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Raute Dieser Artikel behandelt die geometrische nform Zum Schriftzeichen siehe Doppelkreuz Schriftzeichen für weitere Be

Raute

Eine Raute oder ein Rhombus (von altgriechisch ῥόμβος rhómbos) ist in der Geometrie ein ebenes Viereck mit vier gleich langen Seiten. Gegenüberliegende Seiten sind parallel und gegenüberliegende Winkel gleich groß.

Eigenschaften einer Raute:
Jeweils zwei Seiten sind zueinander parallel und die Verbindungslinien der gegenüberliegenden Ecken schneiden einander im rechten Winkel

Etymologie Bearbeiten

Das Etymologische Wörterbuch der deutschen Sprache sieht eine Verwendung des geometrischen Begriffs „Raute“ (mittelhochdeutsch rūte von althochdeutsch rūta, entlehnt von lateinisch ruta) seit dem 14. Jahrhundert und nennt die Entstehung „dunkel“. Den Auflagen von 1934 bis 1975 zufolge ergebe sich ein Rhombus, wenn die Spitzen der vier Kronblätter der Rautenblüte durch Geraden verbunden würden. Die Erstverwendung in der Geometrie sei für 1539 bezeugt. Spätere Auflagen enthalten diese Erklärung nicht mehr und führen nur eine fachsprachlich gleichbedeutende spätmittelhochdeutsche Form rūta an. Botanische etymologische Lexika weisen darauf hin, dass die Weinraute keine rhombische Laubblattspreite habe. Dem Etymologischen Wörterbuch von Wolfgang Pfeifer zufolge entstand der Begriff durch die „zuerst in der Heraldik auftretende geometrische Figur in der stilisierten vierteiligen Blütenform der Pflanze“ als Entlehnung aus lateinisch rūta, griechisch rhȳtḗ (ῥυτή) („Bitterkraut“).

Doppelkreuz, Rhombus und Stern auf einer Rechenmaschine

Bezeichnungen, Darstellungen und Verwendung als Zeichen Bearbeiten

Neben „Raute“ werden die Ausdrücke „Rhombus“ (Plural: Rhomben) und „Karo“ verwendet. Beispielsweise heißt ein Webmuster bei Textilien: „Karomuster“.

Ein Quadrat, das auf der Spitze steht, wird manchmal ebenfalls verallgemeinernd als Raute bezeichnet.

Rautenformen als Schriftzeichen finden sich in Unicode im Block Geometrische Formen, beispielsweise ◆ (U+25C6 black diamond „vollflächiges Karo“), ◇ (U+25C7 white diamond „hohles Karo“) und ◊ (U+25CA lozenge „Spitzraute“).

In der Heraldik heißen rautenförmige Elemente auch Wecke und Spindel, das auf die Spitze gestellte Quadrat auch Kantenwürfel.

Symbole in Rautenform oder mit rautenförmigen Bestandteilen kommen in vielen Verwendungen wie z. B. als Logo von Sportvereinen und Firmen vor.

Eigenschaften Bearbeiten

Eine Raute ist ein ebenes Viereck mit vier gleich langen Seiten. Alternativ lässt sich die Raute als Parallelogramm definieren, dessen Diagonalen einander rechtwinklig schneiden (siehe orthodiagonales Viereck).

Für jede Raute gilt:

Die Raute kann charakterisiert werden als

  • Parallelogramm mit zwei benachbarten gleich langen Seiten
  • Parallelogramm mit orthogonalen Diagonalen
  • Parallelogramm mit einer Diagonalen, die einen Innenwinkel halbiert
  • Drachenviereck mit paarweise parallelen Seiten
  • Viereck mit orthogonalen Diagonalen, die einander halbieren
  • Viereck mit genau 2 Symmetrieachsen, von denen jede durch zwei gegenüberliegende Eckpunkte verläuft
  • Viereck, dessen zwei Diagonalen jeweils zwei gegenüberliegende Innenwinkel halbieren

Um eine Raute zu konstruieren, sind zwei Bestimmungsstücke, z. B. die Seitenlänge und ein Winkel, notwendig.

Formeln Bearbeiten

Mathematische Formeln zur Raute
Flächeninhalt
Umfang
Seitenlänge
Länge der Diagonalen
Inkreisradius
Höhe
Innenwinkel

Optimierungsprobleme und das Quadrat Bearbeiten

Es gibt verschiedene Optimierungsprobleme für Rauten. Sucht man eine Raute, die bei

  • gegebener Länge der Höhe oder gegebenem Flächeninhalt des Inkreises den minimalen Umfang
  • gegebener Länge der Höhe oder gegebenem Flächeninhalt des Inkreises den minimalen Flächeninhalt
  • gegebenem Umfang die maximale Höhe oder den maximalen Flächeninhalt des Inkreises
  • gegebenem Umfang den maximalen Flächeninhalt
  • gegebenem Flächeninhalt die maximale Höhe oder den maximalen Flächeninhalt des Inkreises
  • gegebenem Flächeninhalt den minimalen Umfang

hat, dann ergibt sich als Lösung jeweils das Quadrat.

Jeweils zwei der sechs Optimierungsprobleme sind im Prinzip dieselbe Fragestellung mit anderen gegebenen Größen, sodass es eigentlich nur drei verschiedene Optimierungsprobleme sind. Für die genannten Optimierungsprobleme ist das Quadrat die gesuchte Raute. Das gilt selbstverständlich nicht für alle Optimierungsprobleme.

Dass die Optimierungsprobleme für die Höhe und den Flächeninhalt des Inkreises jeweils dieselbe Lösung haben, ist offensichtlich, weil der Flächeninhalt des Inkreises eine stetige und streng monoton steigende Funktion mit der Funktionsvariablen ist.

Ist zum Beispiel bei gegebener Höhe die Raute mit dem kleinsten Flächeninhalt gesucht, dann kann man den Flächeninhalt mit Ungleichungen abschätzen.

Eine Raute mit den Diagonalenlängen und hat die Höhe und den Flächeninhalt . Das Quadrat mit der Seitenlänge hat dieselbe Höhe und den Flächeninhalt . Wegen der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel gilt für alle positiven Diagonalenlängen und und Gleichheit genau dann, wenn ist. Daraus folgt, dass (zu jeder Höhe ) das Quadrat die Raute mit dem kleinsten Flächeninhalt ist.

Kombinationen mehrerer Rauten Bearbeiten

Zum Stern („Rautenstern“) schließen sich nur Rauten, deren Zentriwinkel (also der Winkel in der Spitze, in der man sie aneinanderlegt) gleich mit einer natürlichen Zahl ist. Sie bilden dann einen -zackigen Stern. Das gilt nicht für den dreidimensionalen Fall, hierbei lassen sich auch anderswinklige Rauten in ihrer Spitze aneinanderfügen und ergeben dann pyramidenförmige Spitzen.

Parkettierungen mit Rauten Bearbeiten

Polyeder mit Rauten Bearbeiten

Einige Polyeder haben Rauten als Seitenflächen, zum Beispiel die Rhomboeder. Die Oberfläche von Rhombendodekaeder und Rhombentriakontaeder, zweier catalanischer Körper, besteht aus kongruenten Rauten. Rhomboeder, Rhombendodekaeder und Rhombentriakontaeder sind Polyeder, die ausschließlich von Rauten begrenzt sind. Die genannten Polyeder sind drehsymmetrisch, d. h., sie können durch Drehung um bestimmte Rotationsachsen auf sich selbst abgebildet werden.

Rauten in Architektur, Kunst und Design Bearbeiten

Die Rhombusleiste wird zur Verkleidung von Fassaden oder für Sichtschutzwände eingesetzt. Der Querschnitt bildet jedoch üblicherweise keine Raute, sondern ein Parallelogramm.

Weblinks Bearbeiten

Commons: Raute – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wiktionary: Raute – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
Wiktionary: Rhombus – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Wilhelm Pape, Max Sengebusch (Bearb.): Handwörterbuch der griechischen Sprache. 3. Auflage, 6. Abdruck. Vieweg & Sohn, Braunschweig 1914 (zeno.org [abgerufen am 5. September 2020]).
  2. Raute. In: Friedrich Kluge: Etymologisches Wörterbuch der deutschen Sprache. 11. Auflage 1934, 21. Auflage 1975, 25. Auflage 2011.
  3. Ruta. In: Helmut Genaust: Etymologische Handbuch der deutschen Pflanzennamen. 3. Auflage 1989. Im Anschluss Ruta graveolens L. In: Friedhelm Sauerhoff: Etymologisches Wörterbuch der deutschen Pflanzennamen. 2. Auflage. 2004.
  4. Wolfgang Pfeifer: Etymologisches Wörterbuch des Deutschen. Online, abgerufen am 5. September 2020.
  5. Benennung laut DIN 5009:2022-06 Beiblatt 1, Tabelle 10 „Schmuckzeichen und geometrische Formzeichen“; ebenfalls so benannt im informativen Anhang zur Tastaturnorm DIN 2137 seit der Ausgabe 2018-12.
  6. Gerhard Holland: Geometrie in der Sekundarstufe. Bibliographisches Institut&Brockhaus AG, Mannheim/Wien/Zürich 1988, ISBN 3-411-03178-6, S. 163.
  7. Lambacher-Schweizer: Mathematik für Gymnasien 6, Stuttgart, Klett-Verlag, 2010, ISBN 978-3-12-734561-2, S. 83. Es gibt weitere Belege in der fachdidaktischen Literatur.
  8. Bewiesen von Jewgraf S. Fedorow 1891, nach Ian Stewart: Fünfeckige Kacheln. In: Spektrum der Wissenschaft. Januar 2000, S. 106–108 (Abb. S. 108).
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Dieser Artikel behandelt die geometrische Rautenform Zum Schriftzeichen siehe Doppelkreuz Schriftzeichen fur weitere Bedeutungen siehe Raute Begriffsklarung Eine Raute oder ein Rhombus von altgriechisch ῥombos rhombos 1 ist in der Geometrie ein ebenes Viereck mit vier gleich langen Seiten Gegenuberliegende Seiten sind parallel und gegenuberliegende Winkel gleich gross Eigenschaften einer Raute Jeweils zwei Seiten sind zueinander parallel und die Verbindungslinien der gegenuberliegenden Ecken schneiden einander im rechten Winkel Inhaltsverzeichnis 1 Etymologie 2 Bezeichnungen Darstellungen und Verwendung als Zeichen 3 Eigenschaften 4 Formeln 4 1 Optimierungsprobleme und das Quadrat 5 Kombinationen mehrerer Rauten 6 Parkettierungen mit Rauten 7 Polyeder mit Rauten 8 Rauten in Architektur Kunst und Design 9 Weblinks 10 EinzelnachweiseEtymologie BearbeitenDas Etymologische Worterbuch der deutschen Sprache sieht eine Verwendung des geometrischen Begriffs Raute mittelhochdeutsch rute von althochdeutsch ruta entlehnt von lateinisch ruta seit dem 14 Jahrhundert und nennt die Entstehung dunkel Den Auflagen von 1934 bis 1975 zufolge ergebe sich ein Rhombus wenn die Spitzen der vier Kronblatter der Rautenblute durch Geraden verbunden wurden Die Erstverwendung in der Geometrie sei fur 1539 bezeugt Spatere Auflagen enthalten diese Erklarung nicht mehr und fuhren nur eine fachsprachlich gleichbedeutende spatmittelhochdeutsche Form ruta an 2 Botanische etymologische Lexika weisen darauf hin dass die Weinraute keine rhombische Laubblattspreite habe 3 Dem Etymologischen Worterbuch von Wolfgang Pfeifer zufolge entstand der Begriff durch die zuerst in der Heraldik auftretende geometrische Figur in der stilisierten vierteiligen Blutenform der Pflanze als Entlehnung aus lateinisch ruta griechisch rhȳtḗ ῥyth Bitterkraut 4 nbsp Doppelkreuz Rhombus und Stern auf einer RechenmaschineBezeichnungen Darstellungen und Verwendung als Zeichen Bearbeiten Hauptartikel Raute Heraldik und Raute Symbol Neben Raute werden die Ausdrucke Rhombus Plural Rhomben und Karo verwendet Beispielsweise heisst ein Webmuster bei Textilien Karomuster Ein Quadrat das auf der Spitze steht wird manchmal ebenfalls verallgemeinernd als Raute bezeichnet Rautenformen als Schriftzeichen finden sich in Unicode im Block Geometrische Formen beispielsweise U 25C6 black diamond vollflachiges Karo U 25C7 white diamond hohles Karo und U 25CA lozenge Spitzraute 5 In der Heraldik heissen rautenformige Elemente auch Wecke und Spindel das auf die Spitze gestellte Quadrat auch Kantenwurfel Symbole in Rautenform oder mit rautenformigen Bestandteilen kommen in vielen Verwendungen wie z B als Logo von Sportvereinen und Firmen vor Eigenschaften BearbeitenEine Raute ist ein ebenes Viereck mit vier gleich langen Seiten 6 Alternativ lasst sich die Raute als Parallelogramm definieren dessen Diagonalen einander rechtwinklig schneiden siehe orthodiagonales Viereck Fur jede Raute gilt Gegenuberliegende Seiten sind parallel Gegenuberliegende Innenwinkel sind gleich gross benachbarte Innenwinkel supplementar d h ihre Summe ist 180 Die Innenwinkel werden durch eine Diagonale halbiert Die beiden Diagonalen stehen senkrecht aufeinander und halbieren einander Sie besitzt einen Inkreis und ist daher ein Tangentenviereck Inkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Diagonalen Die Diagonalen sind Symmetrieachsen Die beiden Symmetrieachsen stehen also senkrecht aufeinander Sie ist punktsymmetrisch zweizahlig symmetrisch bezuglich des Schnittpunkts der Diagonalen Die Symmetriegruppe ist die Kleinsche Vierergruppe Die Raute kann charakterisiert werden als Parallelogramm mit zwei benachbarten gleich langen Seiten Parallelogramm mit orthogonalen Diagonalen Parallelogramm mit einer Diagonalen die einen Innenwinkel halbiert Drachenviereck mit paarweise parallelen Seiten Viereck mit orthogonalen Diagonalen die einander halbieren Viereck mit genau 2 Symmetrieachsen von denen jede durch zwei gegenuberliegende Eckpunkte verlauft 7 Viereck dessen zwei Diagonalen jeweils zwei gegenuberliegende Innenwinkel halbierenUm eine Raute zu konstruieren sind zwei Bestimmungsstucke z B die Seitenlange und ein Winkel notwendig Formeln BearbeitenMathematische Formeln zur RauteFlacheninhalt A a h a displaystyle A a cdot h a nbsp nbsp A e f 2 displaystyle A frac e cdot f 2 nbsp A a 2 sin a a 2 sin b displaystyle A a 2 cdot sin alpha a 2 cdot sin beta nbsp A h a 2 sin a h a 2 sin b displaystyle A frac h a 2 sin alpha frac h a 2 sin beta nbsp Umfang u 4 a displaystyle u 4 cdot a nbsp Seitenlange a 1 2 e 2 f 2 displaystyle a frac 1 2 cdot sqrt e 2 f 2 nbsp Lange der Diagonalen e 2 a cos a 2 2 a sin b 2 displaystyle e 2 cdot a cdot cos left frac alpha 2 right 2 cdot a cdot sin left frac beta 2 right nbsp f 2 a sin a 2 2 a cos b 2 displaystyle f 2 cdot a cdot sin left frac alpha 2 right 2 cdot a cdot cos left frac beta 2 right nbsp Inkreisradius r i h a 2 a sin a 2 a sin b 2 displaystyle r i frac h a 2 frac a cdot sin alpha 2 frac a cdot sin beta 2 nbsp Hohe h a a sin a a sin b displaystyle h a a cdot sin alpha a cdot sin beta nbsp h a e f e 2 f 2 displaystyle h a frac e cdot f sqrt e 2 f 2 nbsp Innenwinkel a b 180 displaystyle alpha beta 180 circ nbsp Optimierungsprobleme und das Quadrat Bearbeiten Es gibt verschiedene Optimierungsprobleme fur Rauten Sucht man eine Raute die bei gegebener Lange der Hohe oder gegebenem Flacheninhalt des Inkreises den minimalen Umfang gegebener Lange der Hohe oder gegebenem Flacheninhalt des Inkreises den minimalen Flacheninhalt gegebenem Umfang die maximale Hohe oder den maximalen Flacheninhalt des Inkreises gegebenem Umfang den maximalen Flacheninhalt gegebenem Flacheninhalt die maximale Hohe oder den maximalen Flacheninhalt des Inkreises gegebenem Flacheninhalt den minimalen Umfanghat dann ergibt sich als Losung jeweils das Quadrat Jeweils zwei der sechs Optimierungsprobleme sind im Prinzip dieselbe Fragestellung mit anderen gegebenen Grossen sodass es eigentlich nur drei verschiedene Optimierungsprobleme sind Fur die genannten Optimierungsprobleme ist das Quadrat die gesuchte Raute Das gilt selbstverstandlich nicht fur alle Optimierungsprobleme Dass die Optimierungsprobleme fur die Hohe und den Flacheninhalt des Inkreises jeweils dieselbe Losung haben ist offensichtlich weil der Flacheninhalt p r i 2 1 4 p h a 2 displaystyle pi cdot r i 2 tfrac 1 4 cdot pi cdot h a 2 nbsp des Inkreises eine stetige und streng monoton steigende Funktion mit der Funktionsvariablen h a displaystyle h a nbsp ist Ist zum Beispiel bei gegebener Hohe h a displaystyle h a nbsp die Raute mit dem kleinsten Flacheninhalt gesucht dann kann man den Flacheninhalt mit Ungleichungen abschatzen Eine Raute mit den Diagonalenlangen e displaystyle e nbsp und f displaystyle f nbsp hat die Hohe e f e 2 f 2 displaystyle tfrac e cdot f sqrt e 2 f 2 nbsp und den Flacheninhalt e f 2 displaystyle tfrac e cdot f 2 nbsp Das Quadrat mit der Seitenlange e f e 2 f 2 displaystyle tfrac e cdot f sqrt e 2 f 2 nbsp hat dieselbe Hohe und den Flacheninhalt e 2 f 2 e 2 f 2 displaystyle tfrac e 2 cdot f 2 e 2 f 2 nbsp Wegen der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel e f e f 2 displaystyle sqrt e cdot f leq tfrac e f 2 nbsp gilt e 2 f 2 e 2 f 2 e f 2 displaystyle tfrac e 2 cdot f 2 e 2 f 2 leq tfrac e cdot f 2 nbsp fur alle positiven Diagonalenlangen e displaystyle e nbsp und f displaystyle f nbsp und Gleichheit genau dann wenn e f displaystyle e f nbsp ist Daraus folgt dass zu jeder Hohe h a displaystyle h a nbsp das Quadrat die Raute mit dem kleinsten Flacheninhalt ist Kombinationen mehrerer Rauten BearbeitenZum Stern Rautenstern schliessen sich nur Rauten deren Zentriwinkel also der Winkel in der Spitze in der man sie aneinanderlegt gleich 360 n displaystyle 360 circ n nbsp mit einer naturlichen Zahl n displaystyle n nbsp ist Sie bilden dann einen n displaystyle n nbsp zackigen Stern Das gilt nicht fur den dreidimensionalen Fall hierbei lassen sich auch anderswinklige Rauten in ihrer Spitze aneinanderfugen und ergeben dann pyramidenformige Spitzen Parkettierungen mit Rauten BearbeitenDurch seine Definition eignet sich jede Raute fur eine flachendeckende Parkettierung aber nur in zwei Hauptrichtungen siehe platonische Parkettierung Hier bildet die Rautenparkettierung mit ihrer Sonderform dem Quadratgitter also einem orthogonalen Raster eine der 17 moglichen Symmetriegruppen der Parkettierungen 8 Eine solche Kachelung flachenfullende schiefwinklig platonische Kachelung findet sich auf der Staatsflagge Bayerns Rautenflagge heraldische Fachsprache schrag gerautet Eine Besonderheit ist die aperiodische quasikristalline Penrose Parkettierung zweier Rauten mit Innenwinkeln von 36 und 144 bzw 72 und 108 nbsp Rautengitter Parkettierung in der Staatsflagge Bayerns Rautenflagge nbsp Alternierende Parkettierung mit Rauten nbsp Duale Parkettierung einer archimedischen Parkettierung nbsp Penrose Parkettierung nbsp Penrose ParkettierungPolyeder mit Rauten BearbeitenEinige Polyeder haben Rauten als Seitenflachen zum Beispiel die Rhomboeder Die Oberflache von Rhombendodekaeder und Rhombentriakontaeder zweier catalanischer Korper besteht aus kongruenten Rauten Rhomboeder Rhombendodekaeder und Rhombentriakontaeder sind Polyeder die ausschliesslich von Rauten begrenzt sind Die genannten Polyeder sind drehsymmetrisch d h sie konnen durch Drehung um bestimmte Rotationsachsen auf sich selbst abgebildet werden nbsp Rhomboeder nbsp Rhombendodekaeder nbsp RhombentriakontaederRauten in Architektur Kunst und Design Bearbeiten nbsp Fussbodenmosaik in Pella Hauptstadt des antiken Konigreichs Makedonien nbsp Rautendekor am Giebel des Sudquerhauses der Kirche St Etienne in Beauvais Picardie nbsp Rautendekor am Giebel des Sudquerhauses der St Julien Chauriat Auvergne nbsp Das Rhombendach der Kirche Maria Himmelfahrt in Andernach nbsp Rhombendach der Marienkirche in Dortmund nbsp Logo von Renault 1972 nbsp Skulptur von Victor Vasarely am Budapester Sudbahnhof nbsp Rautenformige Stutzsegmente bei der Polstofffiltration in der AbwasserreinigungDie Rhombusleiste wird zur Verkleidung von Fassaden oder fur Sichtschutzwande eingesetzt Der Querschnitt bildet jedoch ublicherweise keine Raute sondern ein Parallelogramm Weblinks Bearbeiten nbsp Commons Raute Sammlung von Bildern Videos und Audiodateien nbsp Wiktionary Raute Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme Ubersetzungen nbsp Wiktionary Rhombus Bedeutungserklarungen Wortherkunft Synonyme Ubersetzungen Weiterfuhrende Informationen Berechnungsbeispiele und AbbildungenEinzelnachweise Bearbeiten Wilhelm Pape Max Sengebusch Bearb Handworterbuch der griechischen Sprache 3 Auflage 6 Abdruck Vieweg amp Sohn Braunschweig 1914 zeno org abgerufen am 5 September 2020 Raute In Friedrich Kluge Etymologisches Worterbuch der deutschen Sprache 11 Auflage 1934 21 Auflage 1975 25 Auflage 2011 Ruta In Helmut Genaust Etymologische Handbuch der deutschen Pflanzennamen 3 Auflage 1989 Im Anschluss Ruta graveolens L In Friedhelm Sauerhoff Etymologisches Worterbuch der deutschen Pflanzennamen 2 Auflage 2004 Wolfgang Pfeifer Etymologisches Worterbuch des Deutschen Online abgerufen am 5 September 2020 Benennung laut DIN 5009 2022 06 Beiblatt 1 Tabelle 10 Schmuckzeichen und geometrische Formzeichen ebenfalls so benannt im informativen Anhang zur Tastaturnorm DIN 2137 seit der Ausgabe 2018 12 Gerhard Holland Geometrie in der Sekundarstufe Bibliographisches Institut amp Brockhaus AG Mannheim Wien Zurich 1988 ISBN 3 411 03178 6 S 163 Lambacher Schweizer Mathematik fur Gymnasien 6 Stuttgart Klett Verlag 2010 ISBN 978 3 12 734561 2 S 83 Es gibt weitere Belege in der fachdidaktischen Literatur Bewiesen von Jewgraf S Fedorow 1891 nach Ian Stewart Funfeckige Kacheln In Spektrum der Wissenschaft Januar 2000 S 106 108 Abb S 108 Normdaten Sachbegriff GND 7725343 7 lobid OGND AKS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Raute amp oldid 236286347