Eine T-Norm, oft auch klein t-Norm, ist eine mathematische Funktion, die im Bereich mehrwertiger Logiken, insbesondere in der Fuzzy-Logik, Bedeutung erlangt hat. Der Begriff leitet sich vom Englischen triangular norm, zu Deutsch Dreiecksnorm ab, und rührt daher, dass eine T-Norm eine dreiecksähnliche Fläche im beschreibt.
Eigenschaften Bearbeiten
Eine T-Norm ist auf dem Einheitsintervall [0,1] definiert
und muss folgende Eigenschaften aufweisen (zur exakten Definition dieser Eigenschaften siehe die Tabelle zu T-Norm und T-Conorm am Ende dieses Artikels):
- Assoziativität: T(a, T(b, c)) = T(T(a, b), c)
- Kommutativität: T(a, b) = T(b, a)
- Monotonie: T(a, b) ≤ T(c, d), falls a ≤ c und b ≤ d
- 1 ist neutrales Element: T(a, 1) = a
Die T-Norm dient dazu, für mehrwertige Logiken einen verallgemeinerten Konjunktions-Operator zu stellen. Die oben genannten Eigenschaften sind gleichsam allgemeinste Eigenschaften eines solchen Operators: Assoziativität und Kommutativität sind selbstverständlich. Die Monotonie garantiert eine gewisse Regelmäßigkeit in der Struktur von Definitions- und Zielmenge. Die „1“ als neutrales Element ermöglicht Konjunktionen, deren Ergebnis nur von einem Operanden abhängt.
Diese Eigenschaften werden im Zusammenhang mit Fuzzy-Mengen verwendet, um die Schnittmengen-Operation nachzubilden.
T-Conormen Bearbeiten
Komplementär zu T-Normen werden T-Conormen (auch S-Normen genannt) verwendet, als Bezeichner ist entsprechend ⊥ oder S üblich:
Mit Hilfe der De Morganschen Gesetze lässt sich auf der Basis einer T-Norm, welche Konjunktion bzw. Schnittmenge liefert, und einer Negation die Disjunktions- bzw. die Vereinigungsmengen-Operation ableiten.
Verallgemeinerung: Es kann ein anderer als der Standard-Negator
verwendet werden. Damit wird obige Beziehung verallgemeinert zu
Die Mindestanforderungen an einen Negator sind im allgemeinen: Monotonie (fallend), n(0)=1, n(1)=0.
In diesem Zusammenhang wird aber strenge Monotonie und Involutivität n(n(x)) = x, d. h. n = n−1, gefordert:
Das Tripel heißt dann De-Morgan-Triplett.
Geläufige T-Normen und T-Conormen Bearbeiten
Die angegebenen T-Conormen sind jeweils bezüglich der Standardnegation N(x)=1-x zur entsprechenden T-Norm dual, also über die De Morganschen Gesetze verknüpft. Mit anderen involutiven Negationen ergeben sich im Allgemeinen auch andere T-Conormen.
Die erstgenannte wird wegen ihrer Einfachheit und ihrer unten genannten Eigenschaften am häufigsten eingesetzt. Die 3. T-Norm, sowie deren T-Conorm kommen aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Weiterhin gelten folgende Zusammenhänge:
D. h., dass die drastische T-Norm (T-1) die kleinste und die Minimum-T-Norm die größte ist. Umgekehrtes gilt für die T-Conorm. T(a, b) bzw. ⊥(a, b) steht hierbei für jede beliebige T-Norm bzw. T-Conorm.
Zusammenhänge zwischen T-Norm und T-Conorm Bearbeiten
Aufgrund der schon erwähnten De Morganschen Gesetze ergeben sich folgende komplementären Zusammenhänge:
Den obigen Axiomen für T-Normen entsprechen folgende Bedingungen für eine T-Conorm:
| T-Norm | T-Conorm | |
|---|---|---|
| Nullelement: | T(0,a) = T(a,0) = 0 | ⊥(a,1) = ⊥(1,a) = 1 |
| Neutrales Element: | T(a,1) = T(1,a) = a | ⊥(0,a) = ⊥(a,0) = a |
| Assoziativität: | T(a,T(b,c)) = T(T(a,b),c) | ⊥(a,⊥(b,c)) = ⊥(⊥(a,b),c) |
| Kommutativität: | T(a,b) = T(b,a) | ⊥(a,b) = ⊥(b,a) |
| Monotonie: | a ≤ b ⇒ T(a,c) ≤ T(b,c) | a ≤ b ⇒ ⊥(a,c) ≤ ⊥(b,c) |
Diese Beziehungen gelten nicht nur für den Standard-Negator, sondern für jedes De-Morgan-Triplett.
Zusammenhang zwischen T-Norm und Copula Bearbeiten
Eine T-Norm hat die positive Rechteck-Eigenschaft, wenn für gilt:
Jede T-Norm mit positiver Rechteck-Eigenschaft ist eine bivariate Copula (siehe Grabisch et al. 2009). Von obigen Beispielen sind gleichzeitig Copulae, jedoch nicht.
Literatur Bearbeiten
- Frank Klawonn, Rudolf Kruse, Andreas Nürnberger: Fuzzy-Regelung: Grundlagen, Entwurf, Analyse. Springer Verlag, Heidelberg 2002, ISBN 978-3-642-55812-2, S. 15 ff. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
- Horst Stöcker: Taschenbuch mathematischer Formeln und moderner Verfahren. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2007, ISBN 978-3-8171-1811-3, S. 727 f. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
- Siegfried Gottwald: Mehrwertige Logik: Eine Einführung in Theorie und Anwendungen. Akademie Verlag, Berlin 1989, ISBN 978-3-05-000765-6, S. 172 f. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
- Grabisch,M., Marichal,J.-L., Mesiar,R. and E. Pap: Aggregation Functions. Cambridge University Press 2009. ISBN 978-0-521-51926-7. S. 56f. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche)