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Hyperrechteck Ein oder auch Hyperquader ist in der Geometrie die Verallgemeinerung des Rechtecks und des Quaders auf bel

Hyperrechteck

Ein Hyperrechteck oder auch Hyperquader ist in der Geometrie die Verallgemeinerung des Rechtecks und des Quaders auf beliebig viele Dimensionen. Der Hyperwürfel ist ein Spezialfall davon.

Zweidimensionale Projektion eines vierdimensionalen Hyperrechtecks.

Definition Bearbeiten

Ein achsenparalleles Hyperrechteck im -dimensionalen Raum ist das kartesische Produkt von reellen Intervallen mit für , das heißt

Im Allgemeinen ist ein Hyperrechteck eine Figur, die kongruent ist mit einem achsenparallelen Hyperrechteck.

Beispiele Bearbeiten

Für erhält man so ein Intervall, für ein Rechteck und für einen Quader.

Für den Spezialfall, dass alle Intervalle gleich dem Einheitsintervall sind, erhält man den Einheitshyperwürfel

Eigenschaften Bearbeiten

Begrenzende Elemente Bearbeiten

Jedes -dimensionale Hyperrechteck mit hat

  • Ecken,
  • Kanten, die rechtwinklig aufeinanderstoßen, und
  • Seitenflächen, die ihrerseits Hyperrechtecke der Dimension sind.

Allgemein wird ein -dimensionales Hyperrechteck von

Hyperrechtecken der Dimension begrenzt, wobei ist.

Volumen und Oberfläche Bearbeiten

Das Volumen eines Hyperrechtecks beträgt

Das ist der Ausgangspunkt für die Volumenbestimmung sehr viel allgemeinerer Mengen, wie in der Konstruktion des -dimensionalen Lebesguemaßes in der Maßtheorie deutlich wird.

Der Oberflächeninhalt beträgt

Siehe auch Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Ein Hyperrechteck oder auch Hyperquader ist in der Geometrie die Verallgemeinerung des Rechtecks und des Quaders auf beliebig viele Dimensionen Der Hyperwurfel ist ein Spezialfall davon Zweidimensionale Projektion eines vierdimensionalen Hyperrechtecks Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Eigenschaften 3 1 Begrenzende Elemente 3 2 Volumen und Oberflache 4 Siehe auch 5 WeblinksDefinition BearbeitenEin achsenparalleles Hyperrechteck R displaystyle R nbsp im n displaystyle n nbsp dimensionalen Raum R n displaystyle mathbb R n nbsp ist das kartesische Produkt von n displaystyle n nbsp reellen Intervallen a i b i displaystyle a i b i nbsp mit a i b i displaystyle a i leq b i nbsp fur i 1 n displaystyle i 1 dotsc n nbsp das heisst R i 1 n a i b i a 1 b 1 a 2 b 2 a n b n displaystyle R prod i 1 n a i b i a 1 b 1 times a 2 b 2 times dotsb times a n b n nbsp Im Allgemeinen ist ein Hyperrechteck eine Figur die kongruent ist mit einem achsenparallelen Hyperrechteck Beispiele BearbeitenFur n 1 displaystyle n 1 nbsp erhalt man so ein Intervall fur n 2 displaystyle n 2 nbsp ein Rechteck und fur n 3 displaystyle n 3 nbsp einen Quader Fur den Spezialfall dass alle Intervalle gleich dem Einheitsintervall 0 1 displaystyle 0 1 nbsp sind erhalt man den Einheitshyperwurfel R i 1 n 0 1 0 1 n displaystyle R prod i 1 n 0 1 0 1 n nbsp Eigenschaften BearbeitenBegrenzende Elemente Bearbeiten Jedes n displaystyle n nbsp dimensionale Hyperrechteck mit n 2 displaystyle n geq 2 nbsp hat 2 n displaystyle 2 n nbsp Ecken n 2 n 1 displaystyle n2 n 1 nbsp Kanten die rechtwinklig aufeinanderstossen und 2 n displaystyle 2n nbsp Seitenflachen die ihrerseits Hyperrechtecke der Dimension n 1 displaystyle n 1 nbsp sind Allgemein wird ein n displaystyle n nbsp dimensionales Hyperrechteck von n k 2 n k displaystyle binom n k cdot 2 n k nbsp Hyperrechtecken der Dimension k displaystyle k nbsp begrenzt wobei k 0 n 1 displaystyle k in 0 dotsc n 1 nbsp ist Volumen und Oberflache Bearbeiten Das Volumen eines Hyperrechtecks R displaystyle R nbsp betragt vol R i 1 n b i a i b 1 a 1 b 2 a 2 b n a n displaystyle operatorname vol R prod i 1 n b i a i b 1 a 1 cdot b 2 a 2 dotsm b n a n nbsp Das ist der Ausgangspunkt fur die Volumenbestimmung sehr viel allgemeinerer Mengen wie in der Konstruktion des n displaystyle n nbsp dimensionalen Lebesguemasses in der Masstheorie deutlich wird Der Oberflacheninhalt betragt vol R 2 j 1 n i 1 i j n b i a i displaystyle operatorname vol partial R 2 sum j 1 n prod i 1 atop i neq j n b i a i nbsp Siehe auch BearbeitenHyperwurfel Spezialisierung fur gleiche Kantenlangen Hilbertwurfel fur den unendlichdimensionalen Fall Hyperebene Hyperpyramide Hypersphare HyperraumWeblinks BearbeitenEric W Weisstein Orthotope In MathWorld englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Hyperrechteck amp oldid 206350143