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K konvexe Funktion Eine ist einer Verallgemeinerung des Begriffes der Konvexität einer Funktion auf reell vektorwertige

K-konvexe Funktion

Eine K-konvexe Funktion ist einer Verallgemeinerung des Begriffes der Konvexität einer Funktion auf reell-vektorwertige Funktionen. Dazu wird die strikte Ordnung auf abgeschwächt und es wird mit Halbordnungen auf gearbeitet, den sogenannten verallgemeinerten Ungleichungen.

Definition Bearbeiten

Gegeben sei ein abgeschlossener, spitzer und konvexer Kegel mit nichtleerem Inneren und bzw. die von diesem Kegel induzierte Halbordnung bzw. strikte Halbordnung. Des Weiteren sei eine konvexe Teilmenge des . Die Funktion

heißt K-konvex auf der Menge genau dann, wenn

gilt für alle und alle . Die Funktion heißt strikt K-konvex auf der Menge , wenn

für alle und alle in gilt.

Beispiele und Eigenschaften Bearbeiten

  • Setzt man , ist die Funktion also reellwertig, und wählt als Kegel die Menge , so sind die K-konvexen Funktionen genau die konvexen Funktionen. Dies liegt daran, dass die von dem Kegel induzierte Ordnung die gewöhnliche Ordnung auf den reellen Zahlen ist.
  • Wählt man hingegen als Kegel die Menge , so sind die K-konvexen Funktionen genau die konkaven Funktionen, da der Kegel die Ordnung auf den reellen Zahlen umkehrt.
  • Ist der Kegel die Menge
  • Affine Funktionen sind immer K-Konvex, unabhängig vom verwendeten Kegel. Dies folgt direkt aus der Linearität der Funktion und der Reflexivität der verallgemeinerten Ungleichung.
  • Die Subniveaumenge einer K-konvexen Funktion ist eine konvexe Menge.
  • Eine Funktion ist genau dann K-konvex, wenn ihr Epigraph eine konvexe Menge ist. Der Epigraph wird in diesem Fall mittels der verallgemeinerten Ungleichung und nicht mit dem herkömmlichen kleinergleich definiert.

Alternative Charakterisierungen Bearbeiten

Über Dualität Bearbeiten

Die K-Konvexität einer Funktion lässt sich auch gut mittels der von dem zu dualen Kegel induzierten Halbordnung beschreiben. Eine Funktion ist genau dann (strikt) K-konvex, wenn für jeden vom Nullvektor verschiedenen Vektor mit gilt, dass (strikt) konvex im herkömmlichen Sinne ist.

Für differenzierbare Funktionen Bearbeiten

Ist eine differenzierbare Funktion, so ist diese genau dann K-konvex, wenn

Verkettungen von K-konvexen Funktionen Bearbeiten

Die Kompositionen von K-konvexen Funktionen sind unter gewissen Umständen wieder konvex.

  • Ist K-konvex und konvex und ist die erweiterte Funktion K-monoton wachsend, so ist konvex. Insbesondere müssen die beiden Kegel, welche die K-Konvexität und die K-Monotonie definieren, übereinstimmen.

Matrix-konvexe Funktionen Bearbeiten

Betrachtet man Abbildungen vom in den Raum der symmetrischen reellen Matrizen , versehen mit der Loewner-Halbordnung , so heißen die entsprechenden K-konvexen Funktionen auch Matrix-konvexe Funktionen. Eine äquivalente Charakterisierung der Matrix-Konvexität ist, dass die Funktion konvex ist für alle genau dann, wenn Matrix-konvex ist.

Beispielsweise ist die Funktion , definiert durch , matrix-konvex, weil konvex ist wegen der Konvexität der Norm.

Verwendung Bearbeiten

K-konvexe Funktionen werden beispielsweise bei der Formulierung von konischen Programmen oder Verallgemeinerungen der Lagrange-Dualität verwendet.

Verallgemeinerungen Bearbeiten

Teilweise werden auch Abbildungen zwischen zwei reellen Vektorräumen betrachtet und nur mit einem Ordnungskegel versehen, nicht mit einer verallgemeinerten Ungleichung. An die Abbildung wird die Forderung

für alle und aus der konvexen Menge gestellt. Dann wird die Abbildung wieder eine konvexe Abbildung genannt.

Literatur Bearbeiten

  • Stephen Boyd, Lieven Vandenberghe: Convex Optimization. Cambridge University Press, Cambridge, New York, Melbourne 2004, ISBN 978-0-521-83378-3 (online).
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Veröffentlichungsdatum:
Eine K konvexe Funktion ist einer Verallgemeinerung des Begriffes der Konvexitat einer Funktion auf reell vektorwertige Funktionen Dazu wird die strikte Ordnung auf R displaystyle mathbb R abgeschwacht und es wird mit Halbordnungen auf R m displaystyle mathbb R m gearbeitet den sogenannten verallgemeinerten Ungleichungen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele und Eigenschaften 3 Alternative Charakterisierungen 3 1 Uber Dualitat 3 2 Fur differenzierbare Funktionen 4 Verkettungen von K konvexen Funktionen 5 Matrix konvexe Funktionen 6 Verwendung 7 Verallgemeinerungen 8 LiteraturDefinition BearbeitenGegeben sei ein abgeschlossener spitzer und konvexer Kegel K R m displaystyle K subset mathbb R m nbsp mit nichtleerem Inneren und K displaystyle preccurlyeq K nbsp bzw K displaystyle prec K nbsp die von diesem Kegel induzierte Halbordnung bzw strikte Halbordnung Des Weiteren sei D displaystyle D nbsp eine konvexe Teilmenge des R n displaystyle mathbb R n nbsp Die Funktion f D R m displaystyle f colon D to mathbb R m nbsp heisst K konvex auf der Menge D displaystyle D nbsp genau dann wenn f l x 1 l y K l f x 1 l f y displaystyle f lambda x 1 lambda y preccurlyeq K lambda f x 1 lambda f y nbsp gilt fur alle l 0 1 displaystyle lambda in 0 1 nbsp und alle x y D displaystyle x y in D nbsp Die Funktion f displaystyle f nbsp heisst strikt K konvex auf der Menge D displaystyle D nbsp wenn f l x 1 l y K l f x 1 l f y displaystyle f lambda x 1 lambda y prec K lambda f x 1 lambda f y nbsp fur alle l 0 1 displaystyle lambda in 0 1 nbsp und alle x y displaystyle x neq y nbsp in D displaystyle D nbsp gilt Beispiele und Eigenschaften BearbeitenSetzt man m 1 displaystyle m 1 nbsp ist die Funktion also reellwertig und wahlt als Kegel die Menge K x 0 displaystyle K x geq 0 nbsp so sind die K konvexen Funktionen genau die konvexen Funktionen Dies liegt daran dass die von dem Kegel induzierte Ordnung die gewohnliche Ordnung auf den reellen Zahlen ist Wahlt man hingegen als Kegel die Menge K x 0 displaystyle K x leq 0 nbsp so sind die K konvexen Funktionen genau die konkaven Funktionen da der Kegel die Ordnung auf den reellen Zahlen umkehrt Ist der Kegel die MengeK x R m x i 0 fur alle i 1 n displaystyle K x in mathbb R m x i geq 0 text fur alle i 1 dots n nbsp so ist die induzierte allgemeine Ungleichung das komponentenweise kleinergleich Die K konvexen Funktionen sind dann die Funktionen deren Komponenten alle konvex sind Affine Funktionen sind immer K Konvex unabhangig vom verwendeten Kegel Dies folgt direkt aus der Linearitat der Funktion und der Reflexivitat der verallgemeinerten Ungleichung Die Subniveaumenge einer K konvexen Funktion ist eine konvexe Menge Eine Funktion ist genau dann K konvex wenn ihr Epigraph eine konvexe Menge ist Der Epigraph wird in diesem Fall mittels der verallgemeinerten Ungleichung und nicht mit dem herkommlichen kleinergleich definiert Alternative Charakterisierungen BearbeitenUber Dualitat Bearbeiten Die K Konvexitat einer Funktion lasst sich auch gut mittels der von dem zu K displaystyle K nbsp dualen Kegel K displaystyle K nbsp induzierten Halbordnung beschreiben Eine Funktion ist genau dann strikt K konvex wenn fur jeden vom Nullvektor verschiedenen Vektor v displaystyle v nbsp mit 0 K v displaystyle 0 preccurlyeq K v nbsp gilt dass v T f displaystyle v T f nbsp strikt konvex im herkommlichen Sinne ist Fur differenzierbare Funktionen Bearbeiten Ist f displaystyle f nbsp eine differenzierbare Funktion so ist diese genau dann K konvex wenn f x D f x y x K f y displaystyle f x Df x y x preccurlyeq K f y nbsp fur alle x y displaystyle x y nbsp Hierbei ist D displaystyle D nbsp die Jacobi Matrix Verkettungen von K konvexen Funktionen BearbeitenDie Kompositionen von K konvexen Funktionen sind unter gewissen Umstanden wieder konvex Ist g R n R m displaystyle g colon mathbb R n to mathbb R m nbsp K konvex und h R m R displaystyle h colon mathbb R m to mathbb R nbsp konvex und ist die erweiterte Funktion h displaystyle tilde h nbsp K monoton wachsend so ist h g x displaystyle h g x nbsp konvex Insbesondere mussen die beiden Kegel welche die K Konvexitat und die K Monotonie definieren ubereinstimmen Matrix konvexe Funktionen BearbeitenBetrachtet man Abbildungen vom R n displaystyle mathbb R n nbsp in den Raum der symmetrischen reellen Matrizen S n displaystyle S n nbsp versehen mit der Loewner Halbordnung S n displaystyle succcurlyeq S n nbsp so heissen die entsprechenden K konvexen Funktionen auch Matrix konvexe Funktionen Eine aquivalente Charakterisierung der Matrix Konvexitat ist dass die Funktion g x z T f x z displaystyle g x z T f x z nbsp konvex ist fur alle z R n displaystyle z in mathbb R n nbsp genau dann wenn f x displaystyle f x nbsp Matrix konvex ist Beispielsweise ist die Funktion f R n m S n displaystyle f colon mathbb R n times m to S n nbsp definiert durch f X X X T displaystyle f X X cdot X T nbsp matrix konvex weil z T X X z X T z 2 2 displaystyle z T XXz Vert X T z Vert 2 2 nbsp konvex ist wegen der Konvexitat der Norm Verwendung BearbeitenK konvexe Funktionen werden beispielsweise bei der Formulierung von konischen Programmen oder Verallgemeinerungen der Lagrange Dualitat verwendet Verallgemeinerungen BearbeitenTeilweise werden auch Abbildungen f V 1 V 2 displaystyle f colon V 1 mapsto V 2 nbsp zwischen zwei reellen Vektorraumen betrachtet und V 2 displaystyle V 2 nbsp nur mit einem Ordnungskegel K displaystyle K nbsp versehen nicht mit einer verallgemeinerten Ungleichung An die Abbildung wird die Forderung l f x 1 l f y f l x 1 l y K displaystyle lambda f x 1 lambda f y f lambda x 1 lambda y in K nbsp fur alle l 0 1 displaystyle lambda in 0 1 nbsp und x y displaystyle x y nbsp aus der konvexen Menge M displaystyle M nbsp gestellt Dann wird die Abbildung f displaystyle f nbsp wieder eine konvexe Abbildung genannt Literatur BearbeitenStephen Boyd Lieven Vandenberghe Convex Optimization Cambridge University Press Cambridge New York Melbourne 2004 ISBN 978 0 521 83378 3 online Abgerufen von https de wikipedia org w index php title K konvexe Funktion amp oldid 209343624