In der Mathematik ist ein konvexer Kegel ein Kegel, der unter Linearkombinationen mit positiven Koeffizienten (auch konische Kombinationen genannt) abgeschlossen ist. Konvexe Kegel spielen eine wichtige Rolle in der konischen Optimierung.
Definition Bearbeiten
Gegeben sei eine Menge eines -Vektorraumes, wobei ein angeordneter Körper ist. Meist ist .
Die Menge ist ein konvexer Kegel, wenn eine der folgenden Definitionen zutrifft:
- ist konvex und ein Kegel.
- ist ein Kegel, und für beliebige ist wieder in enthalten.
- Für beliebige und aus ist stets wieder in .
- Die Menge ist abgeschlossen bezüglich konischen Kombinationen.
Eigenschaften Bearbeiten
- Schnitte von Familien von Konvexen Kegeln sind wieder Konvexe Kegel. Somit bilden die konvexen Kegel ein Hüllensystem.
- Die konische Hülle (manchmal auch positive Hülle genannt) weist jeder Menge den kleinsten konvexen Kegel zu, der diese Menge enthält. Somit ist die konische Hülle der Hüllenoperator zu dem Hüllensystem der konvexen Kegel.
- Jeder konvexe Kegel definiert eine Ordnungsrelation auf dem Vektorraum, in dem er sich befindet. Der konvexe Kegel wird dann als Ordnungskegel aufgefasst.
Kegel über Teilmengen der Sphäre Bearbeiten
Für eine Teilmenge der Einheitssphäre heißt
der Kegel über .
Jeder Kegel ist von der Form für .
Die Konvexität von Kegeln lässt sich durch folgende äquivalente geometrische Definition beschreiben: Ein Kegel ist genau dann ein konvexer Kegel, wenn der Durchschnitt mit jedem Großkreis der Einheitssphäre zusammenhängend ist.
Weitere Begriffe Bearbeiten
Ein Kegel heißt ein polyedrischer Kegel, wenn es eine Matrix gibt, so dass
ist. Ein Kegel ist genau dann ein polyedrischer Kegel, wenn er von einer endlichen Menge an Vektoren erzeugt wird.
Ein Kegel heißt regulär, wenn
Die Automorphismengruppe eines Kegels ist
Ein Kegel heißt homogen, wenn die Automorphismengruppe transitiv auf wirkt.
Er heißt symmetrisch, wenn es zu jedem eine Involution mit als einzigem Fixpunkt gibt. Symmetrische konvexe Kegel sind stets homogen.
Ein Kegel heißt reduzibel wenn er von der Form
mit ist, irreduzibel sonst.
Der zu duale Kegel ist definiert als . Auch diese Definition lässt sich analog für Vektorräume mit Skalarprodukt über einem angeordneten Körper formulieren.
Ein Kegel heißt selbstdual, wenn ist.
Charakterisierung symmetrischer konvexer Kegel: Ein konvexer Kegel ist genau dann symmetrisch, wenn er offen, regulär, homogen und selbstdual ist.
Satz von Koecher-Vinberg Bearbeiten
Der positive Kegel einer Jordan-Algebra ist die Menge der Elemente mit positivem Spektrum. Eine Jordan-Algebra heißt formal reell, wenn sich nicht als nichttriviale Summe von Quadraten darstellen lässt. In einer formal reellen Jordan-Algebra gehört ein Element genau dann zum positiven Kegel, wenn es ein Quadrat ist.
Der Satz von Koecher-Vinberg besagt, dass die Konstruktion des positiven Kegels eine Bijektion zwischen formal reellen Jordan-Algebren und symmetrischen konvexen Kegeln herstellt.
Symmetrische konvexe Kegel werden deshalb auch als Positivitäts-Gebiet (engl.: domain of positivity) bezeichnet.
Klassifikation symmetrischer konvexer Kegel Bearbeiten
Max Koecher benutzte 1965 die Klassifikation formal reeller Jordan-Algebren zur Klassifikation der symmetrischen konvexen Kegel.
Die irreduziblen symmetrischen konvexen Kegel in sind durch die folgende Liste gegeben:
- der Lorentz-Kegel
- der Kegel der positiven symmetrischen -Matrizen für
- der Kegel der positiven hermiteschen komplexen -Matrizen für
- der Kegel der positiven hermiteschen quaternionischen -Matrizen für
- und für der Kegel mit .
Literatur Bearbeiten
- Benoist, Yves: A survey on divisible convex sets. Geometry, analysis and topology of discrete groups, 1–18, Adv. Lect. Math. (ALM), 6, Int. Press, Somerville, MA 2008. pdf
- Koecher, Max: The Minnesota notes on Jordan algebras and their applications. Edited, annotated and with a preface by Aloys Krieg and Sebastian Walcher. Lecture Notes in Mathematics, 1710. Springer-Verlag, Berlin 1999, ISBN 3-540-66360-6.