Eine monotone reelle Funktion ist eine reellwertige Funktion einer reellen Variablen bei der der Funktionswert f x displaystyle f x entweder immer wachst oder gleich bleibt beziehungsweise immer fallt oder gleich bleibt wenn das Argument x displaystyle x erhoht wird Steigt der Funktionswert immer wenn das Argument erhoht wird so heisst die Funktion streng monoton steigend steigt der Funktionswert immer oder bleibt er gleich heisst sie monoton steigend Analog heisst eine Funktion streng monoton fallend wenn ihr Funktionswert immer fallt wenn das Argument erhoht wird und monoton fallend wenn er immer fallt oder gleich bleibt Reelle monotone Funktionen sind klassische Beispiele fur monotone Abbildungen Eine monoton steigende reelle Funktion rot und eine monoton fallende reelle Funktion blau Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Alternative Definitionen 1 2 Alternative Bezeichnungen 2 Beispiele 3 Eigenschaften 4 Ableitungen als Monotoniekriterium 4 1 Kriterien 4 2 Beispiele 5 Umkehrfunktion 6 Verallgemeinerungen 6 1 K monotone Funktionen 6 2 Monotone Funktionen zwischen Vektorraumen gleicher Dimension 7 Rechtecksmonotone Funktion 8 Literatur 9 Weblinks 10 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEine Funktion f D R displaystyle f colon D to mathbb R nbsp wobei D displaystyle D nbsp eine Teilmenge von R displaystyle mathbb R nbsp ist heisst monoton steigend wenn fur alle x y D displaystyle x y in D nbsp mit x y displaystyle x leq y nbsp gilt dass f x f y displaystyle f x leq f y nbsp streng monoton steigend wenn fur alle x y D displaystyle x y in D nbsp mit x lt y displaystyle x lt y nbsp gilt dass f x lt f y displaystyle f x lt f y nbsp monoton fallend wenn fur alle x y D displaystyle x y in D nbsp mit x y displaystyle x leq y nbsp gilt dass f x f y displaystyle f x geq f y nbsp streng monoton fallend wenn fur alle x y D displaystyle x y in D nbsp mit x lt y displaystyle x lt y nbsp gilt dass f x gt f y displaystyle f x gt f y nbsp monoton wenn sie monoton steigt oder monoton fallt streng monoton wenn sie entweder streng monoton steigt oder streng monoton fallt Alternative Definitionen Bearbeiten Manchmal werden die nicht strengen Monotoniebegriffe nur fur x lt y displaystyle x lt y nbsp definiert also heisst monoton steigend wenn fur alle x y D displaystyle x y in D nbsp mit x lt y displaystyle x lt y nbsp gilt dass f x f y displaystyle f x leq f y nbsp Die beiden Definitionen sind gleichwertig da aus x y displaystyle x y nbsp trivialerweise f x f y displaystyle f x f y nbsp folgt Alternative Bezeichnungen Bearbeiten Es findet sich auch die Bezeichnung wachsend anstelle von steigend Synonym fur streng findet man auch strikt oder echt Monoton fallend wird gelegentlich auch antiton genannt und monoton wachsend wird auch isoton genannt Anstelle des Begriffspaares monoton wachsend streng monoton wachsend wird auch das Begriffspaar monoton nicht fallend monoton wachsend oder kurz nicht fallend wachsend verwendet entsprechend wird anstelle des Begriffspaars monoton fallend streng monoton fallend auch monoton nicht wachsend monoton fallend oder kurz nicht wachsend fallend verwendet In der Schulmathematik sind die Abkurzungen sms fur streng monoton steigend und smf fur streng monoton fallend verbreitet Beispiele Bearbeiten nbsp Graph der Funktion f x x 2 displaystyle f x x 2 nbsp nbsp Graph der Funktion f x ln x displaystyle f x ln x nbsp Die Funktion f x x 2 displaystyle f x x 2 nbsp ist auf 0 displaystyle infty 0 nbsp streng monoton fallend Ist namlich x lt y 0 displaystyle x lt y leq 0 nbsp so ist x y lt 0 displaystyle x y lt 0 nbsp und x y lt 0 displaystyle x y lt 0 nbsp Die Bedingung dass f x x 2 gt f y y 2 displaystyle f x x 2 gt f y y 2 nbsp sein soll ist aquivalent zu x 2 y 2 gt 0 displaystyle x 2 y 2 gt 0 nbsp Es ist aber mit der dritten binomischen Formelx 2 y 2 x y lt 0 x y lt 0 gt 0 displaystyle x 2 y 2 underbrace x y lt 0 underbrace x y lt 0 gt 0 nbsp also ist f displaystyle f nbsp streng monoton fallend auf 0 displaystyle infty 0 nbsp Der Nachweis dass f displaystyle f nbsp streng monoton wachsend auf 0 displaystyle 0 infty nbsp ist funktioniert analog aber mit dem Argument dass x y gt 0 displaystyle x y gt 0 nbsp wenn y gt x 0 displaystyle y gt x geq 0 nbsp ist Damit ist die Funktion aber nicht monoton auf 1 1 displaystyle 1 1 nbsp da sie auf diesem Intervall kein festes Monotonieverhalten besitzt Der Logarithmus ist streng monoton wachsend auf 0 displaystyle 0 infty nbsp ln x lt ln y displaystyle ln x lt ln y nbsp ist wieder aquivalent zu ln x ln y lt 0 displaystyle ln x ln y lt 0 nbsp Dann istln x ln y ln x y lt 0 displaystyle ln x ln y ln x y lt 0 nbsp wenn x lt y displaystyle x lt y nbsp da dann 0 lt x y lt 1 displaystyle 0 lt tfrac x y lt 1 nbsp ist und dementsprechend ln x y lt 0 displaystyle ln x y lt 0 nbsp Also ist ln x lt ln y displaystyle ln x lt ln y nbsp Somit ist der Logarithmus streng monoton wachsend und demnach auch streng monoton Die Funktionf x x 2 fur x lt 0 0 fur x 0 displaystyle f x begin cases x 2 amp text fur x lt 0 0 amp text fur x geq 0 end cases nbsp ist monoton fallend auf dem Intervall 1 1 displaystyle 1 1 nbsp aber nicht streng monoton fallend Der Nachweis der Monotonie in der linken Halfte des Intervalls folgt dem ersten Beispiel auf dem Intervall 0 1 displaystyle 0 1 nbsp ist jedoch f x f y 0 displaystyle f x f y 0 nbsp und damit kann keine strikte Monotonie gelten Somit ist die Funktion monoton fallend und damit auch monoton Eigenschaften BearbeitenFur eine reelle monotone Funktion f D R displaystyle f colon D to mathbb R nbsp mit D R displaystyle D subseteq mathbb R nbsp gilt Streng monotone Funktionen sind stets injektiv sie nehmen also jeden Wert nur hochstens einmal an Ist f I R displaystyle f colon I to mathbb R nbsp streng monoton und I displaystyle I nbsp ein Intervall und I f I displaystyle I f I nbsp die Bildmenge so ist f I I displaystyle f colon I to I nbsp bijektiv Daher existiert fur streng monotone Funktionen auch immer die Umkehrfunktion Beispielsweise ist die Sinusfunktion auf dem Intervall p 2 p 2 displaystyle tfrac pi 2 tfrac pi 2 nbsp streng monoton wachsend Schrankt man die Bildmenge auf das Intervall 1 1 displaystyle 1 1 nbsp ein so ist sie bijektiv und damit invertierbar Die Umkehrfunktion ist dann der Arkussinus arcsin 1 1 p 2 p 2 displaystyle arcsin 1 1 to tfrac pi 2 tfrac pi 2 nbsp Sie hat in jedem Haufungspunkt ihres Definitionsbereichs D displaystyle D nbsp einen linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert Ist eine streng monotone Funktion konvergent mit lim x f x L displaystyle textstyle lim x to pm infty f x L nbsp so ist ihr Funktionswert in ihrem gesamten Definitionsbereich von L displaystyle L nbsp verschieden indirekter Beweis A Voraussetzung lim x f x L displaystyle textstyle lim x to infty f x L quad nbsp Annahme Es gibt ein x 0 D displaystyle x 0 in D nbsp mit f x 0 L displaystyle f x 0 L nbsp Ist f displaystyle f nbsp streng monoton steigend so existiert ein D x 1 lt x 0 displaystyle D ni x 1 lt x 0 nbsp mit f x 1 lt f x 0 L displaystyle f x 1 lt f x 0 L nbsp sodass L f x 1 ϵ gt 0 displaystyle L f x 1 epsilon gt 0 nbsp dd weiter ist f x lt f x 1 L ϵ displaystyle f x lt f x 1 L epsilon nbsp fur alle D x lt x 1 displaystyle D ni x lt x 1 quad nbsp dd dd dd ist f displaystyle f nbsp streng monoton fallend so existiert ein D x 1 lt x 0 displaystyle D ni x 1 lt x 0 nbsp mit f x 1 gt f x 0 L displaystyle f x 1 gt f x 0 L nbsp sodass f x 1 L ϵ gt 0 displaystyle f x 1 L epsilon gt 0 nbsp dd weiter ist f x gt f x 1 L ϵ displaystyle f x gt f x 1 L epsilon nbsp fur alle D x lt x 1 displaystyle D ni x lt x 1 quad nbsp dd dd dd Beide Uberlegungen lassen sich zu einer Formulierung zusammenfassen die zusatzlich die Moglichkeit f x L ϵ displaystyle f x L pm epsilon nbsp zulasst dd Wegen strenger Monotonie von f displaystyle f nbsp existiert ein D x 1 lt x 0 displaystyle D ni x 1 lt x 0 nbsp mit f x 1 f x 0 L displaystyle f x 1 neq f x 0 L nbsp sodass f x 1 L ϵ gt 0 displaystyle f x 1 L epsilon gt 0 nbsp weiter ist f x U ϵ L displaystyle f x notin U epsilon L nbsp fur alle D x lt x 1 displaystyle D ni x lt x 1 quad nbsp 1 dd Wegen Konvergenz von f displaystyle f nbsp existiert ein S displaystyle S nbsp so dass f x U ϵ L displaystyle f x in U epsilon L nbsp fur alle D x lt S displaystyle D ni x lt S quad nbsp 2 Mit 1 und 2 gilt fur alle x lt min x 1 S displaystyle x lt min x 1 S nbsp sowohl f x U ϵ L displaystyle f x notin U epsilon L nbsp also auch f x U ϵ L displaystyle f x in U epsilon L nbsp Widerspruch q e d B Voraussetzung lim x f x L displaystyle textstyle lim x to infty f x L quad nbsp Annahme Es gibt ein x 0 D displaystyle x 0 in D nbsp mit f x 0 L displaystyle f x 0 L nbsp Ist f displaystyle f nbsp streng monoton steigend so existiert ein D x 1 gt x 0 displaystyle D ni x 1 gt x 0 nbsp mit f x 1 gt f x 0 L displaystyle f x 1 gt f x 0 L nbsp sodass f x 1 L ϵ gt 0 displaystyle f x 1 L epsilon gt 0 nbsp dd weiter ist f x gt f x 1 L ϵ displaystyle f x gt f x 1 L epsilon nbsp fur alle D x gt x 1 displaystyle D ni x gt x 1 quad nbsp dd dd dd ist f displaystyle f nbsp streng monoton fallend so existiert ein D x 1 gt x 0 displaystyle D ni x 1 gt x 0 nbsp mit f x 1 lt f x 0 L displaystyle f x 1 lt f x 0 L nbsp sodass L f x 1 ϵ gt 0 displaystyle L f x 1 epsilon gt 0 nbsp dd weiter ist f x lt f x 1 L ϵ displaystyle f x lt f x 1 L epsilon nbsp fur alle D x gt x 1 displaystyle D ni x gt x 1 quad nbsp dd dd dd Beide Uberlegungen lassen sich zu einer Formulierung zusammenfassen die zusatzlich die Moglichkeit f x f x 0 L ϵ displaystyle f x f x 0 L pm epsilon nbsp zulasst dd Wegen strenger Monotonie von f displaystyle f nbsp existiert ein D x 1 gt x 0 displaystyle D ni x 1 gt x 0 nbsp mit f x 1 L displaystyle f x 1 neq L nbsp sodass f x 1 L ϵ gt 0 displaystyle f x 1 L epsilon gt 0 nbsp weiter ist f x U ϵ L displaystyle f x notin U epsilon L nbsp fur alle D x gt x 1 displaystyle D ni x gt x 1 quad nbsp 1 dd Wegen Konvergenz von f displaystyle f nbsp existiert ein S displaystyle S nbsp so dass f x U ϵ L displaystyle f x in U epsilon L nbsp fur alle D x gt S displaystyle D ni x gt S quad nbsp 2 Mit 1 und 2 gilt fur alle x gt max x 1 S displaystyle x gt max x 1 S nbsp sowohl f x U ϵ L displaystyle f x notin U epsilon L nbsp also auch f x U ϵ L displaystyle f x in U epsilon L nbsp Widerspruch q e d Sie kann nur Sprungstellen als Unstetigkeitsstellen haben Die Menge der Sprungstellen in ihrem Definitionsbereich ist abzahlbar muss aber nicht notwendigerweise endlich sein Sie ist fast uberall differenzierbar d h die Menge der Stellen an denen f displaystyle f nbsp nicht differenzierbar ist bildet eine lebesguesche Nullmenge Eine im Intervall D a b displaystyle D a b nbsp definierte monotone Funktion ist dort Riemann integrierbar Fur jede monoton wachsende Funktion gilt x y f x f y 0 displaystyle x y f x f y geq 0 nbsp fur beliebige x y D displaystyle x y in D nbsp Diese Eigenschaft nutzt man teilweise um die Monotonie zu verallgemeinern siehe letzter Abschnitt Die Monotonie reeller Funktionen ist ein Spezialfall einer monotonen Abbildung Im Falle einer monoton fallenden Funktion sind die beiden geordneten Mengen dann R displaystyle mathbb R leq nbsp und R displaystyle mathbb R geq nbsp die Abbildung ist die Funktion f displaystyle f nbsp Ableitungen als Monotoniekriterium BearbeitenKriterien Bearbeiten Ist die Funktion f a b R displaystyle f colon a b to mathbb R nbsp differenzierbar so lasst sich die Ableitung als Monotoniekriterium verwenden Die Kriterien fur strenge Monotonie lauten Ist f x gt 0 displaystyle f x gt 0 nbsp fur alle x a b displaystyle x in a b nbsp so wachst f displaystyle f nbsp in a b displaystyle a b nbsp streng monoton Ist f x lt 0 displaystyle f x lt 0 nbsp fur alle x a b displaystyle x in a b nbsp so fallt f displaystyle f nbsp in a b displaystyle a b nbsp streng monoton Zu beachten ist dass dieses Kriterium nur hinreichend aber nicht notwendig ist Es gibt auch streng monotone Funktionen deren Ableitung null wird ein Beispiel ist weiter unten aufgefuhrt Es lasst sich mit zusatzlichen Forderungen noch eine Verscharfung dieser Kriterien formulieren Es ist f x 0 displaystyle f x geq 0 nbsp f x 0 displaystyle f x leq 0 nbsp fur alle x a b displaystyle x in a b nbsp und die Ableitung ist auf keinem echten Teilintervall konstant gleich null wobei ein echtes Intervall ein Intervall mit mehr als einem Element ist genau dann wenn f displaystyle f nbsp streng monoton wachsend streng monoton fallend ist Die Kriterien fur Monotonie lauten f x 0 displaystyle f x geq 0 nbsp fur alle x a b displaystyle x in a b nbsp genau dann wenn f displaystyle f nbsp in a b displaystyle a b nbsp monoton wachst f x 0 displaystyle f x leq 0 nbsp fur alle x a b displaystyle x in a b nbsp genau dann wenn f displaystyle f nbsp in a b displaystyle a b nbsp monoton fallt Bei diesen Kriterien handelt es sich um Aquivalenzen Alle genannten Kriterien lassen sich noch erweitern Ist zusatzlich f displaystyle f nbsp stetig auf a b displaystyle a b nbsp bzw a b displaystyle a b nbsp oder a b displaystyle a b nbsp so gilt die Aussage uber die Monotonie auch fur das Intervall a b displaystyle a b nbsp bzw a b displaystyle a b nbsp oder a b displaystyle a b nbsp Beispiele Bearbeiten nbsp Der Graph der Funktion f x x 3 displaystyle f x x 3 nbsp Die Funktion ist streng monoton wachsend Fur die Exponentialfunktion f x e x displaystyle f x e x nbsp ist f x e x gt 0 displaystyle f x e x gt 0 nbsp fur alle x R displaystyle x in mathbb R nbsp Also ist sie streng monoton wachsend Die Funktion f x x 3 displaystyle f x x 3 nbsp besitzt die Ableitung f x 3 x 2 displaystyle f x 3x 2 nbsp diese wird bei x 0 displaystyle x 0 nbsp null Aber die Funktion ist streng monoton wachsend Ist namlich x lt y displaystyle x lt y nbsp und haben x y displaystyle x y nbsp dasselbe Vorzeichen so istx 3 y 3 x y x 2 y 2 x y lt 0 displaystyle x 3 y 3 x y x 2 y 2 xy lt 0 nbsp Haben beide unterschiedliches Vorzeichen so ist direkt x 3 y 3 lt 0 displaystyle x 3 y 3 lt 0 nbsp Somit ist dies ein Beispiel dafur dass die ersten beiden Kriterien nur hinreichend aber nicht notwendig sind Das dritte Kriterium greift hier aber Die Ableitung der Funktion verschwindet bloss im Punkt x 0 0 displaystyle x 0 0 nbsp und ist sonst grossergleich null Dies ist aquivalent zum streng monotonen Wachstum von f displaystyle f nbsp Umkehrfunktion BearbeitenSei I R displaystyle I subset mathbb R nbsp ein Intervall und f I R displaystyle f colon I to mathbb R nbsp sei streng monoton wachsend fallend und stetig Dann ist die Bildmenge I f I displaystyle I f left I right nbsp ein Intervall f I I displaystyle f colon I rightarrow I nbsp bijektiv die Umkehrfunktion f 1 I I displaystyle f 1 colon I rightarrow I nbsp streng monoton wachsend fallend und stetig f 1 a lt b a lt f b displaystyle f 1 left a right lt b iff a lt f left b right nbsp wenn wachsend oder f 1 a lt b a gt f b displaystyle f 1 left a right lt b iff a gt f left b right nbsp wenn fallend Verallgemeinerungen BearbeitenK monotone Funktionen Bearbeiten Hauptartikel K monotone Funktion Um den Monotoniebegriff auf Funktionen zu verallgemeinern die auf dem R n displaystyle mathbb R n nbsp definiert sind wahlt man auf dem R n displaystyle mathbb R n nbsp einen echten Kegel K displaystyle K nbsp und betrachtet die von ihm definierte verallgemeinerte Ungleichung K displaystyle preccurlyeq K nbsp und die strikte verallgemeinerte Ungleichung x K y displaystyle x prec K y nbsp sowie eine konvexe Menge D R n displaystyle D subset mathbb R n nbsp Dann heisst eine Funktion f D R displaystyle f colon D to mathbb R nbsp K monoton wachsend K monoton fallend wenn fur alle x y D displaystyle x y in D nbsp mit x K y displaystyle x preccurlyeq K y nbsp gilt dass f x f y displaystyle f x leq f y nbsp bzw f x f y displaystyle f x geq f y nbsp strikt K monoton wachsend strikt K monoton fallend wenn fur alle x K y displaystyle x prec K y nbsp gilt dass f x lt f y displaystyle f x lt f y nbsp bzw f x gt f y displaystyle f x gt f y nbsp ist Wahlt man als Vektorraum den S n displaystyle S n nbsp den Raum aller reellen symmetrischen Matrizen und als Kegel den semidefiniten Kegel bzw als verallgemeinerte Ungleichung die Loewner Halbordnung so erhalt man die Matrix monotonen Funktionen Monotone Funktionen zwischen Vektorraumen gleicher Dimension Bearbeiten Eine Moglichkeit Monotonie fur Funktionen h R n R n displaystyle h colon mathbb R n to mathbb R n nbsp zu verallgemeinern ist fur x x 1 x n T y y 1 y n T displaystyle x x 1 dots x n T y y 1 dots y n T nbsp zu fordern dass wenn x i y i displaystyle x i leq y i nbsp fur i 1 n displaystyle i 1 dots n nbsp ist dass dann fur eine monoton wachsende Funktion gelten soll dass h i x h i y displaystyle h i x leq h i y nbsp ist Die Formulierung monoton fallender Funktionen und der strikten Versionen folgt analog Dieses Vorgehen entspricht der Verallgemeinerung der Ordnung auf R displaystyle mathbb R nbsp auf die komponentenweise Halbordnung auf R n displaystyle mathbb R n nbsp Alternativ kann man die Eigenschaft von monoton wachsenden reellen Funktionen dass x y f x f y 0 displaystyle x y f x f y geq 0 nbsp fur beliebige x y displaystyle x y nbsp gilt verallgemeinern Dies fuhrt dann zu dem folgenden Monotoniebegriff Gegeben sei D R n displaystyle D subset mathbb R n nbsp und eine Funktion f D R n displaystyle f colon D to mathbb R n nbsp Die Funktion heisst monoton auf D displaystyle D nbsp wenn x y T f x f y 0 displaystyle x y T f x f y geq 0 nbsp fur alle x y D displaystyle x y in D nbsp gilt strikt monoton auf D displaystyle D nbsp wenn x y T f x f y gt 0 displaystyle x y T f x f y gt 0 nbsp fur alle x y D displaystyle x y in D nbsp gilt gleichmassig monoton auf D displaystyle D nbsp wenn es ein m gt 0 displaystyle mu gt 0 nbsp gibt sodass x y T f x f y m x y 2 displaystyle x y T f x f y geq mu Vert x y Vert 2 nbsp fur alle x y D displaystyle x y in D nbsp mit x y displaystyle x neq y nbsp gilt Verallgemeinert man dies weiter so erhalt man den Begriff eines monotonen Operators Rechtecksmonotone Funktion BearbeitenEin anderes Monotoniekonzept fur Funktionen wird mit dem Differenz Operator D a b displaystyle Delta a b nbsp definiert Eine Funktion F R n R displaystyle F colon mathbb R n to mathbb R nbsp heisst rechtecksmonoton falls a b D a b F 0 fur alle a b R n displaystyle a leq b implies Delta a b F geq 0 quad text fur alle a b in mathbb R n nbsp gilt 1 Eine rechtecksmonotone Funktion wird auch n displaystyle n nbsp steigend genannt Die Rechtecksmonotonie spielt eine Rolle bei der Definition multivariater Verteilungsfunktionen und bei der Definition einer Copula Weder ist ein rechtecksmonotone Funktion notwendig monoton steigend noch ist eine monoton steigende Funktion notwendig rechtecksmonoton 2 Literatur BearbeitenOtto Forster Analysis 1 Differential und Integralrechnung einer Veranderlichen 11 erweiterte Auflage Springer Spektrum Wiesbaden 2013 ISBN 978 3 658 00316 6 doi 10 1007 978 3 658 00317 3 Konrad Konigsberger Analysis 1 6 durchgesehene Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 2004 ISBN 3 540 40371 X Stephen Boyd Lieven Vandenberghe Convex Optimization Cambridge University Press Cambridge New York Melbourne 2004 ISBN 978 0 521 83378 3 online Weblinks BearbeitenL D Kudryavtsev Monotone function In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Christian Franzki Monotonie von Funktionen Das Verhalten der Funktion im Vergleich zur Ableitungsfunktion In Mathematik Wissen de 6 Marz 2012 abgerufen am 16 Mai 2015 Einzelnachweise Bearbeiten Klaus D Schmidt Mass und Wahrscheinlichkeit 2 durchgesehene Auflage Springer Verlag Heidelberg Dordrecht London New York 2011 ISBN 978 3 642 21025 9 S 294 doi 10 1007 978 3 642 21026 6 Klaus D Schmidt Mass und Wahrscheinlichkeit 2 durchgesehene Auflage Springer Verlag Heidelberg Dordrecht London New York 2011 ISBN 978 3 642 21025 9 S 299 doi 10 1007 978 3 642 21026 6 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Monotone reelle Funktion amp oldid 234914659
