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Ordnungskegel Ein oder auch positiver Kegel ist ein spezieller Kegel in einem geordneten Vektorraum Er wird über die Ord

Ordnungskegel

Ein Ordnungskegel oder auch positiver Kegel ist ein spezieller Kegel in einem geordneten Vektorraum. Er wird über die Ordnungsrelation in diesem Vektorraum definiert. Umgekehrt lassen sich aber auch Kegel unter gewissen Umständen zu Ordnungskegeln erklären und definieren damit dann eine Ordnungsrelation. Somit sind Ordnungskegel und Ordnungsrelation in mancher Hinsicht äquivalent. Jede Eigenschaft des Kegels entspricht dann einer analogen Eigenschaft der Ordnungsrelation und umgekehrt.

Definition Bearbeiten

Gegeben sei ein geordneter Vektorraum . Dann heißt die Menge

der Ordnungskegel oder der positive Kegel auf . Er enthält alle Elemente, die „positiv“ bezüglich der Ordnungsrelation sind. Ist umgekehrt ein konvexer Kegel in , so wird durch

eine Ordnungsrelation auf definiert, die zu einem geordneten Vektorraum macht. Auch in diesem Fall nennt man den Ordnungskegel.

Beispiel Bearbeiten

Endlichdimensional Bearbeiten

Auf dem Vektorraum der reellen symmetrischen -Matrizen wird durch

die sogenannte Loewner-Halbordnung definiert. Der entsprechende positive Kegel ist dann

Umgekehrt lässt sich die Loewner-Halbordnung auch über diesen Ordnungskegel definieren.

Unendlichdimensional Bearbeiten

Auf dem Funktionenraum der im Intervall zwischen 0 und 1 stetigen Funktionen definiert man den Ordnungskegel

Er definiert die Ordnung

und macht damit zu einem geordneten Vektorraum.

Eigenschaften Bearbeiten

  • Jeder Ordnungskegel, der durch einen geordneten Vektorraum definiert wird, ist ein Kegel mit 0. Dies folgt direkt aus der Reflexivität von .
  • Jeder Ordnungskegel, der durch einen geordneten Vektorraum definiert wird, ist ein konvexer Kegel. Dies folgt aus der Abgeschlossenheit der Ordnungsrelation bezüglich Addition und Skalarmultiplikation. Daher definieren auch nur konvexe Kegel geordnete Vektorräume: Schwächere Kegeldefinitionen führen zum Verlust dieser Eigenschaften.
  • Die Ordnungsrelation ist genau dann antisymmetrisch, d. h. aus und folgt , wenn der Ordnungskegel spitz ist, d. h. wenn . Die Ordnungsrelation heißt dann eine strikte Ordnung.
  • Der zum Ordnungskegel duale Kegel definiert die sogenannte duale Ordnung auf dem Dualraum von .

Anwendungen Bearbeiten

Ordnungskegel und die von ihnen definierten Ordnungsrelationen werden in der Optimierung genutzt, um Verallgemeinerungen von Ungleichungsrestriktionen zu definieren. Insbesondere sind Ordnungskegel etwas allgemeiner als verallgemeinerte Ungleichungen, da sie nur einen konvexen Kegel voraussetzen, nicht einen echten Kegel.

Die oben genannte Loewner-Ordnung kann auf beliebige C*-Algebren verallgemeinert werden. Ist der reelle Vektorraum der selbstadjungierten Elemente einer C*-Algebra , so ist ein Ordnungskegel, der zu einem geordneten Vektorraum macht. Die Elemente des Ordnungskegels der dualen Ordnung führen zur sogenannten GNS-Konstruktion.

Literatur Bearbeiten

  • Johannes Jahn: Introduction to the Theory of Nonlinear Optimization. 3. Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-49378-5.
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Ein Ordnungskegel oder auch positiver Kegel ist ein spezieller Kegel in einem geordneten Vektorraum Er wird uber die Ordnungsrelation in diesem Vektorraum definiert Umgekehrt lassen sich aber auch Kegel unter gewissen Umstanden zu Ordnungskegeln erklaren und definieren damit dann eine Ordnungsrelation Somit sind Ordnungskegel und Ordnungsrelation in mancher Hinsicht aquivalent Jede Eigenschaft des Kegels entspricht dann einer analogen Eigenschaft der Ordnungsrelation und umgekehrt Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiel 2 1 Endlichdimensional 2 2 Unendlichdimensional 3 Eigenschaften 4 Anwendungen 5 LiteraturDefinition BearbeitenGegeben sei ein geordneter Vektorraum V displaystyle V preceq nbsp Dann heisst die Menge K x V 0 x displaystyle K x in V 0 preceq x nbsp der Ordnungskegel oder der positive Kegel auf V displaystyle V nbsp Er enthalt alle Elemente die positiv bezuglich der Ordnungsrelation sind Ist umgekehrt K displaystyle K nbsp ein konvexer Kegel in V displaystyle V nbsp so wird durch x y y x K displaystyle x preceq y iff y x in K nbsp eine Ordnungsrelation auf V displaystyle V nbsp definiert die V displaystyle V preceq nbsp zu einem geordneten Vektorraum macht Auch in diesem Fall nennt man K displaystyle K nbsp den Ordnungskegel Beispiel BearbeitenEndlichdimensional Bearbeiten Auf dem Vektorraum S n displaystyle S n nbsp der reellen symmetrischen n n displaystyle n times n nbsp Matrizen wird durch A L B A B ist positiv semidefinit displaystyle A geq L B iff A B text ist positiv semidefinit nbsp die sogenannte Loewner Halbordnung definiert Der entsprechende positive Kegel ist dann K A S n A L 0 A S n A ist positiv semidefinit displaystyle K A in S n A geq L 0 A in S n A text ist positiv semidefinit nbsp Umgekehrt lasst sich die Loewner Halbordnung auch uber diesen Ordnungskegel definieren Unendlichdimensional Bearbeiten Auf dem Funktionenraum C 0 1 displaystyle C 0 1 nbsp der im Intervall zwischen 0 und 1 stetigen Funktionen definiert man den Ordnungskegel K f C 0 1 t 0 1 f t 0 displaystyle K f in C 0 1 forall t in 0 1 f t geq 0 nbsp Er definiert die Ordnung f g t 0 1 f t g t displaystyle f preceq g iff forall t in 0 1 f t leq g t nbsp und macht damit C 0 1 displaystyle C 0 1 nbsp zu einem geordneten Vektorraum Eigenschaften BearbeitenJeder Ordnungskegel der durch einen geordneten Vektorraum definiert wird ist ein Kegel mit 0 Dies folgt direkt aus der Reflexivitat von displaystyle preceq nbsp Jeder Ordnungskegel der durch einen geordneten Vektorraum definiert wird ist ein konvexer Kegel Dies folgt aus der Abgeschlossenheit der Ordnungsrelation bezuglich Addition und Skalarmultiplikation Daher definieren auch nur konvexe Kegel geordnete Vektorraume Schwachere Kegeldefinitionen fuhren zum Verlust dieser Eigenschaften Die Ordnungsrelation ist genau dann antisymmetrisch d h aus a b displaystyle a succeq b nbsp und b a displaystyle b preceq a nbsp folgt a b displaystyle a b nbsp wenn der Ordnungskegel spitz ist d h wenn K K 0 displaystyle K cap K 0 nbsp Die Ordnungsrelation heisst dann eine strikte Ordnung Der zum Ordnungskegel duale Kegel definiert die sogenannte duale Ordnung auf dem Dualraum von V displaystyle V nbsp Anwendungen BearbeitenOrdnungskegel und die von ihnen definierten Ordnungsrelationen werden in der Optimierung genutzt um Verallgemeinerungen von Ungleichungsrestriktionen zu definieren Insbesondere sind Ordnungskegel etwas allgemeiner als verallgemeinerte Ungleichungen da sie nur einen konvexen Kegel voraussetzen nicht einen echten Kegel Die oben genannte Loewner Ordnung kann auf beliebige C Algebren verallgemeinert werden Ist A sa displaystyle A text sa nbsp der reelle Vektorraum der selbstadjungierten Elemente einer C Algebra A displaystyle A nbsp so ist a a a A displaystyle a a a in A nbsp ein Ordnungskegel der A sa displaystyle A text sa nbsp zu einem geordneten Vektorraum macht Die Elemente des Ordnungskegels der dualen Ordnung fuhren zur sogenannten GNS Konstruktion Literatur BearbeitenJohannes Jahn Introduction to the Theory of Nonlinear Optimization 3 Auflage Springer Berlin 2007 ISBN 978 3 540 49378 5 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Ordnungskegel amp oldid 204106528