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Goldenes Rechteck Ein ist ein Rechteck dessen Seitenverhältnis der beiden Seiten a displaystyle a und b displaystyle b d

Goldenes Rechteck

Ein Goldenes Rechteck ist ein Rechteck, dessen Seitenverhältnis der beiden Seiten und dem Goldenen Schnitt entspricht.

Beide Rechtecke – je mit den Seitenverhältnissen a:b sowie (a+b):a – sind jeweils Goldene Rechtecke (animierte Darstellung).

Dabei gilt für die Seitenverhältnisse

Eine markante Eigenschaft dieser geometrischen Figur ist: Entfernt man einen quadratischen Abschnitt, entsteht wiederum ein Goldenes Rechteck.

Konstruktionen und Eigenschaften Bearbeiten

Bild 2: Goldenes Rechteck im Quadrat mit Seitenlänge a
Bild 1: Konstruktion eines Goldenen Rechtecks aus einem Quadrat
  • Die wohl einfachste Konstruktion erhält man, indem man mit einem Quadrat beginnt (Bild 1) und dieses zu einem Goldenen Rechteck ausbaut. Hierzu wählt man zunächst ein paralleles Seitenpaar des Quadrates aus und konstruiert dessen Seitenmitten. Dann verlängert man das Seitenpaar auf einer Seite des Quadrates und zeichnet um die Seitenmitte einen Kreis, der durch die der Seitenmitte gegenüberliegenden Eckpunkte des Quadrats geht. Dieser Kreis schneidet die Verlängerung der Quadratseite im Eckpunkt des Goldenen Rechtecks. Den zweiten Eckpunkt erhält man, indem man eine analoge Konstruktion mit der zweiten Seitenmitte durchführt oder indem man dem ersten Eckpunkt des Goldenen Rechtecks eine Senkrechte errichtet, die die zweite Seitenverlängerung des Quadrates schneidet.
  • Die Seiten eines Quadrats (Bild 2) werden so im Goldenen Schnitt geteilt, dass an dem einen gegenüberliegenden Eckenpaar nur die kürzeren Seitenabschnitte anliegen und an dem anderen nur die längeren Seitenabschnitte. Die vier Teilungspunkte auf den Quadratseiten bilden nun ein Goldenes Rechteck.
Bild 4: Approximation der Goldenen Spirale
Bild 3: Konstruktion eines Goldenen Rechtecks aus einem Fünfeck
  • In einem regulären Fünfeck (Bild 3) teilen sich die Diagonalen gegenseitig im Goldenen Schnitt. Diese Eigenschaft lässt sich ebenfalls zur Konstruktion eines Goldenen Rechtecks verwenden. Zunächst konstruiert man ein reguläres Fünfeck mit Seitenlänge samt zwei seiner sich überschneidenden Diagonalen. Nun nimmt man eine der Diagonalen als die Grundseite des Rechtecks und errichtet an ihren Enden jeweils eine zu ihr senkrechte Strecke der Länge so erhält man ein Goldenes Rechteck.
  • Die Tatsache, dass ein Goldenes Rechteck sich aus einem Quadrat und einem weiteren Goldenen Rechteck zusammensetzt, kann man verwenden, um ein gegebenes Goldenes Rechteck spiralförmig (Bild 4) in eine unendliche Folge von Quadraten zur zerlegen. Zeichnet man in diese Quadrate jeweils aneinandergrenzende Viertelkreise, so erhält man eine aus immer kleiner werdenden Viertelkreisen zusammengesetzte ebene Spirale. Besitzt das Ausgangsrechteck hierbei die Seitenlängen 1 und so bildet diese Spirale eine relativ genaue Approximation der Goldenen Spirale

Literatur Bearbeiten

  • Alexey Stakhov: Golden Rectangle and Golden Brick. In: Alexey Stakhov, Alekseĭ Petrovich Stakhov, Scott Anthony Olsen: The Mathematics of Harmony: From Euclid to Contemporary Mathematics and Computer Science. Word Scientific 2009, ISBN 978-981-277-582-5, S. 20–23 (Auszug (Google))
  • Albrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: Der Goldene Schnitt. Spektrum, Heidelberg, Berlin, Oxford 1988. ISBN 3-411-03155-7, S. 47–56
  • Edward B. Burger, Michael P. Starbird: The Heart of Mathematics: An Invitation to Effective Thinking. Springer 2005, ISBN 1-931914-41-9, S. 232–248 (Auszug (Google))

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Ein Goldenes Rechteck ist ein Rechteck dessen Seitenverhaltnis der beiden Seiten a displaystyle a und b displaystyle b dem Goldenen Schnitt entspricht Beide Rechtecke je mit den Seitenverhaltnissen a b sowie a b a sind jeweils Goldene Rechtecke animierte Darstellung Dabei gilt fur die Seitenverhaltnisse a b a b a displaystyle a b a b a Eine markante Eigenschaft dieser geometrischen Figur ist Entfernt man einen quadratischen Abschnitt entsteht wiederum ein Goldenes Rechteck Konstruktionen und Eigenschaften Bearbeiten nbsp Bild 2 Goldenes Rechteck im Quadrat mit Seitenlange a nbsp Bild 1 Konstruktion eines Goldenen Rechtecks aus einem Quadrat Die wohl einfachste Konstruktion erhalt man indem man mit einem Quadrat beginnt Bild 1 und dieses zu einem Goldenen Rechteck ausbaut Hierzu wahlt man zunachst ein paralleles Seitenpaar des Quadrates aus und konstruiert dessen Seitenmitten Dann verlangert man das Seitenpaar auf einer Seite des Quadrates und zeichnet um die Seitenmitte einen Kreis der durch die der Seitenmitte gegenuberliegenden Eckpunkte des Quadrats geht Dieser Kreis schneidet die Verlangerung der Quadratseite im Eckpunkt des Goldenen Rechtecks Den zweiten Eckpunkt erhalt man indem man eine analoge Konstruktion mit der zweiten Seitenmitte durchfuhrt oder indem man dem ersten Eckpunkt des Goldenen Rechtecks eine Senkrechte errichtet die die zweite Seitenverlangerung des Quadrates schneidet Die Seiten eines Quadrats Bild 2 werden so im Goldenen Schnitt geteilt dass an dem einen gegenuberliegenden Eckenpaar nur die kurzeren Seitenabschnitte anliegen und an dem anderen nur die langeren Seitenabschnitte Die vier Teilungspunkte auf den Quadratseiten bilden nun ein Goldenes Rechteck nbsp Bild 4 Approximation der Goldenen Spirale nbsp Bild 3 Konstruktion eines Goldenen Rechtecks aus einem Funfeck In einem regularen Funfeck Bild 3 teilen sich die Diagonalen gegenseitig im Goldenen Schnitt Diese Eigenschaft lasst sich ebenfalls zur Konstruktion eines Goldenen Rechtecks verwenden Zunachst konstruiert man ein regulares Funfeck mit Seitenlange a displaystyle a nbsp samt zwei seiner sich uberschneidenden Diagonalen Nun nimmt man eine der Diagonalen als die Grundseite des Rechtecks und errichtet an ihren Enden jeweils eine zu ihr senkrechte Strecke der Lange a displaystyle a nbsp so erhalt man ein Goldenes Rechteck Die Tatsache dass ein Goldenes Rechteck sich aus einem Quadrat und einem weiteren Goldenen Rechteck zusammensetzt kann man verwenden um ein gegebenes Goldenes Rechteck spiralformig Bild 4 in eine unendliche Folge von Quadraten zur zerlegen Zeichnet man in diese Quadrate jeweils aneinandergrenzende Viertelkreise so erhalt man eine aus immer kleiner werdenden Viertelkreisen zusammengesetzte ebene Spirale Besitzt das Ausgangsrechteck hierbei die Seitenlangen 1 und f 1 5 2 displaystyle varphi tfrac 1 sqrt 5 2 nbsp so bildet diese Spirale eine relativ genaue Approximation der Goldenen SpiraleLiteratur BearbeitenAlexey Stakhov Golden Rectangle and Golden Brick In Alexey Stakhov Alekseĭ Petrovich Stakhov Scott Anthony Olsen The Mathematics of Harmony From Euclid to Contemporary Mathematics and Computer Science Word Scientific 2009 ISBN 978 981 277 582 5 S 20 23 Auszug Google Albrecht Beutelspacher Bernhard Petri Der Goldene Schnitt Spektrum Heidelberg Berlin Oxford 1988 ISBN 3 411 03155 7 S 47 56 Edward B Burger Michael P Starbird The Heart of Mathematics An Invitation to Effective Thinking Springer 2005 ISBN 1 931914 41 9 S 232 248 Auszug Google Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Goldenes Rechteck Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien Eric W Weisstein Golden Rectangle In MathWorld englisch Golden Rectangle Uni Webseite Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Goldenes Rechteck amp oldid 226714890