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Copula Mathematik Eine Copula Pl Copulas oder Copulae ist eine Funktion die einen funktionalen Zusammenhang zwischen den

Copula (Mathematik)

Eine Copula (Pl. Copulas oder Copulae) ist eine Funktion, die einen funktionalen Zusammenhang zwischen den Randverteilungsfunktionen verschiedener Zufallsvariablen und ihrer gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung angeben kann.

Mit ihrer Hilfe kann man stochastische Abhängigkeit deutlich flexibler modellieren als beispielsweise mit Korrelationskoeffizienten.

Definition Bearbeiten

Eine Copula ist eine multivariate Verteilungsfunktion , deren eindimensionale Randverteilungen gleichverteilt über dem Intervall sind. Formal ausgedrückt bedeutet dies folgendes:

  • ist multivariate Verteilungsfunktion, das heißt
    • ,
    • ist -steigend, das heißt für jedes Hyperrechteck ist das -Volumen nicht negativ: , wobei ,
  • Die eindimensionalen Randverteilungen von sind uniform auf dem Einheitsintervall: .

Die Forderung an die Randverteilungen lässt sich wie folgt motivieren: Für beliebig verteilte Zufallsvariablen mit stetigen Verteilungen ist die Zufallsvariable gleichverteilt über dem Intervall . Zusammen mit dem folgenden Satz von Sklar wird die Trennung von Randverteilungen und Abhängigkeiten unter diesen möglich.

Satz von Sklar Bearbeiten

Im Folgenden sei eine Erweiterung der reellen Zahlen.

Sei eine -dimensionale Verteilungsfunktion (Multivariate Verteilungsfunktion) mit eindimensionalen Randverteilungen . Dann existiert eine -dimensionale Copula , sodass für alle gilt:

Sind alle stetig, so ist die Copula eindeutig.

Fréchet-Hoeffding-Schranken Bearbeiten

Für jede -variate Copula gilt die untere Fréchet-Hoeffding-Schranke

und die obere Fréchet-Hoeffding Schranke

Die obere Schranke ist selbst eine Copula, die untere Schranke hingegen nur für .

Anwendung Bearbeiten

Copulae werden eingesetzt, um Rückschlüsse auf die Art der stochastischen Abhängigkeit verschiedener Zufallsvariablen zu erzielen oder um Abhängigkeiten gezielt zu modellieren. Sie werden beispielsweise in der Kreditrisikoanalyse eingesetzt, um Aussagen über einen gehäuften Bankrott mehrerer Schuldner innerhalb eines Anleihenportfolios machen zu können. Analog sind Anwendungen im Versicherungsbereich üblich. Dort stellen gehäuft auftretende Schäden verschiedener Schadenarten ein finanzielles Problem dar. Beispiel hierfür ist ein zu beobachtender Zusammenhang zwischen Sturm- und Hochwasserschäden. Eine weitere zentrale Anwendung im Bereich der Finanzmathematik ist die Modellierung von operationellen Risiken und die Modellierung der Abhängigkeiten zwischen den Risikoarten (Kredit- und Marktrisiko, Versicherungsrisiko und Kreditrisiko etc.).

Beispiele für Copulae Bearbeiten

  • Die empirische Copula wird aus den Daten geschätzt
  • Die einfachste Form der Copula ist die Unabhängigkeitscopula (Produktcopula)
  • Die obere Fréchet-Hoeffding-Schranke, ebenfalls eine Copula, ist gegeben durch
  • Die untere Fréchet-Hoeffding-Schranke ist nur im bivariaten Fall eine Copula:
  • Die Normal- oder auch Gauß-Copula wird mit Hilfe der Verteilungsfunktion der Normalverteilung definiert. So ist

Archimedische Copulae Bearbeiten

Archimedische Copulae stellen eine Klasse von Copulae dar. Diese lassen sich wie folgt beschreiben:

Sei eine stetige, streng monoton fallende Funktion mit . Bezeichne die Pseudo-Inverse von , d. h.

Mit Hilfe von und lässt sich nun eine bivariate Funktion definieren:

Die Funktion ist genau dann eine Copula, wenn konvex ist. In diesem Fall heißt Erzeuger oder Generator der Copula. Offensichtlich ist symmetrisch, d. h. für alle .

Beispiele für archimedische Copulae sind:

  • Gumbel-Copula: Ihr Erzeuger ist die Funktion mit Parameter .
  • Clayton-Copula: Ihr Erzeuger ist die Funktion mit Parameter .
  • Frank-Copula: Ihr Erzeuger ist die Funktion mit Parameter .

Archimedische Copulae werden oft angewandt, da es sehr einfach ist, Zufallszahlen daraus zu generieren.

Extremwertcopula Bearbeiten

Definition Bearbeiten

Eine Copula heißt Extremwertcopula, wenn es die Copula einer multivariaten Extremwertverteilung ist, d. h. es existiert eine multivariate Extremwertverteilung mit univariaten Rändern , dass gilt .

Lemma Bearbeiten

Eine Copula ist genau dann eine Extremwertcopula, wenn für und gilt .

Ist eine Extremwertcopula und sind univariate Extremwertverteilungen, dann ist eine multivariate Extremwertverteilung.

Zusammenhang zwischen Copula und T-Norm Bearbeiten

Jede bivariate assoziative und kommutative Copula ist eine T-Norm (siehe Grabisch et al. 2009). Beispielsweise sind die bivariate Produktcopula und beide bivariaten Fréchet-Hoeffding-Schranken gleichzeitig T-Normen.

Literatur Bearbeiten

  • Harry Joe: Dependence Modeling with Copulas (Monographs on Statistics and Applied Probability 134). CRC Press, 2015, ISBN 978-1-4665-8322-1.
  • J.-F. Mai, M. Scherer: Simulating Copulas (Stochastic Models, Sampling Algorithms and Applications). World Scientific, 2012, ISBN 978-1-84816-874-9.
  • J. Wernz: Bank Management and Control. Springer Nature, 2020, ISBN 978-3-03042865-5.
  • A. Sklar: Random variables, distribution functions, and copulas – a personal look backward and forward. In: L. Rüschendorf, B. Schweizer, M. Taylor (Hrsg.): Distributions With Fixed Marginals & Related Topics. (= Lecture Notes - Monograph Series Number. 28). 1997, ISBN 0-940600-40-4.
  • Rico Fischer: Modellierung von Abhängigkeiten mit Hilfe von Copulas: Anwendung bei der Bestimmung des Value at Risk. Logos Berlin, 2009, ISBN 978-3-8325-2142-4.
  • Grabisch,M., Marichal,J.-L., Mesiar,R. and E. Pap: Aggregation Functions. Cambridge University Press 2009. ISBN 978-0-521-51926-7. S. 56f. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)

Weblinks Bearbeiten

  • P. Embrechts, F. Lindskog, A. McNeil: Modelling Dependence with Copulas and Applications to Risk Management. In: S. Rachev (Hrsg.): Handbook of Heavy Tailed Distributions in Finance. Elsevier, Chapter 8, 2003, S. 329–384. (people.math.ethz.ch; PDF; 818 kB)
  • P. Embrechts, A. McNeil, D. Straumann: Correlation and dependence in risk management: properties and pitfalls. In: M. A. H. Dempster: (Hrsg.): Risk Management: Value at Risk and Beyond. Cambridge University Press, Cambridge 2002, S. 176–223. (people.math.ethz.ch; PDF; 784 kB)
  • C. Schölzel, P. Friederichs: Multivariate non-normally distributed random variables in climate research – introduction to the copula approach. In: Nonlinear Processes in Geophysics. 15, 2008, S. 761–772. (www.nonlin-processes-geophys.net open access)
  • Andreas Beck, Michael Lesko, Frank Schlottmann, Konrad Wimmer: Copulas im Risikomanagement. In: Zeitschrift für das gesamte Kreditwesen. 14/2006. (risknet.de)
  • Michael Lesko, Andreas Beck: Zur Modellierung von Abhängigkeiten in der Bankpraxis – Copula-Funktionen zur Ermittlung des Gesamtbankrisikoprofils. In: Betriebswirtschaftliche Blätter. 5/2006. (risknet.de)
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Eine Copula Pl Copulas oder Copulae ist eine Funktion die einen funktionalen Zusammenhang zwischen den Randverteilungsfunktionen verschiedener Zufallsvariablen und ihrer gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung angeben kann Mit ihrer Hilfe kann man stochastische Abhangigkeit deutlich flexibler modellieren als beispielsweise mit Korrelationskoeffizienten Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Satz von Sklar 3 Frechet Hoeffding Schranken 4 Anwendung 5 Beispiele fur Copulae 6 Archimedische Copulae 7 Extremwertcopula 7 1 Definition 7 2 Lemma 8 Zusammenhang zwischen Copula und T Norm 9 Literatur 10 WeblinksDefinition BearbeitenEine Copula ist eine multivariate Verteilungsfunktion C 0 1 n 0 1 displaystyle C colon 0 1 n rightarrow 0 1 nbsp deren eindimensionale Randverteilungen gleichverteilt uber dem Intervall 0 1 displaystyle 0 1 nbsp sind Formal ausgedruckt bedeutet dies folgendes C displaystyle C nbsp ist multivariate Verteilungsfunktion das heisst u 0 1 n min u 1 u n 0 C u 0 displaystyle forall u in 0 1 n colon min u 1 dotsc u n 0 implies C u 0 nbsp C displaystyle C nbsp ist n displaystyle n nbsp steigend das heisst fur jedes Hyperrechteck R i 1 n x i y i 0 1 n displaystyle R prod i 1 n x i y i subseteq 0 1 n nbsp ist das C displaystyle C nbsp Volumen nicht negativ V C R z i 1 n x i y i 1 N z C z 0 displaystyle V C left R right sum mathbf z in prod i 1 n x i y i 1 N mathbf z C mathbf z geq 0 nbsp wobei N z k z k x k displaystyle N mathbf z k mid z k x k nbsp Die eindimensionalen Randverteilungen von C displaystyle C nbsp sind uniform auf dem Einheitsintervall j 1 n u u 1 u n 1 j 1 0 1 1 n j C u u j displaystyle forall j in 1 dotsc n u u 1 u n in 1 j 1 times 0 1 times 1 n j colon C u u j nbsp Die Forderung an die Randverteilungen lasst sich wie folgt motivieren Fur n N displaystyle n in mathbb N nbsp beliebig verteilte Zufallsvariablen X 1 X 2 X n displaystyle X 1 X 2 ldots X n nbsp mit stetigen Verteilungen F X i i 1 2 n displaystyle F X i i in 1 2 dotsc n nbsp ist die Zufallsvariable F X i X i displaystyle F X i X i nbsp gleichverteilt uber dem Intervall 0 1 displaystyle 0 1 nbsp Zusammen mit dem folgenden Satz von Sklar wird die Trennung von Randverteilungen und Abhangigkeiten unter diesen moglich Satz von Sklar BearbeitenIm Folgenden sei R R displaystyle overline mathbb R mathbb R cup infty infty nbsp eine Erweiterung der reellen Zahlen Sei F R n 0 1 displaystyle F overline mathbb R n rightarrow 0 1 nbsp eine n displaystyle n nbsp dimensionale Verteilungsfunktion Multivariate Verteilungsfunktion mit eindimensionalen Randverteilungen F 1 F n R 0 1 displaystyle F 1 ldots F n overline mathbb R rightarrow 0 1 nbsp Dann existiert eine n displaystyle n nbsp dimensionale Copula C displaystyle C nbsp sodass fur alle x 1 x n R n displaystyle x 1 ldots x n in overline mathbb R n nbsp gilt F x 1 x 2 x n C F 1 x 1 F n x n displaystyle F x 1 x 2 ldots x n C left F 1 left x 1 right ldots F n left x n right right nbsp Sind alle F i displaystyle F i nbsp stetig so ist die Copula eindeutig Frechet Hoeffding Schranken BearbeitenFur jede n displaystyle n nbsp variate Copula C displaystyle C nbsp gilt die untere Frechet Hoeffding Schranke C u 1 u n max i 1 n u i 1 n 0 W u 1 u n displaystyle C u 1 ldots u n geq max left sum limits i 1 n u i 1 n 0 right W u 1 ldots u n nbsp und die obere Frechet Hoeffding Schranke C u 1 u n min u 1 u n M u 1 u n displaystyle C u 1 ldots u n leq min u 1 ldots u n M u 1 ldots u n nbsp Die obere Schranke M displaystyle M nbsp ist selbst eine Copula die untere Schranke W displaystyle W nbsp hingegen nur fur n 2 displaystyle n 2 nbsp Anwendung BearbeitenCopulae werden eingesetzt um Ruckschlusse auf die Art der stochastischen Abhangigkeit verschiedener Zufallsvariablen zu erzielen oder um Abhangigkeiten gezielt zu modellieren Sie werden beispielsweise in der Kreditrisikoanalyse eingesetzt um Aussagen uber einen gehauften Bankrott mehrerer Schuldner innerhalb eines Anleihenportfolios machen zu konnen Analog sind Anwendungen im Versicherungsbereich ublich Dort stellen gehauft auftretende Schaden verschiedener Schadenarten ein finanzielles Problem dar Beispiel hierfur ist ein zu beobachtender Zusammenhang zwischen Sturm und Hochwasserschaden Eine weitere zentrale Anwendung im Bereich der Finanzmathematik ist die Modellierung von operationellen Risiken und die Modellierung der Abhangigkeiten zwischen den Risikoarten Kredit und Marktrisiko Versicherungsrisiko und Kreditrisiko etc Beispiele fur Copulae BearbeitenDie empirische Copula wird aus den Daten geschatzt Die einfachste Form der Copula ist die Unabhangigkeitscopula Produktcopula C u 1 u n i 1 n u i u 1 u n displaystyle C u 1 ldots u n prod limits i 1 n u i u 1 cdot ldots cdot u n nbsp Sie steht fur stochastisch unabhangige Zufallsvariablen U 1 U n displaystyle U 1 ldots U n nbsp die gemass der Copula C verteilt sind In Zeichen U 1 U n C displaystyle U 1 ldots U n sim C nbsp Die obere Frechet Hoeffding Schranke ebenfalls eine Copula ist gegeben durchC u 1 u n min i 1 n u i displaystyle C u 1 ldots u n min i 1 ldots n u i nbsp Sie beschreibt perfekte positive stochastische Abhangigkeit totale positive Korrelation Die untere Frechet Hoeffding Schranke ist nur im bivariaten Fall eine Copula C u 1 u 2 max u 1 u 2 1 0 displaystyle C u 1 u 2 max u 1 u 2 1 0 nbsp Sie beschreibt eine perfekte negative stochastische Abhangigkeit zweier Zufallsvariablen Die Normal oder auch Gauss Copula wird mit Hilfe der Verteilungsfunktion der Normalverteilung F displaystyle F cdot nbsp definiert So istC u 1 u 2 F 2 F 1 u 1 F 1 u 2 r displaystyle C u 1 u 2 F 2 F 1 u 1 F 1 u 2 rho nbsp eine Copula wobei F 2 r displaystyle F 2 cdot cdot rho nbsp die bivariate Verteilungsfunktion zweier standard normalverteilter Zufallsvariablen mit dem Korrelationskoeffizienten r displaystyle rho nbsp ist Erzeugt man Punkte die gemass der Normal Copula mit Parameter r 0 5 displaystyle rho 0 5 nbsp verteilt sind ergibt sich bereits eine leichte Konzentration dieser entlang der Winkelhalbierenden nbsp Simulation der bivariaten Normal Copula rho 0 5 1500 PunkteDie nach Emil Julius Gumbel benannte Gumbel Copula wird mit Hilfe der Exponentialfunktion und dem naturlichen Logarithmus definiertC l u 1 u 2 exp ln u 1 l ln u 2 l 1 l displaystyle C lambda u 1 u 2 exp left left left ln u 1 right lambda left ln u 2 right lambda right 1 lambda right nbsp wobei l 1 displaystyle lambda geq 1 nbsp als Parameter fest zu wahlen ist Erzeugt man Punkte die gemass der Gumbel Copula mit Parameter l gt 1 displaystyle lambda gt 1 nbsp verteilt sind ergibt sich insbesondere eine Punkthaufung in der Nahe des Punktes 1 1 displaystyle 1 1 nbsp nbsp Simulation der bivariaten Gumbel Copula lambda 2 1500 PunkteArchimedische Copulae BearbeitenArchimedische Copulae stellen eine Klasse von Copulae dar Diese lassen sich wie folgt beschreiben Sei f 0 1 0 displaystyle varphi colon 0 1 rightarrow 0 infty nbsp eine stetige streng monoton fallende Funktion mit f 1 0 displaystyle varphi 1 0 nbsp Bezeichne f 1 0 0 1 displaystyle varphi 1 colon 0 infty rightarrow 0 1 nbsp die Pseudo Inverse von f displaystyle varphi nbsp d h f 1 t f 1 t falls 0 t f 0 0 sonst displaystyle varphi 1 t begin cases varphi 1 t amp textrm falls 0 leq t leq varphi 0 0 amp textrm sonst end cases nbsp Mit Hilfe von f displaystyle varphi nbsp und f 1 displaystyle varphi 1 nbsp lasst sich nun eine bivariate Funktion definieren C 0 1 2 0 1 C u v f 1 f u f v displaystyle C colon 0 1 2 rightarrow 0 1 quad C u v varphi 1 left varphi left u right varphi left v right right nbsp Die Funktion C displaystyle C nbsp ist genau dann eine Copula wenn f displaystyle varphi nbsp konvex ist In diesem Fall heisst f displaystyle varphi nbsp Erzeuger oder Generator der Copula Offensichtlich ist C displaystyle C nbsp symmetrisch d h C u v C v u displaystyle C u v C v u nbsp fur alle u v 0 1 displaystyle u v in 0 1 nbsp Beispiele fur archimedische Copulae sind Gumbel Copula Ihr Erzeuger ist die Funktion f t ln t l displaystyle varphi t ln t lambda nbsp mit Parameter l 1 displaystyle lambda geq 1 nbsp Damit ergibt sich f 1 t exp t 1 l displaystyle varphi 1 t exp left t frac 1 lambda right nbsp und damit die Gumbel Copula C l u v displaystyle C lambda u v nbsp wie oben Clayton Copula Ihr Erzeuger ist die Funktion f t 1 8 t 8 1 displaystyle varphi t frac 1 Theta left t Theta 1 right nbsp mit Parameter 8 gt 0 displaystyle Theta gt 0 nbsp Damit ist f 1 t 8 t 1 1 8 displaystyle varphi 1 t left Theta cdot t 1 right frac 1 Theta nbsp und die bivariate Clayton Copula ergibt sich zu C u v u 8 v 8 1 1 8 displaystyle C u v left u Theta v Theta 1 right frac 1 Theta nbsp dd Frank Copula Ihr Erzeuger ist die Funktion f t ln e 8 t 1 e 8 1 displaystyle varphi t ln left frac e Theta cdot t 1 e Theta 1 right nbsp mit Parameter 8 gt 0 displaystyle Theta gt 0 nbsp Archimedische Copulae werden oft angewandt da es sehr einfach ist Zufallszahlen daraus zu generieren Extremwertcopula BearbeitenDefinition Bearbeiten Eine Copula C displaystyle C nbsp heisst Extremwertcopula wenn es die Copula einer multivariaten Extremwertverteilung ist d h es existiert eine multivariate Extremwertverteilung G displaystyle G nbsp mit univariaten Randern G 1 G n displaystyle G 1 dots G n nbsp dass gilt C u 1 u n G G 1 1 u 1 G n 1 u n displaystyle C u 1 dots u n G G 1 1 u 1 dots G n 1 u n nbsp Lemma Bearbeiten Eine Copula C displaystyle C nbsp ist genau dann eine Extremwertcopula wenn fur 0 u u 1 u n T 1 displaystyle mathbf 0 leq mathbf u u 1 dots u n T leq mathbf 1 nbsp und t gt 0 displaystyle t gt 0 nbsp gilt C u 1 t u n t C t u 1 u n displaystyle C u 1 t dots u n t C t u 1 dots u n nbsp Ist C displaystyle C nbsp eine Extremwertcopula und sind G 1 G n displaystyle G 1 dots G n nbsp univariate Extremwertverteilungen dann ist G x 1 x n T C G 1 x 1 G n x n displaystyle G x 1 dots x n T C G 1 x 1 dots G n x n nbsp eine multivariate Extremwertverteilung Zusammenhang zwischen Copula und T Norm BearbeitenJede bivariate assoziative und kommutative Copula ist eine T Norm siehe Grabisch et al 2009 Beispielsweise sind die bivariate Produktcopula und beide bivariaten Frechet Hoeffding Schranken gleichzeitig T Normen Literatur BearbeitenHarry Joe Dependence Modeling with Copulas Monographs on Statistics and Applied Probability 134 CRC Press 2015 ISBN 978 1 4665 8322 1 J F Mai M Scherer Simulating Copulas Stochastic Models Sampling Algorithms and Applications World Scientific 2012 ISBN 978 1 84816 874 9 J Wernz Bank Management and Control Springer Nature 2020 ISBN 978 3 03042865 5 Roger B Nelsen An Introduction to Copulas Lecture Notes in Statistics Springer Verlag 2006 ISBN 0 387 28659 4 A Sklar Random variables distribution functions and copulas a personal look backward and forward In L Ruschendorf B Schweizer M Taylor Hrsg Distributions With Fixed Marginals amp Related Topics Lecture Notes Monograph Series Number 28 1997 ISBN 0 940600 40 4 Rico Fischer Modellierung von Abhangigkeiten mit Hilfe von Copulas Anwendung bei der Bestimmung des Value at Risk Logos Berlin 2009 ISBN 978 3 8325 2142 4 Grabisch M Marichal J L Mesiar R and E Pap Aggregation Functions Cambridge University Press 2009 ISBN 978 0 521 51926 7 S 56f eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche Weblinks BearbeitenP Embrechts F Lindskog A McNeil Modelling Dependence with Copulas and Applications to Risk Management In S Rachev Hrsg Handbook of Heavy Tailed Distributions in Finance Elsevier Chapter 8 2003 S 329 384 people math ethz ch PDF 818 kB P Embrechts A McNeil D Straumann Correlation and dependence in risk management properties and pitfalls In M A H Dempster Hrsg Risk Management Value at Risk and Beyond Cambridge University Press Cambridge 2002 S 176 223 people math ethz ch PDF 784 kB C Scholzel P Friederichs Multivariate non normally distributed random variables in climate research introduction to the copula approach In Nonlinear Processes in Geophysics 15 2008 S 761 772 www nonlin processes geophys net open access Andreas Beck Michael Lesko Frank Schlottmann Konrad Wimmer Copulas im Risikomanagement In Zeitschrift fur das gesamte Kreditwesen 14 2006 risknet de Michael Lesko Andreas Beck Zur Modellierung von Abhangigkeiten in der Bankpraxis Copula Funktionen zur Ermittlung des Gesamtbankrisikoprofils In Betriebswirtschaftliche Blatter 5 2006 risknet de Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Copula Mathematik amp oldid 235703478