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Epigraph Mathematik In der Mathematik bezeichnet der Epigraph einer reellwertigen Funktion f X R displaystyle f colon X

Epigraph (Mathematik)

In der Mathematik bezeichnet der Epigraph einer reellwertigen Funktion die Menge aller Punkte, die auf oder über ihrem Graphen liegen.

Der Epigraph einer Funktion

Ist der Bildraum der Funktion der versehen mit einer verallgemeinerten Ungleichung , so ist der Epigraph definiert als

Eigenschaften Bearbeiten

Der Epigraph einer konvexen Funktion ist eine konvexe Menge

Sei ein normierter -Vektorraum. Für Funktionen gilt:

Ist der Bildraum der Funktion der , so ist sie genau dann K-konvex, wenn der Epigraph konvex ist.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Ralph Tyrell Rockafellar: Convex Analysis. Princeton University Press, Princeton 1997, ISBN 0-691-01586-4
  • Johannes Jahn: Introduction to the Theory of Nonlinear Optimization. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2007, ISBN 978-3-540-49378-5.

Weblinks Bearbeiten

Commons: Epi- und Hypographen – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
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In der Mathematik bezeichnet der Epigraph einer reellwertigen Funktion f X R displaystyle f colon X to mathbb R die Menge aller Punkte die auf oder uber ihrem Graphen liegen Der Epigraph einer Funktion epi f x m X R f x m X R displaystyle operatorname epi f left x mu in X times mathbb R f x leq mu right subseteq X times mathbb R Ist der Bildraum der Funktion der R n displaystyle mathbb R n versehen mit einer verallgemeinerten Ungleichung K displaystyle preccurlyeq K so ist der Epigraph definiert als epi f x m X R n f x K m X R n displaystyle operatorname epi f left x mu in X times mathbb R n f x preccurlyeq K mu right subseteq X times mathbb R n Inhaltsverzeichnis 1 Eigenschaften 2 Siehe auch 3 Literatur 4 WeblinksEigenschaften Bearbeiten nbsp Der Epigraph einer konvexen Funktion ist eine konvexe MengeSei X displaystyle X nbsp ein normierter R displaystyle mathbb R nbsp Vektorraum Fur Funktionen f X R displaystyle f colon X rightarrow mathbb R nbsp gilt f displaystyle f nbsp ist genau dann konvex wenn der Epigraph von f displaystyle f nbsp eine konvexe Menge bildet f displaystyle f nbsp ist genau dann halbstetig von unten wenn der Epigraph von f displaystyle f nbsp eine abgeschlossene Menge bildet f displaystyle f nbsp ist genau dann schwach unterhalbstetig wenn der Epigraph von f displaystyle f nbsp eine schwach folgenabgeschlossene Menge ist Ist f displaystyle f nbsp eine affin lineare Funktion dann definiert ihr Epigraph einen Halbraum in X displaystyle X nbsp Ist der Bildraum der Funktion der R n displaystyle mathbb R n nbsp so ist sie genau dann K konvex wenn der Epigraph konvex ist Siehe auch BearbeitenHypographLiteratur BearbeitenRalph Tyrell Rockafellar Convex Analysis Princeton University Press Princeton 1997 ISBN 0 691 01586 4 Johannes Jahn Introduction to the Theory of Nonlinear Optimization 3 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 2007 ISBN 978 3 540 49378 5 Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Epi und Hypographen Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Epigraph Mathematik amp oldid 227263992