www.wikidata.de-de.nina.az

Rechteck In der Geometrie ist ein ein Orthogon ein ebenes Viereck dessen Innenwinkel alle rechte Winkel sind Es ist ein

Rechteck

In der Geometrie ist ein Rechteck (ein Orthogon) ein ebenes Viereck, dessen Innenwinkel alle rechte Winkel sind. Es ist ein Spezialfall des Parallelogramms und damit auch des Trapezes. Ein Sonderfall des Rechtecks ist das Quadrat, bei dem alle Seiten gleich lang sind.

Rechteck mit Länge a, Breite b und Diagonale d

In der Topologie ist ein Rechteck eine Mannigfaltigkeit mit Rand, genauer eine Mannigfaltigkeit mit Ecken.

Eigenschaften Bearbeiten

Das Rechteck kann charakterisiert werden als

Formeln Bearbeiten

Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist gleich dem Produkt der Seitenlängen.
Mathematische Formeln zum Rechteck
Flächeninhalt
Umfang
Länge der Diagonalen
Umkreisradius
Innenwinkel

Die Formel für die Länge der Diagonalen beruht auf dem Satz des Pythagoras. Der Umkreisradius ergibt sich durch Halbierung der Länge der Diagonalen.

Um ein Rechteck zu konstruieren, müssen zwei Größen gegeben sein. Häufig sind entweder beide Seitenlängen gegeben, oder eine der beiden Seitenlängen und die Länge der Diagonalen.

Optimierungsprobleme und das Quadrat Bearbeiten

Es gibt verschiedene Optimierungsprobleme für Rechtecke. Sucht man ein Rechteck, das bei

  • gegebener Länge der Diagonale oder gegebenem Flächeninhalt des Umkreises den maximalen Umfang
  • gegebener Länge der Diagonale oder gegebenem Flächeninhalt des Umkreises den maximalen Flächeninhalt
  • gegebenem Umfang die minimale Länge der Diagonale oder den minimalen Flächeninhalt des Umkreises
  • gegebenem Umfang den maximalen Flächeninhalt
  • gegebenem Flächeninhalt die minimale Länge der Diagonale oder den minimalen Flächeninhalt des Umkreises
  • gegebenem Flächeninhalt den minimalen Umfang

hat, dann ergibt sich als Lösung jeweils das Quadrat.

Jeweils zwei der sechs Optimierungsprobleme sind im Prinzip dieselbe Fragestellung mit anderen gegebenen Größen, sodass es eigentlich nur drei verschiedene Optimierungsprobleme sind. Für die genannten Optimierungsprobleme ist das Quadrat das gesuchte Rechteck. Das gilt selbstverständlich nicht für alle Optimierungsprobleme.

Dass die Optimierungsprobleme für die Länge der Diagonale und den Flächeninhalt des Umkreises jeweils dieselbe Lösung haben, ist offensichtlich, weil der Flächeninhalt des Umkreises eine stetige und streng monoton steigende Funktion mit der Funktionsvariablen ist.

Rechteck mit den Seitenlängen und Diagonale d 

Ist zum Beispiel bei gegebener Länge der Diagonale das Rechteck ABCD mit dem größten Flächeninhalt gesucht, dann hilft es, den Umkreis zu betrachten. Die Diagonale AC ist nach dem Satz des Thales der Durchmesser des Umkreises.

Das Rechteck besteht aus den rechtwinkligen Dreiecken ABC und CDA. Der Flächeninhalt des Dreiecks ABC ist dann am größten, wenn die Höhe des Punkts B auf der Seite AC am größten ist. Das ist genau dann der Fall, wenn die Seiten AB und BC gleich lang sind, das Dreieck also auch gleichschenklig ist. Ebenso ist der Flächeninhalt des Dreiecks CDA genau dann am größten, wenn die Seiten CD und DA gleich lang sind. Der Flächeninhalt des Rechtecks ABCD ist also genau dann am größten, wenn alle 4 Seiten gleich lang sind, also wenn es ein Quadrat ist.

Eine andere Möglichkeit ist, den Flächeninhalt mit Ungleichungen abzuschätzen.

Ein Rechteck mit den Seitenlängen und hat die Diagonalenlänge und den Flächeninhalt . Das Quadrat mit der Seitenlänge hat dieselbe Diagonalenlänge und den Flächeninhalt . Wegen der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel gilt für alle positiven Seitenlängen und und Gleichheit genau dann, wenn ist. Daraus folgt, dass das Quadrat das Rechteck mit dem größten Flächeninhalt ist.

Rechteckgitter Bearbeiten

Rechteckgitter

Das Rechteckgitter ist eine Anordnung von unendlich vielen Punkten in der zweidimensionalen euklidischen Ebene. Diese Punktmenge kann formal als die Menge

geschrieben werden, wobei die positiven reellen Zahlen , die Abstände zwischen benachbarten Punkten sind. Das Rechteckgitter entsteht durch 2 Parallelstreckungen (siehe Affine Abbildung) aus dem Quadratgitter.

Dieses Rechteckgitter ist achsensymmetrisch, drehsymmetrisch und punktsymmetrisch. Außerdem ist es translationsymmetrisch für alle Vektoren mit bestimmten Längen, die parallel zu den 2 Koordinatenachsen verlaufen, nämlich die unendlich vielen Vektoren , , wobei , ganze Zahlen sind und , die 2 Einheitsvektoren im zweidimensionalen eudklidischen Vektorraum.

Wird eine geometrische Figur in der Ebene in einem Quadratgitter platziert und dann durch Parallelstreckungen modifiziert, sodass ein Rechteckgitter entsteht, dann entstehen abhängig von der Art und Ausrichtung dieser geometrischen Figuren andere geometrische Figuren:

Goldenes Rechteck Bearbeiten

Beide Rechtecke – je mit den Seitenverhältnissen a : b sowie (a + b) : a – sind jeweils Goldene Rechtecke (animierte Darstellung).

Rechtecke mit der Eigenschaft für die Seitenlängen a und b nennt man Goldene Rechtecke. Als Seitenverhältnis ergibt sich der Goldenen Schnitt, also .

Perfektes Rechteck Bearbeiten

Ein Rechteck heißt perfekt, falls man es mit Quadraten lückenlos und überschneidungsfrei überdecken kann, wobei alle Quadrate unterschiedlich groß sind. Es ist nicht einfach, eine solche Parkettierung zu finden. Eine solche Zerlegung eines Rechtecks mit den Seitenlängen 32 und 33 in 9 Quadrate wurde 1925 von Zbigniew Moroń gefunden. Sie besteht aus den Quadraten mit den Seitenlängen 1, 4, 7, 8, 9, 10, 14, 15 und 18.

Ein weiteres Beispiel eines perfekten Rechtecks – ebenfalls von Zbigniew Moroń – hat die Seitenlängen 47 und 65. Es wird überdeckt von 10 Quadraten mit den Seitenlängen 3, 5, 6, 11, 17, 19, 22, 23, 24 und 25.

Perfektes Rechteck 32 x 33 (9 Quadrate)
Irene Schramm-Biermann:
Perfektes Rechteck 47 x 65 (10 Quadrate)

Weblinks Bearbeiten

Wiktionary: Rechteck – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
Commons: Rechteck – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
  • Rechteck – Animierte Lernsequenz - Konstruktion, Umfang, Flächeninhalt

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Wolfram MathWorld: Cubic Lattice
  2. ↑ Zbigniew Moroń: Darstellung der Rechtecke nach Moroń. Abgerufen am 27. März 2021.
  3. Eric W. Weisstein: Perfect Square Dissection. In: MathWorld (englisch).
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
In der Geometrie ist ein Rechteck ein Orthogon ein ebenes Viereck dessen Innenwinkel alle rechte Winkel sind Es ist ein Spezialfall des Parallelogramms und damit auch des Trapezes Ein Sonderfall des Rechtecks ist das Quadrat bei dem alle Seiten gleich lang sind Rechteck mit Lange a Breite b und Diagonale dIn der Topologie ist ein Rechteck eine Mannigfaltigkeit mit Rand genauer eine Mannigfaltigkeit mit Ecken Inhaltsverzeichnis 1 Eigenschaften 2 Formeln 2 1 Optimierungsprobleme und das Quadrat 3 Rechteckgitter 4 Goldenes Rechteck 5 Perfektes Rechteck 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseEigenschaften BearbeitenGegenuber liegende Seiten sind gleich lang und parallel Die vier Innenwinkel sind gleich d h es ist ein gleichwinkliges Polygon Die Innenwinkel sind rechte Winkel Die beiden Diagonalen sind gleich lang und halbieren einander Es besitzt einen Umkreis und ist daher ein Sehnenviereck Umkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Diagonalen Es ist achsensymmetrisch bezuglich der Mittelsenkrechten der Seiten Die beiden Symmetrieachsen stehen also senkrecht aufeinander Es ist punktsymmetrisch zweizahlig symmetrisch bezuglich des Schnittpunkts der Diagonalen Die Symmetriegruppe ist die Kleinsche Vierergruppe Das Rechteck kann charakterisiert werden als Parallelogramm mit einem rechten Winkel Parallelogramm mit gleich langen Diagonalen Viereck mit gleich langen Diagonalen die sich halbieren Viereck bei dem gegenuberliegende Seiten gleich lang sind und ein Winkel ein rechter ist Formeln Bearbeiten nbsp Der Flacheninhalt eines Rechtecks ist gleich dem Produkt der Seitenlangen Mathematische Formeln zum RechteckFlacheninhalt A a b displaystyle A a cdot b nbsp Umfang U 2 a 2 b 2 a b displaystyle U 2 cdot a 2 cdot b 2 cdot a b nbsp Lange der Diagonalen d a 2 b 2 displaystyle d sqrt a 2 b 2 nbsp Umkreisradius r u d 2 1 2 a 2 b 2 displaystyle r u tfrac d 2 frac 1 2 cdot sqrt a 2 b 2 nbsp Innenwinkel a b g d 90 displaystyle alpha beta gamma delta 90 circ nbsp Die Formel fur die Lange der Diagonalen beruht auf dem Satz des Pythagoras Der Umkreisradius ergibt sich durch Halbierung der Lange der Diagonalen Um ein Rechteck zu konstruieren mussen zwei Grossen gegeben sein Haufig sind entweder beide Seitenlangen gegeben oder eine der beiden Seitenlangen und die Lange der Diagonalen Optimierungsprobleme und das Quadrat Bearbeiten Es gibt verschiedene Optimierungsprobleme fur Rechtecke Sucht man ein Rechteck das bei gegebener Lange der Diagonale oder gegebenem Flacheninhalt des Umkreises den maximalen Umfang gegebener Lange der Diagonale oder gegebenem Flacheninhalt des Umkreises den maximalen Flacheninhalt gegebenem Umfang die minimale Lange der Diagonale oder den minimalen Flacheninhalt des Umkreises gegebenem Umfang den maximalen Flacheninhalt gegebenem Flacheninhalt die minimale Lange der Diagonale oder den minimalen Flacheninhalt des Umkreises gegebenem Flacheninhalt den minimalen Umfanghat dann ergibt sich als Losung jeweils das Quadrat Jeweils zwei der sechs Optimierungsprobleme sind im Prinzip dieselbe Fragestellung mit anderen gegebenen Grossen sodass es eigentlich nur drei verschiedene Optimierungsprobleme sind Fur die genannten Optimierungsprobleme ist das Quadrat das gesuchte Rechteck Das gilt selbstverstandlich nicht fur alle Optimierungsprobleme Dass die Optimierungsprobleme fur die Lange der Diagonale und den Flacheninhalt des Umkreises jeweils dieselbe Losung haben ist offensichtlich weil der Flacheninhalt p r u 2 1 4 p d 2 displaystyle pi cdot r u 2 frac 1 4 cdot pi cdot d 2 nbsp des Umkreises eine stetige und streng monoton steigende Funktion mit der Funktionsvariablen d displaystyle d nbsp ist nbsp Rechteck mit den Seitenlangen und Diagonale d Ist zum Beispiel bei gegebener Lange d displaystyle d nbsp der Diagonale das Rechteck ABCD mit dem grossten Flacheninhalt gesucht dann hilft es den Umkreis zu betrachten Die Diagonale AC ist nach dem Satz des Thales der Durchmesser des Umkreises Das Rechteck besteht aus den rechtwinkligen Dreiecken ABC und CDA Der Flacheninhalt des Dreiecks ABC ist dann am grossten wenn die Hohe des Punkts B auf der Seite AC am grossten ist Das ist genau dann der Fall wenn die Seiten AB und BC gleich lang sind das Dreieck also auch gleichschenklig ist Ebenso ist der Flacheninhalt des Dreiecks CDA genau dann am grossten wenn die Seiten CD und DA gleich lang sind Der Flacheninhalt des Rechtecks ABCD ist also genau dann am grossten wenn alle 4 Seiten gleich lang sind also wenn es ein Quadrat ist Eine andere Moglichkeit ist den Flacheninhalt mit Ungleichungen abzuschatzen Ein Rechteck mit den Seitenlangen a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp hat die Diagonalenlange a 2 b 2 displaystyle sqrt a 2 b 2 nbsp und den Flacheninhalt a b displaystyle a cdot b nbsp Das Quadrat mit der Seitenlange 1 2 2 a 2 2 b 2 displaystyle frac 1 2 cdot sqrt 2 cdot a 2 2 cdot b 2 nbsp hat dieselbe Diagonalenlange und den Flacheninhalt a 2 b 2 2 displaystyle frac a 2 b 2 2 nbsp Wegen der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel a b a b 2 displaystyle sqrt a cdot b leq frac a b 2 nbsp gilt a b a 2 b 2 2 displaystyle a cdot b leq frac a 2 b 2 2 nbsp fur alle positiven Seitenlangen a displaystyle a nbsp und b displaystyle b nbsp und Gleichheit genau dann wenn a b displaystyle a b nbsp ist Daraus folgt dass das Quadrat das Rechteck mit dem grossten Flacheninhalt ist Rechteckgitter Bearbeiten nbsp RechteckgitterDas Rechteckgitter ist eine Anordnung von unendlich vielen Punkten in der zweidimensionalen euklidischen Ebene Diese Punktmenge kann formal als die Menge a x 1 b x 2 R 2 a b gt 0 x 1 Z x 2 Z displaystyle left a cdot x 1 b cdot x 2 in mathbb R 2 mid a b gt 0 land x 1 in mathbb Z land x 2 in mathbb Z right nbsp geschrieben werden wobei die positiven reellen Zahlen a displaystyle a nbsp b displaystyle b nbsp die Abstande zwischen benachbarten Punkten sind Das Rechteckgitter entsteht durch 2 Parallelstreckungen siehe Affine Abbildung aus dem Quadratgitter 1 Dieses Rechteckgitter ist achsensymmetrisch drehsymmetrisch und punktsymmetrisch Ausserdem ist es translationsymmetrisch fur alle Vektoren mit bestimmten Langen die parallel zu den 2 Koordinatenachsen verlaufen namlich die unendlich vielen Vektoren a a 1 e 1 displaystyle a cdot a 1 cdot vec e 1 nbsp b a 2 e 2 displaystyle b cdot a 2 cdot vec e 2 nbsp wobei a 1 displaystyle a 1 nbsp a 2 displaystyle a 2 nbsp ganze Zahlen sind und e 1 displaystyle e 1 nbsp e 2 displaystyle e 2 nbsp die 2 Einheitsvektoren im zweidimensionalen eudklidischen Vektorraum Wird eine geometrische Figur in der Ebene in einem Quadratgitter platziert und dann durch Parallelstreckungen modifiziert sodass ein Rechteckgitter entsteht dann entstehen abhangig von der Art und Ausrichtung dieser geometrischen Figuren andere geometrische Figuren Parallelstreckungen von geometrischen FigurenFigur im Wurfelgitter Figur im Quadergitterbei orthogonaler Ausrichtung bei beliebiger AusrichtungQuadrat Rechteck ParallelogrammRechteck Rechteck ParallelogrammRaute Raute ParallelogrammParallelogramm Parallelogrammrechtwinkliges Dreieck rechtwinkliges Dreieck Dreieckgleichschenkliges Dreieck gleichschenkliges Dreieck DreieckKreis Ellipse EllipseEllipse Ellipse EllipseGoldenes Rechteck Bearbeiten nbsp Beide Rechtecke je mit den Seitenverhaltnissen a b sowie a b a sind jeweils Goldene Rechtecke animierte Darstellung Rechtecke mit der Eigenschaft a b a a b displaystyle frac a b a frac a b nbsp fur die Seitenlangen a und b nennt man Goldene Rechtecke Als Seitenverhaltnis ergibt sich der Goldenen Schnitt also a b 1 5 2 1 618 0339887 displaystyle frac a b frac 1 sqrt 5 2 approx 1 6180339887 nbsp Perfektes Rechteck BearbeitenEin Rechteck heisst perfekt falls man es mit Quadraten luckenlos und uberschneidungsfrei uberdecken kann wobei alle Quadrate unterschiedlich gross sind Es ist nicht einfach eine solche Parkettierung zu finden Eine solche Zerlegung eines Rechtecks mit den Seitenlangen 32 und 33 in 9 Quadrate wurde 1925 von Zbigniew Moron gefunden Sie besteht aus den Quadraten mit den Seitenlangen 1 4 7 8 9 10 14 15 und 18 2 3 Ein weiteres Beispiel eines perfekten Rechtecks ebenfalls von Zbigniew Moron hat die Seitenlangen 47 und 65 Es wird uberdeckt von 10 Quadraten mit den Seitenlangen 3 5 6 11 17 19 22 23 24 und 25 2 nbsp Perfektes Rechteck 32 x 33 9 Quadrate nbsp Irene Schramm Biermann Perfektes Rechteck 47 x 65 10 Quadrate Weblinks Bearbeiten nbsp Wiktionary Rechteck Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme Ubersetzungen nbsp Commons Rechteck Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien Rechteck Animierte Lernsequenz Konstruktion Umfang FlacheninhaltEinzelnachweise Bearbeiten Wolfram MathWorld Cubic Lattice a b Zbigniew Moron Darstellung der Rechtecke nach Moron Abgerufen am 27 Marz 2021 Eric W Weisstein Perfect Square Dissection In MathWorld englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Rechteck amp oldid 229218892