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Innerer Punkt sowie Inneres bzw offener Kern sind Begriffe aus der Topologie einem Teilgebiet der Mathematik x ist inner

Innerer Punkt

Innerer Punkt sowie Inneres bzw. offener Kern sind Begriffe aus der Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik.

x ist innerer Punkt von S, y ist Randpunkt.

Jedes Element einer Teilmenge eines topologischen Raums , zu dem sich eine Umgebung in finden lässt, die vollständig in liegt, ist ein innerer Punkt von . Die Menge aller inneren Punkte von heißt Inneres oder offener Kern von .

Beispiel: Betrachtet man eine Kreisscheibe als Teil der Ebene, dann sind die Punkte auf dem Rand des Kreises keine inneren Punkte (sondern Randpunkte). Dagegen sind alle Punkte zwischen dem Kreisrand und dem Kreismittelpunkt und der Kreismittelpunkt selbst innere Punkte der Kreisfläche.

Definition Bearbeiten

Sei eine beliebige Teilmenge eines topologischen Raums . Dann ist ein Punkt aus genau dann ein innerer Punkt von , wenn eine Umgebung von in ist, d. h. wenn es eine Teilmenge gibt, die enthält und in offen ist.

Die Menge aller inneren Punkte von heißt Inneres oder offener Kern von ; sie ist die größte offene Teilmenge von . Sie wird üblicherweise mit oder insbesondere in englischsprachiger Literatur mit oder bezeichnet.

Eigenschaften Bearbeiten

  • Eine Teilmenge eines topologischen Raumes ist genau dann offen, wenn sie gleich ihrem Inneren ist.
  • Das Innere des Komplements ist das Komplement des Abschlusses und umgekehrt:

Das Innere des Komplements heißt auch das Äußere von M. Der Raum X zerfällt also in Inneres, Rand und Äußeres von M.

Beispiel Bearbeiten

Nehme die folgende Menge und die Zahl :

Menge M mit inneren Punkt a auf der Zahlengeraden

ist ein innerer Punkt von , weil es ein gibt, sodass eine Teilmenge von ist:

Menge M mit inneren Punkt a und ε-Umgebung um a

Innere Punkte von Intervallen Bearbeiten

  • Die inneren Punkte des kompakten Intervalls sind genau die zum offenen Intervall gehörenden Punkte.
  • Ebenso sind die inneren Punkte des halboffenen Intervalls oder des halboffenen Intervalls genau die zum offenen Intervall gehörenden Punkte.
  • Alle Punkte des offenen Intervalls sind innere Punkte.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9 (Springer-Lehrbuch).
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Innerer Punkt sowie Inneres bzw offener Kern sind Begriffe aus der Topologie einem Teilgebiet der Mathematik x ist innerer Punkt von S y ist Randpunkt Jedes Element einer Teilmenge M displaystyle M eines topologischen Raums X displaystyle X zu dem sich eine Umgebung in X displaystyle X finden lasst die vollstandig in M displaystyle M liegt ist ein innerer Punkt von M displaystyle M Die Menge aller inneren Punkte von M displaystyle M heisst Inneres oder offener Kern von M displaystyle M Beispiel Betrachtet man eine Kreisscheibe als Teil der Ebene dann sind die Punkte auf dem Rand des Kreises keine inneren Punkte sondern Randpunkte Dagegen sind alle Punkte zwischen dem Kreisrand und dem Kreismittelpunkt und der Kreismittelpunkt selbst innere Punkte der Kreisflache Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 3 Beispiel 4 Innere Punkte von Intervallen 5 Siehe auch 6 LiteraturDefinition BearbeitenSei M displaystyle M nbsp eine beliebige Teilmenge eines topologischen Raums X displaystyle X nbsp Dann ist ein Punkt x 0 displaystyle x 0 nbsp aus M displaystyle M nbsp genau dann ein innerer Punkt von M displaystyle M nbsp wenn M displaystyle M nbsp eine Umgebung von x 0 displaystyle x 0 nbsp in X displaystyle X nbsp ist d h wenn es eine Teilmenge U M displaystyle U subseteq M nbsp gibt die x 0 displaystyle x 0 nbsp enthalt und in X displaystyle X nbsp offen ist Die Menge aller inneren Punkte von M displaystyle M nbsp heisst Inneres oder offener Kern von M displaystyle M nbsp sie ist die grosste offene Teilmenge von M displaystyle M nbsp Sie wird ublicherweise mit M displaystyle M circ nbsp oder insbesondere in englischsprachiger Literatur mit Int M displaystyle operatorname Int M nbsp oder int M displaystyle operatorname int M nbsp bezeichnet Eigenschaften BearbeitenEine Teilmenge eines topologischen Raumes ist genau dann offen wenn sie gleich ihrem Inneren ist Das Innere des Komplements ist das Komplement des Abschlusses und umgekehrt X M X M displaystyle X setminus M circ X setminus overline M nbsp und X M X M displaystyle overline X setminus M X setminus M circ nbsp dd Das Innere des Komplements heisst auch das Aussere von M Der Raum X zerfallt also in Inneres Rand und Ausseres von M Beispiel BearbeitenNehme die folgende Menge M displaystyle M nbsp und die Zahl a displaystyle a nbsp nbsp Menge M mit inneren Punkt a auf der Zahlengeradena displaystyle a nbsp ist ein innerer Punkt von M displaystyle M nbsp weil es ein ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 nbsp gibt sodass a ϵ a ϵ displaystyle a epsilon a epsilon nbsp eine Teilmenge von M displaystyle M nbsp ist nbsp Menge M mit inneren Punkt a und e Umgebung um aInnere Punkte von Intervallen BearbeitenDie inneren Punkte des kompakten Intervalls a b displaystyle left a b right nbsp sind genau die zum offenen Intervall a b displaystyle left a b right nbsp gehorenden Punkte Ebenso sind die inneren Punkte des halboffenen Intervalls a b displaystyle left a b right nbsp oder des halboffenen Intervalls a b displaystyle left a b right nbsp genau die zum offenen Intervall a b displaystyle left a b right nbsp gehorenden Punkte Alle Punkte des offenen Intervalls a b displaystyle left a b right nbsp sind innere Punkte Siehe auch BearbeitenKernoperator Insbesondere im Kontext von konvexen Teilmengen reeller Vektorraume betrachtet man das Innere bezuglich der affinen Hulle man spricht dann von relativ inneren Punkten Literatur BearbeitenBoto von Querenburg Mengentheoretische Topologie 3 neu bearbeitete und erweiterte Auflage Springer Verlag Berlin u a 2001 ISBN 3 540 67790 9 Springer Lehrbuch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Innerer Punkt amp oldid 198721791