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Verallgemeinerte Ungleichung Eine verallgemeinerte Ungleichung engl generalized inequality ist eine Halbordnung auf dem

Verallgemeinerte Ungleichung

Eine verallgemeinerte Ungleichung (engl. generalized inequality) ist eine Halbordnung auf dem , die mittels eines Kegels definiert wird und die den zu einem geordneten Vektorraum macht. Verallgemeinerte Ungleichungen werden in der Optimierung verwendet, um auch noch in höheren Dimensionen Punkte sinnvoll miteinander vergleichen zu können. Außerdem kann man mit verallgemeinerten Ungleichungen den Begriff der konvexen Funktionen auf vektorwertige Funktionen verallgemeinern.

Definition Bearbeiten

Gegeben sei ein abgeschlossener, spitzer und konvexer Kegel , der ein nichtleeres Inneres besitzt. Dann definiert

eine Halbordnung auf . Der Kegel enthält also alle „positiven“ Elemente, also diejenigen, für die gilt. Analog lässt sich durch

eine strikte Halbordnung auf definieren. Dabei ist das Innere des Kegels.

Die Ungleichungen bezüglich dieser Halbordnung werden verallgemeinerte Ungleichungen (bezüglich der von dem Kegel induzierten Halbordnung) genannt.

Ist der zu duale Kegel, so heißt () die zu ( ) duale (strikte) Halbordnung oder duale verallgemeinerte Ungleichung.

Eigenschaften Bearbeiten

Die verallgemeinerte Ungleichung hat folgende Eigenschaften:

  • Sie ist abgeschlossen bezüglich Addition: Ist und , so ist .
  • Sie ist abgeschlossen bezüglich der Multiplikation mit positiven Skalaren: Ist und , so ist .
  • Sie ist transitiv, das heißt, ist und , so ist auch .
  • Sie ist reflexiv, das heißt, es ist stets .
  • Sie ist antisymmetrisch, das heißt, ist und , so ist .

Die strikte verallgemeinerte Ungleichung hat folgende Eigenschaften:

  • Sie ist abgeschlossen bezüglich der Multiplikation mit echt positiven Skalaren, das heißt, ist und , so ist
  • Sie ist abgeschlossen bezüglich Addition: Ist und , so ist .
  • Sie ist nicht reflexiv, das heißt, es gilt nicht .

Die duale (strikte) verallgemeinerte Ungleichung () hat folgende Eigenschaften:

  • genau dann, wenn für alle gilt, dass .
  • genau dann, wenn für alle gilt, dass .

Alle diese Eigenschaften folgen direkt aus den Eigenschaften der definierenden Kegel.

Minimale Elemente und Minimum Bearbeiten

Ein Element einer Menge heißt ein Minimum von , wenn für alle gilt, dass . Äquivalent hierzu ist, dass .

Ein Element der Menge heißt ein minimales Element von , wenn aus mit folgt, dass . Äquivalent hierzu ist, dass .

Analog lassen sich auch die Begriffe Maximum und maximales Element definieren. Die Begriffe können zusammenfallen, tun dies aber im Allgemeinen nicht! Ein Beispiel für ein minimales oder maximales Element einer Menge ist das Pareto-Optimum.

Beispiele Bearbeiten

  • Sei in der Kegel gegeben. Dann stimmt die von diesem Kegel induzierte Ordnung mit der Ordnung auf überein und die Null ist sowohl Minimum als auch minimales Element der Menge
  • Betrachtet man die n Einheitsvektoren und die von ihnen aufgespannte konvexe Hülle, so lässt sich ein kleinster Kegel konstruieren, der diese Menge enthält. Dieser Kegel enthält dann alle Punkte des , bei denen alle n Komponenten positiv sind. Die von diesem Kegel erzeugte verallgemeinerte Ungleichung ist genau das komponentenweise Vergleichen:
  • Nicht alle Punkte sind miteinander vergleichbar. So ist der Punkt weder größer noch kleiner als die bezüglich der oben definierten Halbordnung. Dies folgt daraus, dass es sich im Allgemeinen um keine Totalordnung handelt.
  • Betrachtet man den Vektorraum der reellen symmetrischen -Matrizen, versehen mit dem Kegel der positiv semidefiniten Matrizen, so ist die entsprechende verallgemeinerte Ungleichung die Loewner-Halbordnung , wie sie zum Beispiel in der semidefiniten Programmierung verwendet wird.

Verwendung Bearbeiten

Verallgemeinerte Ungleichungen spielen eine wichtige Rolle in der Vektoroptimierung, um eine Vergleichbarkeit von Vektoren zu garantieren. Außerdem erlauben verallgemeinerte Ungleichungen die Verallgemeinerung von konvexen Funktionen auf vektorwertige Funktionen, die sogenannten K-konvexen Funktionen. Diese Finden zum Beispiel bei der Formulierung von konischen Programmen eine Rolle.

Abwandlungen und alternative Notationen Bearbeiten

In der Optimierung werden teilweise Kegel zur Definition von Ordnungen verwendet, deren Inneres leer ist. Dies hat den Vorteil, dass man Gleichungs- und Ungleichungsrestriktionen komponentenweise in eine Funktion schreiben kann. Ist zum Beispiel ein Kegel, setzt dann und definiert die Funktion , so ist genau dann, wenn und . Nachteil ist, dass sich die zugehörige strikte Ungleichung nicht mehr definieren lässt und damit einige Aussagen wie zum Beispiel die Slater-Bedingung umständlich zu formulieren werden.

Gelegentlich findet man auch anstelle der Formulierung

die Notation

was äquivalent ist, wenn ein echter Kegel ist. Meist handelt es sich jedoch nur um einen Ordnungskegel. Die zweite Notationsweise wird bevorzugt dann genutzt, wenn man schwächere Voraussetzungen an den Kegel stellt und/oder sich in unendlichdimensionalen Vektorräumen bewegt.

Literatur Bearbeiten

  • Boyd, Stephen; Vandenberghe, Lieven (2004). Convex Optimization. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83378-3. ( online )
  • Johannes Jahn: Introduction to the Theory of Nonlinear Optimization. 3. Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-49378-5.
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Veröffentlichungsdatum:
Eine verallgemeinerte Ungleichung engl generalized inequality ist eine Halbordnung auf dem R n displaystyle mathbb R n die mittels eines Kegels definiert wird und die den R n displaystyle mathbb R n zu einem geordneten Vektorraum macht Verallgemeinerte Ungleichungen werden in der Optimierung verwendet um auch noch in hoheren Dimensionen Punkte sinnvoll miteinander vergleichen zu konnen Ausserdem kann man mit verallgemeinerten Ungleichungen den Begriff der konvexen Funktionen auf vektorwertige Funktionen verallgemeinern Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Minimale Elemente und Minimum 4 Beispiele 5 Verwendung 6 Abwandlungen und alternative Notationen 7 LiteraturDefinition BearbeitenGegeben sei ein abgeschlossener spitzer und konvexer Kegel K displaystyle K nbsp der ein nichtleeres Inneres besitzt Dann definiert x K y genau dann wenn y x K displaystyle x preccurlyeq K y text genau dann wenn y x in K nbsp eine Halbordnung auf R n displaystyle mathbb R n nbsp Der Kegel enthalt also alle positiven Elemente also diejenigen fur die 0 n K y displaystyle 0 n preccurlyeq K y nbsp gilt Analog lasst sich durch x K y genau dann wenn y x K displaystyle x prec K y text genau dann wenn y x in K circ nbsp eine strikte Halbordnung auf R n displaystyle mathbb R n nbsp definieren Dabei ist K displaystyle K circ nbsp das Innere des Kegels Die Ungleichungen bezuglich dieser Halbordnung werden verallgemeinerte Ungleichungen bezuglich der von dem Kegel K displaystyle K nbsp induzierten Halbordnung genannt Ist K displaystyle K nbsp der zu K displaystyle K nbsp duale Kegel so heisst K displaystyle preccurlyeq K nbsp K displaystyle prec K nbsp die zu K displaystyle preccurlyeq K nbsp K displaystyle prec K nbsp duale strikte Halbordnung oder duale verallgemeinerte Ungleichung Eigenschaften BearbeitenDie verallgemeinerte Ungleichung K displaystyle preccurlyeq K nbsp hat folgende Eigenschaften Sie ist abgeschlossen bezuglich Addition Ist a K b displaystyle a preccurlyeq K b nbsp und c K d displaystyle c preccurlyeq K d nbsp so ist a c K b d displaystyle a c preccurlyeq K b d nbsp Sie ist abgeschlossen bezuglich der Multiplikation mit positiven Skalaren Ist l 0 displaystyle lambda in 0 infty nbsp und a K b displaystyle a preccurlyeq K b nbsp so ist l a K l b displaystyle lambda a preccurlyeq K lambda b nbsp Sie ist transitiv das heisst ist a K b displaystyle a preccurlyeq K b nbsp und b K c displaystyle b preccurlyeq K c nbsp so ist auch a K c displaystyle a preccurlyeq K c nbsp Sie ist reflexiv das heisst es ist stets a K a displaystyle a preccurlyeq K a nbsp Sie ist antisymmetrisch das heisst ist a K b displaystyle a preccurlyeq K b nbsp und b K a displaystyle b preccurlyeq K a nbsp so ist a b displaystyle a b nbsp Die strikte verallgemeinerte Ungleichung K displaystyle prec K nbsp hat folgende Eigenschaften Sie ist abgeschlossen bezuglich der Multiplikation mit echt positiven Skalaren das heisst ist l gt 0 displaystyle lambda gt 0 nbsp und a K b displaystyle a prec K b nbsp so ist l a K l b displaystyle lambda a prec K lambda b nbsp Sie ist abgeschlossen bezuglich Addition Ist a K b displaystyle a prec K b nbsp und c K d displaystyle c preccurlyeq K d nbsp so ist a c K b d displaystyle a c prec K b d nbsp Sie ist nicht reflexiv das heisst es gilt nicht a K a displaystyle a prec K a nbsp Die duale strikte verallgemeinerte Ungleichung K displaystyle preccurlyeq K nbsp K displaystyle prec K nbsp hat folgende Eigenschaften a K b displaystyle a preccurlyeq K b nbsp genau dann wenn fur alle y K 0 displaystyle y succcurlyeq K 0 nbsp gilt dass y a y b displaystyle langle y a rangle leq langle y b rangle nbsp a K b displaystyle a prec K b nbsp genau dann wenn fur alle y K 0 y 0 displaystyle y succ K 0 y neq 0 nbsp gilt dass y a lt y b displaystyle langle y a rangle lt langle y b rangle nbsp Alle diese Eigenschaften folgen direkt aus den Eigenschaften der definierenden Kegel Minimale Elemente und Minimum BearbeitenEin Element x displaystyle x nbsp einer Menge S displaystyle S nbsp heisst ein Minimum von S displaystyle S nbsp wenn fur alle y S displaystyle y in S nbsp gilt dass x K y displaystyle x preccurlyeq K y nbsp Aquivalent hierzu ist dass S x K displaystyle S subset x K nbsp Ein Element x displaystyle x nbsp der Menge S displaystyle S nbsp heisst ein minimales Element von S displaystyle S nbsp wenn aus y K x displaystyle y preccurlyeq K x nbsp mit y S displaystyle y in S nbsp folgt dass y x displaystyle y x nbsp Aquivalent hierzu ist dass x K S x displaystyle x K cap S x nbsp Analog lassen sich auch die Begriffe Maximum und maximales Element definieren Die Begriffe konnen zusammenfallen tun dies aber im Allgemeinen nicht Ein Beispiel fur ein minimales oder maximales Element einer Menge ist das Pareto Optimum Beispiele BearbeitenSei in R 1 displaystyle mathbb R 1 nbsp der Kegel K x 0 displaystyle K x geq 0 nbsp gegeben Dann stimmt die von diesem Kegel induzierte Ordnung mit der Ordnung auf R displaystyle mathbb R nbsp uberein und die Null ist sowohl Minimum als auch minimales Element der Menge 0 1 displaystyle 0 1 nbsp Betrachtet man die n Einheitsvektoren und die von ihnen aufgespannte konvexe Hulle so lasst sich ein kleinster Kegel konstruieren der diese Menge enthalt Dieser Kegel enthalt dann alle Punkte des R n displaystyle mathbb R n nbsp bei denen alle n Komponenten positiv sind Die von diesem Kegel erzeugte verallgemeinerte Ungleichung ist genau das komponentenweise Vergleichen x K y genau dann wenn x i y i fur alle i 1 n displaystyle x preccurlyeq K y text genau dann wenn x i leq y i text fur alle i 1 dots n nbsp Nicht alle Punkte x y displaystyle x y nbsp sind miteinander vergleichbar So ist der Punkt 1 1 displaystyle 1 1 nbsp weder grosser noch kleiner als die 0 R 2 displaystyle 0 mathbb R 2 nbsp bezuglich der oben definierten Halbordnung Dies folgt daraus dass es sich im Allgemeinen um keine Totalordnung handelt Betrachtet man den Vektorraum der reellen symmetrischen n n displaystyle n times n nbsp Matrizen versehen mit dem Kegel S n displaystyle S n nbsp der positiv semidefiniten Matrizen so ist die entsprechende verallgemeinerte Ungleichung die Loewner Halbordnung S n displaystyle preccurlyeq S n nbsp wie sie zum Beispiel in der semidefiniten Programmierung verwendet wird Verwendung BearbeitenVerallgemeinerte Ungleichungen spielen eine wichtige Rolle in der Vektoroptimierung um eine Vergleichbarkeit von Vektoren zu garantieren Ausserdem erlauben verallgemeinerte Ungleichungen die Verallgemeinerung von konvexen Funktionen auf vektorwertige Funktionen die sogenannten K konvexen Funktionen Diese Finden zum Beispiel bei der Formulierung von konischen Programmen eine Rolle Abwandlungen und alternative Notationen BearbeitenIn der Optimierung werden teilweise Kegel zur Definition von Ordnungen verwendet deren Inneres leer ist Dies hat den Vorteil dass man Gleichungs und Ungleichungsrestriktionen komponentenweise in eine Funktion schreiben kann Ist zum Beispiel K 0 R 0 R 2 displaystyle K 0 times mathbb R geq 0 subset mathbb R 2 nbsp ein Kegel setzt dann x K y y x K displaystyle x leq K y iff y x in K nbsp und definiert die Funktion f x g x h x T displaystyle f x g x h x T nbsp so ist f x K 0 displaystyle f x leq K 0 nbsp genau dann wenn g x 0 displaystyle g x 0 nbsp und h x 0 displaystyle h x leq 0 nbsp Nachteil ist dass sich die zugehorige strikte Ungleichung nicht mehr definieren lasst und damit einige Aussagen wie zum Beispiel die Slater Bedingung umstandlich zu formulieren werden Gelegentlich findet man auch anstelle der Formulierung g x K 0 displaystyle g x preccurlyeq K 0 nbsp die Notation g x K displaystyle g x in K nbsp was aquivalent ist wenn K displaystyle K nbsp ein echter Kegel ist Meist handelt es sich jedoch nur um einen Ordnungskegel Die zweite Notationsweise wird bevorzugt dann genutzt wenn man schwachere Voraussetzungen an den Kegel stellt und oder sich in unendlichdimensionalen Vektorraumen bewegt Literatur BearbeitenBoyd Stephen Vandenberghe Lieven 2004 Convex Optimization Cambridge University Press ISBN 978 0 521 83378 3 online Johannes Jahn Introduction to the Theory of Nonlinear Optimization 3 Auflage Springer Berlin 2007 ISBN 978 3 540 49378 5 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Verallgemeinerte Ungleichung amp oldid 229209441