Die konische Hulle manchmal auch positive Hulle genannt ist ein spezieller Hullenoperator der jeder Teilmenge eines Vektorraumes den kleinsten konvexen Kegel zuordnet der diese Menge enthalt Die konische Hulle findet Verwendung in der Theorie der mathematischen Optimierung insbesondere in der linearen Optimierung Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Bemerkungen 3 Eigenschaften 4 Endlich erzeugter Kegel 5 Beispiele 6 LiteraturDefinition BearbeitenGegeben sei ein R displaystyle mathbb R nbsp Vektorraum V displaystyle V nbsp und X displaystyle X nbsp eine beliebige Teilmenge von V displaystyle V nbsp Dann heisst pos X X K K ist konvexer Kegel K displaystyle operatorname pos X bigcap X subseteq mathcal K atop mathcal K text ist konvexer Kegel mathcal K nbsp die konische Hulle oder auch positive Hulle von X displaystyle X nbsp Sie ist der kleinste konvexe Kegel der X displaystyle X nbsp enthalt Aquivalent dazu ist die Definition pos X i 1 n l i x i n N x i X l i 0 displaystyle operatorname pos X left sum i 1 n lambda i x i n in mathbb N x i in X lambda i geq 0 right nbsp Bemerkungen BearbeitenAllgemeiner lasst sich die Kegelhulle fur beliebige K displaystyle mathbb K nbsp Vektorraume definieren solange K displaystyle mathbb K nbsp ein geordneter Korper ist Die Notation pos X displaystyle operatorname pos X nbsp wird in der Literatur nicht einheitlich verwendet teilweise findet sich auch die Bezeichnung cone X displaystyle operatorname cone X nbsp Diese Notation bezeichnet aber auch manchmal den kleinsten gewohnlichen Kegel der X displaystyle X nbsp enthalt und wird dann Kegelhulle genannt Eigenschaften BearbeitenDie konische Hulle ist die kleinste Menge die abgeschlossen bezuglich konischen Kombinationen der Elemente von X displaystyle X nbsp ist Dies folgt direkt aus der zweiten Charakterisierung pos displaystyle operatorname pos nbsp ist ein Hullenoperator es gilt also fur X Y V displaystyle X Y subset V nbsp X pos X displaystyle X subset operatorname pos X nbsp X Y pos X pos Y displaystyle X subset Y implies operatorname pos X subset operatorname pos Y nbsp pos pos X pos X displaystyle operatorname pos operatorname pos X operatorname pos X nbsp dd Es gilt pos X cone conv X conv cone X displaystyle operatorname pos X operatorname cone operatorname conv X operatorname conv operatorname cone X nbsp Hierbei ist cone displaystyle operatorname cone nbsp die Kegelhulle und conv displaystyle operatorname conv nbsp die konvexe Hulle Endlich erzeugter Kegel BearbeitenEin Kegel K displaystyle K nbsp heisst endlich erzeugter Kegel wenn es eine endliche Menge X displaystyle X nbsp gibt so dass K pos X displaystyle K operatorname pos X nbsp ist Ein Kegel im R n displaystyle mathbb R n nbsp ist genau dann endlich erzeugt wenn er ein polyedrischer Kegel ist Beispiele BearbeitenSind im R 2 displaystyle mathbb R 2 nbsp die zwei Vektoren v 1 0 1 v 2 1 0 displaystyle v 1 begin pmatrix 0 1 end pmatrix v 2 begin pmatrix 1 0 end pmatrix nbsp gegeben so ist pos v 1 v 2 x R 2 x 1 0 x 2 0 displaystyle operatorname pos v 1 v 2 x in mathbb R 2 x 1 geq 0 x 2 geq 0 nbsp da sich jedes Element dieser Menge der erste Quadrant als Positivkombination von v 1 displaystyle v 1 nbsp oder v 2 displaystyle v 2 nbsp darstellen lasst Sind die Monome x 2 x 1 displaystyle x 2 x 1 nbsp gegeben so ist pos x 2 x 1 l 2 x 2 l 1 x l 0 displaystyle operatorname pos x 2 x 1 lambda 2 x 2 lambda 1 x lambda 0 nbsp fur l i 0 displaystyle lambda i geq 0 nbsp Dies sind dann genau alle Polynome vom Maximalgrad 2 mit positiven Koeffizienten Literatur BearbeitenPeter Gritzmann Grundlagen der Mathematischen Optimierung Springer 2013 ISBN 978 3 528 07290 2 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Konische Hulle amp oldid 206029344
