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Konische Kombination Eine konische Kombination manchmal auch Nichtnegativkombination oder konische Linearkombination und

Konische Kombination

Eine konische Kombination (manchmal auch Nichtnegativkombination oder konische Linearkombination) und die eng verwandte Positivkombination sind spezielle Linearkombinationen, bei denen alle Koeffizienten nichtnegativ bzw. positiv sind. Sie treten meist im Zusammenhang mit konvexen Kegeln auf.

Definition Bearbeiten

Gegeben sei ein -Vektorraum und . Dann heißt eine konische Kombination oder Nichtnegativkombination von , wenn es in gibt, so dass

gilt. Sind alle , so spricht man von einer Positivkombination.

Eine Linearkombination mit nichtnegativen (bzw. positiven) Koeffizienten heißt also Nichtnegativ- (bzw. Positiv-) Kombination.

Eigenschaften Bearbeiten

Die (unendlich ausgedehnte) konische Hülle von zwei Vektoren im
  • Allgemeiner lassen sich die obigen Begriffe auch für beliebige -Vektorräume definieren, solange ein geordneter Körper ist.
  • Jede Konvexkombination ist eine konische Kombination.
  • Die zur konischen Kombination gehörende Hülle wird konische Hülle oder positive Hülle genannt und mit dem Symbol (manchmal zweideutig auch mit ) bezeichnet. Sie ordnet jeder Teilmenge eines Vektorraumes den kleinsten konvexen Kegel zu, der diese Teilmenge enthält

Beispiel Bearbeiten

Das Polynom ist eine konische Kombination der Monome mit . Somit ist es auch eine Positivkombination der Monome. Wählt man hingegen als Monome , so handelt es sich nur um eine konische Kombination und nicht um eine Positivkombination, da ist.

Betrachtet man im die Vektoren

so lässt sich auf mehr als eine Art als konische Kombination von darstellen. Da und linear abhängig sind, ist eine mögliche konische Kombination . Eine zweite Möglichkeit wäre die Kombination . Beides sind keine Positivkombinationen, da stets einer der Koeffizienten null ist.

Literatur Bearbeiten

  • Peter Knabner, Wolf Barth: Lineare Algebra. Grundlagen und Anwendungen (= Springer-Lehrbuch). Springer Spektrum, Berlin u. a. 2013, ISBN 978-3-642-32185-6.
  • Stephen Boyd, Lieven Vandenberghe: Convex Optimization. Cambridge University Press, 2004, ISBN 978-0-521-83378-3 (online).
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Eine konische Kombination manchmal auch Nichtnegativkombination oder konische Linearkombination und die eng verwandte Positivkombination sind spezielle Linearkombinationen bei denen alle Koeffizienten nichtnegativ bzw positiv sind Sie treten meist im Zusammenhang mit konvexen Kegeln auf Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Beispiel 4 LiteraturDefinition BearbeitenGegeben sei ein R displaystyle mathbb R nbsp Vektorraum V displaystyle V nbsp und x x 1 x n V displaystyle x x 1 dots x n in V nbsp Dann heisst x displaystyle x nbsp eine konische Kombination oder Nichtnegativkombination von x 1 x n displaystyle x 1 dots x n nbsp wenn es l 1 l n 0 displaystyle lambda 1 dots lambda n geq 0 nbsp in R displaystyle mathbb R nbsp gibt so dass x i 1 l i x i displaystyle x sum i 1 lambda i x i nbsp gilt Sind alle l i gt 0 displaystyle lambda i gt 0 nbsp so spricht man von einer Positivkombination Eine Linearkombination mit nichtnegativen bzw positiven Koeffizienten heisst also Nichtnegativ bzw Positiv Kombination Eigenschaften Bearbeiten nbsp Die unendlich ausgedehnte konische Hulle von zwei Vektoren im R 2 displaystyle mathbb R 2 nbsp Allgemeiner lassen sich die obigen Begriffe auch fur beliebige K displaystyle mathbb K nbsp Vektorraume definieren solange K displaystyle mathbb K nbsp ein geordneter Korper ist Jede Konvexkombination ist eine konische Kombination Die zur konischen Kombination gehorende Hulle wird konische Hulle oder positive Hulle genannt und mit dem Symbol pos A displaystyle operatorname pos A nbsp manchmal zweideutig auch mit cone A displaystyle operatorname cone A nbsp bezeichnet Sie ordnet jeder Teilmenge eines Vektorraumes den kleinsten konvexen Kegel zu der diese Teilmenge enthaltBeispiel BearbeitenDas Polynom 3 x 2 5 x 2 displaystyle 3x 2 5x 2 nbsp ist eine konische Kombination der Monome x 2 x 1 displaystyle x 2 x 1 nbsp mit l 2 3 l 1 5 l 0 2 displaystyle lambda 2 3 lambda 1 5 lambda 0 2 nbsp Somit ist es auch eine Positivkombination der Monome Wahlt man hingegen als Monome x 3 x 2 x 1 displaystyle x 3 x 2 x 1 nbsp so handelt es sich nur um eine konische Kombination und nicht um eine Positivkombination da l 3 0 l 2 3 l 1 5 l 0 2 displaystyle lambda 3 0 lambda 2 3 lambda 1 5 lambda 0 2 nbsp ist Betrachtet man im R 2 displaystyle mathbb R 2 nbsp die Vektoren v 2 2 v 1 1 0 v 2 1 1 v 3 1 2 displaystyle v begin pmatrix 2 2 end pmatrix v 1 begin pmatrix 1 0 end pmatrix v 2 begin pmatrix 1 1 end pmatrix v 3 begin pmatrix 1 2 end pmatrix nbsp so lasst sich v displaystyle v nbsp auf mehr als eine Art als konische Kombination von v 1 v 2 v 3 displaystyle v 1 v 2 v 3 nbsp darstellen Da v displaystyle v nbsp und v 2 displaystyle v 2 nbsp linear abhangig sind ist eine mogliche konische Kombination v 0 v 1 2 v 2 0 v 3 displaystyle v 0v 1 2v 2 0v 3 nbsp Eine zweite Moglichkeit ware die Kombination v 1 v 1 0 v 2 1 v 3 displaystyle v 1v 1 0v 2 1v 3 nbsp Beides sind keine Positivkombinationen da stets einer der Koeffizienten null ist Literatur BearbeitenPeter Knabner Wolf Barth Lineare Algebra Grundlagen und Anwendungen Springer Lehrbuch Springer Spektrum Berlin u a 2013 ISBN 978 3 642 32185 6 Stephen Boyd Lieven Vandenberghe Convex Optimization Cambridge University Press 2004 ISBN 978 0 521 83378 3 online Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Konische Kombination amp oldid 211964828