geq 0 nbsp sein fur alle l 0 displaystyle lambda geq 0 nbsp daher muss y 1 0 displaystyle y 1 geq 0 nbsp sein Entsprechend der obigen Identitat ist dann der polare Kegel die linke Halbebene Versieht man den R 2 displaystyle mathbb R 2 nbsp mit dem Skalarprodukt x y A x T A y displaystyle langle x y rangle A x T Ay nbsp wobei A displaystyle A nbsp die symmetrische positiv definite Matrix A 4 1 1 2 displaystyle A begin pmatrix 4 amp 1 1 amp 2 end pmatrix nbsp ist so ist der duale Kegel dual K y R 2 4 y 1 y 2 0 displaystyle operatorname dual mathcal K y in mathbb R 2 4y 1 y 2 geq 0 nbsp Dies ist die Halbebene die von der Geraden y 2 4 y 1 displaystyle y 2 4y 1 nbsp begrenzt wird und den ersten Quadranten enthalt Das verwendete Skalarprodukt ist also ausschlaggebend fur die Erzeugung des dualen und polaren Kegels Ein Beispiel fur einen selbstdualen Kegel ist K x R 2 x 1 0 x 2 0 displaystyle mathcal K x in mathbb R 2 x 1 geq 0 x 2 geq 0 nbsp Eigenschaften BearbeitenDer duale und der polare Kegel sind konvex unabhangig davon ob diese Eigenschaft bereits dem ursprunglichen Kegel zukam oder nicht Ist V displaystyle V nbsp ein topologischer Vektorraum mit dem topologischen Dualraum V displaystyle V nbsp so sind der polare und duale Kegel stets abgeschlossen Literatur BearbeitenBoyd Stephen Vandenberghe Lieven 2004 Convex Optimization Cambridge University Press ISBN 978 0 521 83378 3 online Florian Jarre Josef Stoer Optimierung Springer Berlin 2004 ISBN 3 540 43575 1 Peter Knabner Wolf Barth Lineare Algebra Grundlagen und Anwendungen Springer Lehrbuch Springer Spektrum Berlin u a 2013 ISBN 978 3 642 32185 6 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Dualer Kegel amp oldid 211775445